【正文】 的方差，而稱 為估計(jì)量方差。通常蒙特卡羅模擬中的樣本量 n很大，由統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心極限定理知 漸進(jìn)正態(tài)分布，即： ()Var X2121l im ( )2x txxXp x e d tn????????? ?? ?xXn???21( ) , ( )xE X V a r X n????從而 ( ) 1xXpn ?? ???? ? ? ?式中 α位小概率， 1 α稱為置信度： 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中與 α對(duì)應(yīng)的臨界值，可有統(tǒng)計(jì)分布表查得。 ??( ) 1xXpn ?? ???? ? ? ?/x n?? ? ??由 得統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為與置信水平 α對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間： //xxX n X n??? ? ? ? ?? ? ? ?我們就把 記做是誤差 得到人們習(xí)慣的結(jié)果誤差表示： X ????對(duì)于指定的誤差 ε,模擬所需抽樣次數(shù) n可由 導(dǎo)出： /x n?? ? ??2xn ???????????隨機(jī)數(shù) ? 隨機(jī)數(shù)的定義 用 Monte Carlo方法模擬某過(guò)程時(shí)，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。最簡(jiǎn)單、最基本、最重要的隨機(jī)變量是在［ 0， 1］上均勻分布的隨機(jī)變量。由該分布抽取的簡(jiǎn)單子樣稱為隨機(jī)數(shù)序列，其中每一個(gè)體稱為隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)數(shù)屬于一種特殊的由已知分布的隨機(jī)抽樣問(wèn)題。隨機(jī)數(shù)是隨機(jī)抽樣的基本工具。 ［ 0， 1］上均勻分布（單位均勻分布），其分布密度函數(shù)為： 分布函數(shù)為： 特征： 獨(dú)立性 、 均勻性 1 , 0 1()0,xfx ???? ?? 其 他0 , 0( ) , 0 11 , 1xF x x xx???? ? ??? ??隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法 ? 隨機(jī)數(shù)表 ? 物理方法 ? 計(jì)算機(jī)方法 隨機(jī)數(shù)表 ? 隨機(jī)數(shù)表是由 0,1,2,…,9 十個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字以 ，數(shù)字之間相互獨(dú)立。 ? 方法：如果要得到 n位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)，只需將表中每 n個(gè)相鄰的隨機(jī)數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點(diǎn)即可。 例如：某隨機(jī)數(shù)表第一行數(shù)字為 7634258910… ，要想得到三位有效數(shù)字的隨機(jī)數(shù)依次為： ， ， 物理方法 ? 基本原理：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。 ? 缺點(diǎn)：無(wú)法重復(fù)實(shí)現(xiàn) 費(fèi)用昂貴 計(jì)算機(jī)方法 ? 在計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)最實(shí)用、最常見(jiàn)的方法是數(shù)學(xué)方法，即用如下遞推公式： 產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，對(duì)于給定的初始值 ，確定 ， n=1,2… 存在的問(wèn)題： 1，不滿足相互獨(dú)立的要求 2，不可避免的出現(xiàn)重復(fù)問(wèn)題 所以成為 偽隨機(jī)數(shù) 問(wèn)題的解決： 1 ()nnT??? ?n?1n? ?產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的乘同余方法 ? 乘同余方法是由 Lehmer在 1951年提出來(lái)的 ， 它的一般形式是：對(duì)于任一初始值 x1， 偽隨機(jī)數(shù)序列由下面遞推公式確定： 1 . ( m od )iix a x M? ?12 , 1 , 2 ,ix iM? ???iXa 為乘子， 為種子（初值）； M成為模數(shù)。上式表示 是 被 M 整除后的余數(shù)，叫做 與 對(duì)模 M的同余。 1ix? . iax.iax1x?利用乘同余法產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)的步驟如下： （ 1）取種子 、乘子 、和模數(shù) M； （ 2）由式（ 1）獲得一系列 ， ...； （ 3）由式（ 2）得到一系列 ， … 。這就是所要產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)的序列 1xa2x1? 2?1x乘同余方法在計(jì)算機(jī)上的使用 ? 為了便于在計(jì)算機(jī)上使用，通常取 ： Ｍ =2s ? 其中 s為計(jì)算機(jī)中二進(jìn)制數(shù)的最大可能有效位數(shù) ? x1= 奇數(shù) ? a = 52k+1 ? 其中 k為使 52k+1在計(jì)算機(jī)上所能容納的最大整數(shù) ， 即 a為計(jì)算機(jī)上所能容納的 5的最大奇次冪 。 一般地 ， s=32時(shí) ， a=513； s=48， a=515等 。偽隨機(jī)數(shù)序列的最大容量 λ(M)=2s2 。 ? 乘同余方法是使用的最多 、 最廣的方法 ， 在計(jì)算機(jī)上被廣泛地使用 。 用 MATLAB產(chǎn)生隨機(jī)數(shù) ? 語(yǔ)言：連續(xù)均勻分布的函數(shù)表達(dá)式為 R=unifrnd(A,B) ? 演示： for n=1:100。 k=unifrnd(0,1) end 隨機(jī)抽樣及其特點(diǎn) ? 由巳知分布的隨機(jī)抽樣指的是由己知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣。 隨機(jī)數(shù)序列 是由單位均勻分布的總體中抽取的簡(jiǎn)單子樣，屬于一種 特殊 的由已知分布的隨機(jī)抽樣問(wèn)題。下表所敘述的由任意已知分布中抽取簡(jiǎn)單子樣，是在假設(shè)隨機(jī)數(shù)為已知量的前提下，使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的。 ? 直接抽樣方法 ? 對(duì)于任意給定的分布函數(shù) F(x)， 直接抽樣方法如下： ? 其中， ξ1， ξ2， … ， ξN為隨機(jī)數(shù)序列。為方便起見(jiàn)，將上式簡(jiǎn)化為： ? 若不加特殊說(shuō)明 ， 今后將總用這種類似的簡(jiǎn)化形式表示 ， ξ總表示隨機(jī)數(shù) 。 NntX ntFn ,2,1,i n f)( ??? ? ?tX tFF ??? )(in f離散型分布的直接抽樣方法 ? 對(duì)于任意離散型分布： ? 其中 x1， x2， … 為離散型分布函數(shù)的跳躍點(diǎn) ， P1，P2， … 為相應(yīng)的概率 ， 根據(jù)前述直接抽樣法 ， 有離散型分布的直接抽樣方法如下： ? 該結(jié)果表明 ， 為了實(shí)現(xiàn)由任意離散型分布的隨機(jī)抽樣 ， 直接抽樣方法是非常理想的 。 ???xxiiPxF )(?? ??? I1ii1I1ii PP,＝－＝當(dāng) ?IF xX例 1. 二項(xiàng)分布的抽樣 ? 二項(xiàng)分布為離散型分布，其概率函數(shù)為： ? 其中， P為概率。對(duì)該分布的直接抽樣方法如下： nNnnNn PPCPnxP ????? )1()(?? ??? n0ii1n0ii PP,＝－＝當(dāng) ?nX F例 2. 擲骰子點(diǎn)數(shù)的抽樣 ? 擲骰子點(diǎn)數(shù) X=n的概率為： ? 選取隨機(jī)數(shù) ξ，如 ? 則 ? 在等概率的情況下，可使用如下更簡(jiǎn)單的方法：