【正文】 x2≥－c 故當(dāng)c=時，原不等式不是對一切實(shí)數(shù)x都成立，即原不等式對一切實(shí)數(shù)x不都成立 要使原不等式對一切實(shí)數(shù)x都成立，即使x2≥－c對一切實(shí)數(shù)都成立?！選2≥0 故－c≤0∴c≥1(c0) ∴c≥1時，原不等式對一切實(shí)數(shù)x都能成立。不等式的證明【例1】 已知，求證：解1：．因為，所以，所以，所以，命題得證．解2：因為，所以，所以，由解1可知：上式1．故命題得證．【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求證：(a+)(b+)≥.證法一：(分析綜合法)欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.證法二：(均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時，等號成立.證法三：(比較法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤證法四：(綜合法)∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.證法五：(三角代換法）∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)2【例3】 證明不等式(n∈N*)證法一：(1)當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2，∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時，都有1+＜2.另從k到k+1時的證明還有下列證法：證法二：對任意k∈N*，都有：證法三：設(shè)f(n)= 那么對任意k∈N* 都有：∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴不等式的應(yīng)用【例1】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：【例2】 例已知函數(shù) （1）判斷函數(shù)的增減性； （2）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解：（1）函數(shù)是增函數(shù)； （2），必有時，不等式化為，故；當(dāng)，不等式化為，這顯然成立，此時；當(dāng)時，不等式化為故；綜上所述知，使命題p為真命題的x的取值范圍是【例3】 （1994年)已知函數(shù)解： 【例4】 (1995年)設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，項之和。(1)證明(2)是否存在常數(shù)C0,使得成立？并證明你的結(jié)論。證明：(I)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得即(2)不存在常數(shù)C使等式成立。 證法一：因為要使 ；綜合上面的證明可見不存在常數(shù) 還可以直接用反證法證明： 證法二：假設(shè)存在常數(shù)C0，使等式能夠成立,則有 由(4)可得：由平均值不等式可知＝【例5】 (1990年)設(shè)是任意給定的自然數(shù)，且。(1)如果時有意義，求a的取值范圍。(2)如果0時成立。解：(I)，； (2)證法一：根據(jù)＋ 下面用數(shù)學(xué)歸納法證之。 A. 設(shè)n=2時若 ，即(1)成立。 若 B. 設(shè)＋…＋ ＋證法二：只需證明，【例6】 如圖，ΔABC是某屋頂?shù)臄嗝妫珻D⊥AB，試確定D點(diǎn)的位置，并求y的最小值.解：設(shè)AD=x，CD=1，則AB=2，BD=2–x，（0x2）令∵；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號∴當(dāng)時，y取得最小值此時答：取AD:DB=1:時，y有最小值【例7】 在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液升，攪勻后再倒出溶液升，這叫做一次操作。(I)設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為（每次注入的溶液都是p%）， 計算，并歸納出的計算公式（不要求證明）(II)設(shè)要使容器內(nèi)溶液濃度不小于q%，問至少要進(jìn)行上述操作多少次？（已知）解：【例8】 某商場經(jīng)過市場調(diào)查分析后得知，2003年從年初開始的前n個月內(nèi)，對某種商品需求的累計數(shù)（萬件）近似地滿足下列關(guān)系：（Ⅰ）問這一年內(nèi)，？（Ⅱ）若在全年銷售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件） 解：（Ⅰ）首先，第n個月的月需求量＝ ∵，∴ ．當(dāng)時，∴ 令，即 ，解得：，∵ n∈N， ∴n = 5 ，6 即這一年的．（Ⅱ）設(shè)每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品．所以，需且只需：，∴ 又∵ ∴ 即每月初至少要投放11112件商品，才能保證全年不脫銷．【例9】 一根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比．a(chǎn)dl （Ⅰ）將此枕木翻轉(zhuǎn)90176。（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全?fù)荷變大嗎？為什么？ （Ⅱ）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？ 解：（Ⅰ）由題可設(shè)安全負(fù)荷為正常數(shù)），則翻轉(zhuǎn)90186。后，安全負(fù)荷．因為，所以，當(dāng)時，．安全負(fù)荷變大；當(dāng)時，安全負(fù)荷變?。?）如圖，設(shè)截取的枕木寬為a，高為d，則，即．∵ 枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負(fù)荷最大 ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)，即取，時，u最大， 即安全負(fù)荷最大． 【例10】 現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，．假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合．問：從第幾個觀測點(diǎn)開始，（不考慮泥沙沉淀）？ 解：本題的不等關(guān)系為“”．但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難．為表達(dá)方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個觀測點(diǎn)時，A水流和B水流的含沙量．則＝2，＝，且 ．（＊） 由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列． 由（＊）可得： 所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列． 所以，． 由題，令 ，得．所以，．由得，所以，．即從第9個觀測點(diǎn)開始，．【例11】 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)解：①設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得： 消去②由 (h＞0)得：所以V≤，當(dāng)且僅當(dāng)h=即h=1時取等號故當(dāng)h=1米時，V有最大值，V的最大值為立方米.六、專題練習(xí)【不等式的解法練習(xí)1】1．不等式的解集是 （ D ） （A）{} （B）{} （C）{} （D）{}2．當(dāng)時，不等式恒成立，則 的取值范圍是（ B ） （A） （B）（1，2） （C） （D）（0，1）3．不等式成立的一個充分但不必要條件是 （ B ） （A） （B） （C） （D）4．三個數(shù)的大小關(guān)系是 （ B ） （A） （B） （C） （D）5．若全集是( B ) A． B． C． D．6．下列命題中，正確的是( C ) A．若 B．若 C．若 D．若7．若是任意實(shí)數(shù)，且，則( D ) A． B． C． D．8．設(shè)，則下列四數(shù)中最大的是( A ) A． B． C． D．9．不等式恒成立，則的取值范圍為( D ) A． B．C． D．10．不等式的解集是( B ) A． B． C． D．11．當(dāng) 成立的充要條件是( C ) A． B． C． D．12．已知，那么的最小值是( B ) A．6 B． C． D．13．不等式組的解集是( D ) A． B． C． D． 14．不