【正文】 ）對(duì)坡度α的限制 α α= 0 α（西安電子科技大學(xué)何大可提供）B 題鎖具裝箱某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個(gè)鎖具的鑰匙有 5 個(gè)槽，每個(gè)槽的高度從{1，2，3，4，5，6}6個(gè)數(shù)（單位略）中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時(shí)對(duì)5 個(gè)槽的高度還有兩個(gè)限制：至少有3 個(gè)不同的數(shù)；相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足以上條件制造出來(lái)的所有互不相同的鎖具稱為一批。從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中“一把鑰匙開一把鎖”。但是在當(dāng)前工藝條件下，對(duì)于同一批中兩個(gè)鎖是否能夠互開，有以下試驗(yàn)結(jié)果：若二者相對(duì)應(yīng)的5 個(gè)槽的高度中有4 個(gè)相同，另一個(gè)槽的高度差為1，則可能互開；在其它情形下，不可能互開。原來(lái)，銷售部門在一批鎖具中隨意的取60 個(gè)裝一箱出售。團(tuán)體顧客往往購(gòu)買幾箱到幾十箱，他們抱怨購(gòu)得的鎖具會(huì)出現(xiàn)互開的情形?，F(xiàn)聘你為顧問(wèn)，回答并解決以下的問(wèn)題：1） 每一批鎖具有多少個(gè)，裝多少箱。52） 為銷售部門提出一種方案，包括如何裝箱（仍是 60 個(gè)鎖具一箱），如何給箱子以標(biāo)志，出售時(shí)如何利用這些標(biāo)志，使團(tuán)體顧客不再或減少抱怨。3） 采取你提出的方案，團(tuán)體顧客的購(gòu)買量不超過(guò)多少箱，就可以保證一定不會(huì)出現(xiàn)互開的情形。4） 按照原來(lái)的裝箱辦法，如何定量地衡量團(tuán)體顧客抱怨互開的程度（試對(duì)購(gòu)買一、二箱者給出具體結(jié)果）。（華東理工大學(xué)俞文 ci、復(fù)旦大學(xué)譚永基提供）注優(yōu)秀論文及評(píng)閱人文章可參見《全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文匯編（19922000）》一書（全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)編，中國(guó)物價(jià)出版社2002 年3 月出版）。6全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1995 年賽題A 題 一個(gè)飛行管理問(wèn)題在約10000 米高空的某邊長(zhǎng)為160 公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會(huì)碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下：1） 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于 8 公里；2） 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過(guò) 30 度；3） 所有飛機(jī)飛行速度均為每小時(shí) 800 公里；4） 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí)，與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在 60 公里以上；5） 最多需考慮 6 架飛機(jī)；6） 不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的狀況；請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，列出計(jì)算步驟，對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方 度），要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域 4 個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。記錄數(shù)據(jù)為：飛機(jī)編號(hào) 橫坐標(biāo)X 縱坐標(biāo)Y 方向角（度）1 150 140 2432 85 85 2363 150 155 4 145 50 1595 130 150 230新進(jìn)入0 0 52注：方向角指飛行方向與X 軸正向的夾角。試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和推廣。（華東理工大學(xué)俞文 ci、復(fù)旦大學(xué)譚永基提供）B題天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度某鋼鐵廠冶煉車間的廠房布局是，地面沿一直線依次安置 7 個(gè)工作點(diǎn)：輔料供應(yīng)處P；A 組3 座轉(zhuǎn)爐（冶煉成品鋼）A1，A2，A3；B 組2 座冶煉爐（冶煉半成品鋼，簡(jiǎn)稱半鋼）B1，B2；原料供應(yīng)處Q。這些設(shè)備的上方貫通著一條運(yùn)送物料的天車軌道，上面布置著若干天車T1，T2。，Tn 為爐子作業(yè)服務(wù)。布局示意圖如下。P A1 A2 A3 B1 B2 QT1 T2 Tn. . . . . .7天車與冶煉爐的作業(yè)過(guò)程與工序?yàn)椋禾燔噺腝 處吊起原料有罐（吊罐時(shí)間ty）運(yùn)至B1 或B2 處放下（放罐時(shí)間ti），并將上一爐的原料空罐吊起（吊空罐時(shí)間to）返回Q 處放下（放空罐時(shí)間tk）。B 組爐在原料罐放下后即可在輔助作業(yè)下開始冶煉（冶煉時(shí)間tb），冶煉后將半鋼倒入空半鋼罐（時(shí)間記入tb），由天車吊起半鋼罐（吊罐時(shí)間td）運(yùn)至A1 或AA3 處將半鋼倒入轉(zhuǎn)爐（倒入時(shí)間te）， 并將空罐返回B1 或B2 處放下（放空罐時(shí)間tc）。再由天車從P 處吊起輔料一槽（吊槽時(shí)間tg）運(yùn)至A1 或A2，A3 處加入轉(zhuǎn)爐（加入時(shí)間tf），并將空槽返回P 處放下（放空槽時(shí)間th）。A 組 爐在半鋼和輔料加入后即可開始冶煉（冶煉時(shí)間ta），冶煉后成品鋼的輸出不用天車（輸出時(shí)間記入ta）。天車通過(guò)相鄰兩個(gè)工作點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間都相同，記為tx。由于各臺(tái)天車在同一條軌道上運(yùn)行，因此其順序位置T1，T2。，Tn 不可交換。在同一時(shí)間同一爐子上只能允許一臺(tái)天車作業(yè)；但P、Q 兩處可以允許多臺(tái)天車同時(shí)作業(yè)。在P，A1。，Q 每?jī)蓚€(gè)相鄰工作點(diǎn)之間最多只能容納2 臺(tái)同時(shí)停放。天車與冶煉爐作業(yè)調(diào)度的要求為：（1）成品鋼廠量盡量高；（2）各臺(tái)天車的作業(yè)率（天車作業(yè)時(shí)間所占比例）盡量均衡（考慮到設(shè)備及人員安全等因素，一般天車率不超過(guò)70%）；（3）絕不允許出現(xiàn)天車相撞等事故；（4）調(diào)度規(guī)則盡量簡(jiǎn)明，以便于現(xiàn)場(chǎng)人員使用?，F(xiàn)設(shè)定：ta=48，tb=27，ti=3，to=2，tc=2，td=3，te=5，tf=2，tg=2，th=1，ty=3，tk=2（單位：分鐘），tx=15 秒；A 組爐平均每天每爐產(chǎn)量We=120 噸。在不超過(guò)5 臺(tái)天車的條件下，設(shè)計(jì)一種滿足上述要求的天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度方案：（1） 個(gè)臺(tái)天車負(fù)責(zé)哪些作業(yè)（列出〈〈工序清單〉〉）；（2） 在所給方案的一個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)，每一時(shí)刻天車和冶煉爐處于什么狀態(tài)（畫出〈〈天車—爐子作業(yè)運(yùn)行圖〉〉）；（3） 一份供現(xiàn)場(chǎng)人員使用的〈〈調(diào)度規(guī)則說(shuō)明書〉〉；（4） 在所給方案下計(jì)算個(gè)臺(tái)天車的作業(yè)率。并按每天冶煉爐估計(jì)該車間成品鋼的年產(chǎn)量（扣除設(shè)備維修日，每臺(tái)轉(zhuǎn)爐作業(yè)日每年300 天計(jì)算）。實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，ta,tb,…,tk 都是隨機(jī)的（上面設(shè)定的數(shù)值可視為平均值），討論你的調(diào)度方案如何適用于實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程。試提出該車間提高鋼產(chǎn)量到年產(chǎn)300 萬(wàn)噸以上的建議。（浙江大學(xué)劉祥官、李吉鸞提供）注優(yōu)秀論文及評(píng)閱人文章刊登在《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》1996 年第1 期上。8全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1996 年賽題A 題 最優(yōu)捕魚策略為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源()的開發(fā)必須適度. 一種合理\簡(jiǎn)化的策略是,在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下,追求最大的產(chǎn)量或最佳效益.考慮對(duì)某種魚( 魚)的最優(yōu)捕撈策略:假設(shè)這種魚分4 個(gè)年齡組,稱1 齡魚,…,4 ,(克) ,(1/年),這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖,平均每條4 *105(個(gè)),3 齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半,2 齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵,產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4 個(gè)月, 卵孵化并成活為1 齡魚,成活率(1 齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比)為( + n)1111 10 10 。漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8 個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè). 如果每年投入的捕撈能力(如漁船數(shù)\下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變, 這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù). 通常使用13mm 網(wǎng)眼的拉網(wǎng),這種網(wǎng)只能捕撈3 齡魚和4 齡魚,其:1. 漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈.1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中個(gè)年齡組魚群條數(shù)不變), 并且在此前提條件下得到最高的年收獲量(捕撈總重量).2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5 年, 合同要求5 年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞. 已知承包時(shí)個(gè)年齡組魚群的數(shù)量分別為: 122, , , (*109 條), 如果仍用固定努力量的捕撈方式,該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高.（北京師范大學(xué) 劉來(lái)福提供）B 題 節(jié)水洗衣機(jī)我國(guó)淡水資源有限,節(jié)約用水人人有責(zé). 洗衣機(jī)在家庭中占有相當(dāng)大的份額, 目前洗衣機(jī)已非常普及, 節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要. 假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過(guò)程為: 加水—漂洗—脫水加水—漂洗—脫水…加水—漂洗—脫水(稱 “加水—漂洗—脫水”為運(yùn)行一輪). 請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序(包括運(yùn)行多少輪\每輪加入水量等), 使得在滿足一定洗滌效果的條件下, 總量最少. 選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算. 對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況, 對(duì)你的模型和結(jié)果作出評(píng)價(jià).（重慶大學(xué) 傅鵬提供）注優(yōu)秀論文及評(píng)閱人文章刊登在《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》1997 年第1 期上。9全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1997 年賽題A 題 零件的參數(shù)設(shè)計(jì)一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個(gè)參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。進(jìn)行成批生產(chǎn)時(shí)，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無(wú)特殊要求時(shí)，容差通常規(guī)定為均方差的3 倍。進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計(jì)，就是要確定其標(biāo)定值和容差。這時(shí)要考慮兩方面因素：一是當(dāng)各零件組裝成產(chǎn)品時(shí)，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，就會(huì)造成質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè)計(jì)得越小，成本越高。試通過(guò)如下的具體問(wèn)題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計(jì)方法。粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7 個(gè)零件的參數(shù)（記作x1，x2，…x7 ）決定，經(jīng)驗(yàn)公式為：6 7242321 1 42 135 1x xxxxxx xxxxy? ???? ???? ? ???? ? ??? ?? ???? ???? ? ? ???? ????? ???? ???= y 的目標(biāo)值（。當(dāng)y 0 y 177。 時(shí)，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1，000（元）；當(dāng)y 0 y 177。 時(shí)，產(chǎn)品為廢品，損失為9，000（元）。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C 三個(gè)等級(jí)，用與標(biāo)定值的相對(duì)值表示，A 等為177。1%，B 等為177。 5%，C 等為177。10%。7 個(gè)零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍，及不同容差等級(jí)零件的成本（元）如下表（符號(hào)/表示無(wú)此等級(jí)零件）：標(biāo)定值容許范圍 C 等 B 等 A 等X1 [,] / 25 /X2 [,] 20 50 /X3 [,] 20 50 200X4 [,0/125] 50 100 500X5 [,] 50 / /X6 [12,20] 10 25 100X7 [,] / 25 100現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1 ， 000 個(gè)。在原設(shè)計(jì)中，7 個(gè)零件參數(shù)的標(biāo)定值為：X1=,X2=,X3=,X4=,X5=,X6=16,X7=。容差均取最便宜的等級(jí)。請(qǐng)你綜合考慮y 偏離y0 造成的損失和零件成本，重新設(shè)計(jì)零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容許差），并與原設(shè)計(jì)比較，總費(fèi)用降低了多少。（美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)李文連、清華大學(xué)姜啟源提供）10B 題 截?cái)嗲懈?br />