【正文】 University 20 2 偶然誤差的特性 ? 界于曲線(xiàn)之下，橫坐標(biāo)之上，兩處 σ之間的面積占有總面積的很大部分 ，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論證得，此面積恒為 。 ? |σ|愈小，曲線(xiàn)的形狀將愈陡峭，它表示小的誤差愈多。而 |σ|愈大，曲線(xiàn)的形狀則愈平緩，它表示小的誤差愈少。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 21 2 偶然誤差的特性 可見(jiàn)，參數(shù) σ的大小代表著曲線(xiàn)的形狀，表征了偶然誤差分布的特征，因此成為一個(gè)重要的特征值。數(shù)理統(tǒng)計(jì)稱(chēng) σ2為誤差的方差 ，稱(chēng) σ為誤差的 標(biāo)準(zhǔn)差 （又稱(chēng) 方根差或 均方根差 ）。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)這樣的曲線(xiàn)為 正態(tài)分布 。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 22 2 偶然誤差的特性 參數(shù) σ 與觀(guān)測(cè)條件有關(guān)，如果在兩種觀(guān)測(cè)條件下各有一組觀(guān)測(cè)值，那么它們對(duì)應(yīng)的 σ 將不會(huì)相同。 下圖表示了兩個(gè)不同的 σ 的 f(Δ)曲線(xiàn)形狀，由曲線(xiàn)的函數(shù)表示式可知，當(dāng) Δ=0時(shí) f(Δ)有最大值。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 23 2 偶然誤差的特性 ? 直接由 σ 的 值即可了解得到，絕對(duì)值小者 (σ 1)陡峭，絕對(duì)值大者 (σ 2)平緩 ? 以?xún)蓚€(gè) σ 1為界，曲線(xiàn) 2在此區(qū)間的面積明顯比曲線(xiàn) 1的面積小 ? 從 曲線(xiàn)頂部的高度也可看出，很小誤差的個(gè)數(shù)也是曲線(xiàn) 2少于曲線(xiàn) 1 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 24 2 偶然誤差的特性 由此可以認(rèn)為，曲線(xiàn) 2的觀(guān)測(cè)條件不如曲線(xiàn)1的觀(guān)測(cè)條件好。 這個(gè)結(jié)論直接由 | σ2 || σ1 |便可得出。 同理，如果 | σ2 |=| σ1 | ，那么曲線(xiàn) 2的觀(guān)測(cè)條件與曲線(xiàn) 1的觀(guān)測(cè)條件相同。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 25 2 偶然誤差的特性 ? 必須再次說(shuō)明的是， 特征值 σ 是在某種觀(guān)測(cè)條件下，代表誤差曲線(xiàn)形狀的一個(gè)量，它并不是一個(gè)具體的誤差 ，即使有某一個(gè)具體誤差的值正好與相等，也不能說(shuō)這個(gè)誤差是特征值，因?yàn)樗鼈儽旧淼暮x不同。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 26 一、誤差理論的基本知識(shí) ?測(cè)量誤差的來(lái)源及其分類(lèi) ?偶然誤差的特性 ?評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) ?誤差傳播定律 ?測(cè)量精度分析舉例 ?不等精度觀(guān)測(cè)的平差 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 27 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 前面已經(jīng)說(shuō)明，有一組同精度觀(guān)測(cè)，若求得的 σ愈小，則這一組觀(guān)測(cè)值的精度愈高，即觀(guān)測(cè)值愈接近真值（在排除系統(tǒng)誤差的條件下）。 但是，對(duì)于這一組中的任意一個(gè)觀(guān)測(cè)值，它們的真誤差有大、有小，能不能說(shuō)真誤差大的精度低，真誤差小的精度高呢？ 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 28 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 不能，因?yàn)檎嬲`差的大小是由觀(guān)測(cè)條件而隨機(jī)產(chǎn)生的，是隨機(jī)量，真誤差的大小是在同一個(gè)精度工作條件（同一個(gè)觀(guān)測(cè)條件）下偶然出現(xiàn)的。 因此衡量一個(gè)觀(guān)測(cè)值的精度只能是用它所在的一組同精度觀(guān)測(cè)值求得的 σ 來(lái)表示，也就是用它作為評(píng)定某觀(guān)測(cè)值精度的指標(biāo)。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 29 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 測(cè)繪學(xué)中常將 |σ|記為 177。 σ 。通常所說(shuō)的某觀(guān)測(cè)值的精度，即是指該觀(guān)測(cè)值的 177。 σ ，是一組觀(guān)測(cè)值偶然誤差的密集程度，而不是它各次觀(guān)測(cè)本身的偶然誤差的大小。 實(shí)際上，觀(guān)測(cè)值的精度也代表了獲得它的觀(guān)測(cè)條件的好壞。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 30 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 由于實(shí)際測(cè)量工作的觀(guān)測(cè)次數(shù) （ N） 是有限的量，將無(wú)法求得，即無(wú)法對(duì)右式進(jìn)行計(jì)算。 如果一定要計(jì)算，其結(jié)果就不是 σ，現(xiàn)用 m代替，即 m是 σ 的近似值， N愈大，近似于的程度愈好，因而稱(chēng) m是 σ 的 估值 。 NiNiN)(lim212???????NmiNi)( 212????5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 31 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 一般情況下，在實(shí)際測(cè)繪工作中只能求得觀(guān)測(cè)對(duì)象的估值 m，為區(qū)別于 σ 為標(biāo)準(zhǔn)差這個(gè)名稱(chēng)， 稱(chēng) m為 中誤差 ，并用之作為評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)。 顯然，如果使用的 N不夠大，那么這個(gè)近似于的程度將難以預(yù)計(jì)。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 32 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 為了提高的 m可信度，通?？偸沁x擇較好的觀(guān)測(cè)環(huán)境（外界條件），由經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的人員進(jìn)行觀(guān)測(cè)，此時(shí)可以認(rèn)為產(chǎn)生偶然誤差的因素主要是用于觀(guān)測(cè)的儀器的質(zhì)量。 一般地說(shuō)，影響觀(guān)測(cè)值精度的觀(guān)測(cè)條件，儀器的質(zhì)量是最主要的因素，偶然誤差如此，系統(tǒng)誤差亦如此。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 33 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 用中誤差來(lái)衡量觀(guān)測(cè)值的精度，對(duì)有些觀(guān)測(cè)對(duì)象并不一定合適，例如有兩條直線(xiàn)AB和 CD， AB長(zhǎng) 50m， CD長(zhǎng) 100m， AB和CD的中誤差均為 177。 10mm， 那么能否因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)的中誤差相等而認(rèn)為它們的精度也相等呢？ 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 34 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 就人們的一般常識(shí)也不會(huì)認(rèn)為它們是相等的。為此便需要用 相對(duì)中誤差 這個(gè)概念來(lái)衡量精度，AB直線(xiàn)的相對(duì)中誤差按下式計(jì)算： 50001?ABABDm同樣可以算得 CD直線(xiàn)的相對(duì) 中誤差為 1/10000。取分子 為 1，是便于了解相對(duì)值的大小，有利于在多個(gè)相對(duì)誤差 之間進(jìn)行比較。 相對(duì)中誤差多用于距離這樣的觀(guān)測(cè)值，對(duì)于角度、高差這樣的觀(guān)測(cè)值則直接用中誤差來(lái)衡量精度。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 35 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 在現(xiàn)實(shí)的測(cè)繪工作中，常常需要知道某個(gè)觀(guān)測(cè)值是否可用的問(wèn)題。例如前述的 5個(gè)長(zhǎng)度值： 、 、 、 ，最后一個(gè)因與其它 4個(gè)明顯地相差較大（將近1m）而被認(rèn)為有錯(cuò)誤并將其剔除，但是另外 4個(gè)之間又只能相差多大呢。 假如最后一個(gè)不是 ，而是，是否應(yīng)將其剔除？ 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 36 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 由數(shù)理統(tǒng)計(jì)可知： ? 位于兩個(gè) σ之間的 誤差個(gè)數(shù)是總個(gè)數(shù)的% ? 兩個(gè) 2σ之間（右圖中灰色部分）誤差個(gè)數(shù)占總誤差個(gè)數(shù)的% ? 兩個(gè) 3σ之間的誤差個(gè)數(shù)占了總誤差個(gè)數(shù)的% 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 37 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 有理由認(rèn)為在實(shí)際的測(cè)量結(jié)果中，誤差的絕對(duì)值大于 2σ的觀(guān)測(cè)值是極少或不應(yīng)該出現(xiàn)的，如果出現(xiàn)了這樣的誤差，可將其認(rèn)為是不合格的結(jié)果而予以剔除。 因此通?？偸菍?2σ作為限制觀(guān)測(cè)值誤差大小的界限，即 限差 。有時(shí)也稱(chēng)絕對(duì)值大于 2σ的誤差為 粗差 。 5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 38 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 計(jì)算中誤差的公式為： 要得到測(cè)量對(duì)象的真誤差（ Δ=L－ X）首先要知道其真值，而真值通常情況下是不知道的。所以，只能通過(guò)別的途徑來(lái)計(jì)算中誤差。 NmiNi)( 212????5/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 39 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 設(shè)各次的觀(guān)測(cè)值為 Li，它們的真誤差為 Δi，可得各次觀(guān)測(cè)的真值為 ????????????????NNLXLXLX?????2211相加并用 N除，得 NNLXNiiNii ??????? 115/29/2022 School of Geodesy and Geomatics,Wuhan University 40 3 評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn) 在觀(guān)測(cè)次數(shù) N不是無(wú)限多時(shí)，由上式計(jì)算的值將不會(huì)是真值，而是一個(gè)接近于真值的量，這種最接近于真值的量稱(chēng)為 最或然值 。 N越大