概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4183)第02章課后習(xí)題解答-文庫吧
2025-05-23 19:55 本頁面
【正文】 x3時(shí),Fx=PX≤x=PX=1+PX=2=+=。 當(dāng)x≥3時(shí),Fx=PX≤x=PX=1+PX=2+PX=3=++=1。則X的分布函數(shù)F(x)為:Fx=0, amp。x, 1≤x, 2≤x31, x≥3 X≤=== PX≥===3. 設(shè)F1(x),F2(x)分別為隨機(jī)變量X1和X2的分布函數(shù),且F(x)=a F1(x)bF2(x)也是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),證明ab=1.證: F+∞=aF+∞bF+∞=1,即ab=14. 如下4個(gè)函數(shù),哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù):(1) F1x=0, amp。x212, 2≤x02, x≥0(2) F2x=0, amp。x0sinx, 0≤xπ1, x≥π(3) F3x=0, amp。x0sinx, 0≤xπ21, x≥π2(4) F4x=0, amp。x0x+13, 0x121, x≥125. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x) =a+barctanx,∞x+∞,求(1)常數(shù)a,b。 (2) P1X≤1 解: (1)由分布函數(shù)的基本性質(zhì)F∞=0,F+∞=1 得: a+b*(π2)=0a+b*(π2)=1 解之a(chǎn)=12, b=1π (2)P1X≤1=F1F1=a+b*π4(a+b*π4)=b*π2=12(將x=1帶入F(x) =a+barctanx)注: arctan為反正切函數(shù),值域(π2,π2), arctan1= π46. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx=0, amp。x1lnx, 1≤xe1, x≥e求PX≤2,P0X≤3,P2X≤解: PX≤2=F(2)=ln2 注: F(x)=PX≤x P0X≤3=F3F0=10=1。 P2X≤====1. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:fx=acosx, x≤π20, 其他. 求: (1)常數(shù)a。 (2)P0Xπ4。 (3)X的分布函數(shù)F(x).解: (1)由概率密度的性質(zhì)∞+∞fxdx=1,π2π2acosxdx=asinxπ2π2=asinπ2asinπ2=asinπ2+asinπ2=a+a=1A=12(2) P0Xπ4=12sinπ412sin0=12*22+12*0=24一些常用特殊角的三角函數(shù)值正弦余弦正切余切0010不存在π/61/2√3/2√3/3√3π/4√2/2√2/211π/3√3/21/2√3√3/3π/210不存在0π010不存在 (3) X的概率分布為:Fx=0, xπ2121+sinx, π2≤xπ21, x≥π2 2. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求: (1)常數(shù)a。 (2) P0≤X≤1。 (3)X的分布函數(shù).解:(1) ∞+∞f(x)dx=∞0aexdx+0+∞aexdx=a+a=1,即a=12(2) P0≤X≤1=F1F0=12(1e1)(3) X的分布函數(shù)Fx=12ex, x≤0112ex, x03. 求下列分布函數(shù)所對應(yīng)的概率密度:(1) F1x=12+1πarctanx, ∞x+∞。解:f1x=1π(1+x2) (柯西分布)(2) F2x=1ex22, x00, x≤0解: f2x=xex22, x00, x≤0 (指數(shù)分布)(3) F3x=0, x0sinx, 0≤ x≤π21, xπ2解: f3x=cosx, 0≤ x≤π20, 其他 (均勻分布)4. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx=x, 0≤x12x, 1≤ x20, 其他.求: (1)PX≥12。 (2) P12X32.解:(1) PX≥12=1F12=11222=118=78(2) (2) P12X32=F32F12=2*32132223222=345. 設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布,求方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率.(利用二次式的判別式)解: K~U(0,5)fK=15 , 0≤x≤50, 其他方程式有實(shí)數(shù)根,則Δ≥0,即(4K)24*4*K+2=16K216(K+2)≥02≤K≤1故方程
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