【正文】 反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系 ， 由開環(huán)傳遞函數(shù)來直接求閉環(huán)特征根的軌跡的總體規(guī)律 ， 而無需求解高階系統(tǒng)的特征根 。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 根軌跡定義 假設(shè)控制系統(tǒng)框圖為： G ( s )H ( s )+_其中閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ? ?? ????????njjmiipszzKsHsG11)()( 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 根軌跡定義 采用根軌跡時(shí) ， 把閉環(huán)特征方程寫出另一種等價(jià)形式 ，稱為根軌跡方程： ? ?? ?1)()(11 ?????????njjmiipszzKsHsG一般意義上的根軌跡 ， 即上述方程在開環(huán)增益 K從 0??變化時(shí) ， 閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的變化情況 ， 也就是 180?根軌跡 。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 繪制根軌跡的一般法則 法則 1：根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程式的階次，一般情況下等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。 根軌跡在復(fù)平面上是一簇連續(xù)的曲線，并對稱于實(shí)軸。因?yàn)楦壽E是閉環(huán)特征方程的根，特征方程的根是實(shí)根或者是共軛復(fù)根，所以根軌跡一定對稱于實(shí)軸。 法則 2：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。 如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)不等，則其余根軌跡不是終止于無窮遠(yuǎn)，就是起始于無窮遠(yuǎn)。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 繪制根軌跡的一般法則 法則 3：根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn) 當(dāng) K從 0變化到無窮大時(shí)，根軌跡可能會(huì)先會(huì)合后分離，這樣的點(diǎn)稱分離點(diǎn)。分離點(diǎn)對應(yīng)重閉環(huán)極點(diǎn) 位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)極點(diǎn)之間一定有分離點(diǎn)，位于實(shí)軸上的兩個(gè)相鄰的開環(huán)零點(diǎn)之間也一定有分離點(diǎn)。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 閉環(huán)極點(diǎn)分布對時(shí)域響應(yīng)的影響 ?閉環(huán)極點(diǎn)位于虛軸上 ， 則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)； ?閉環(huán)極點(diǎn)是負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn) ， 則系統(tǒng)階躍響應(yīng)是單調(diào)的； ?閉環(huán)極點(diǎn)是具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， 則系統(tǒng)階躍響應(yīng)是衰減振蕩； ?系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的快速性與閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離有關(guān) ，距離越大 ， 則調(diào)節(jié)時(shí)間越短； ?如果系統(tǒng)有多個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) ， 則距虛軸越近的閉環(huán)極點(diǎn)所起的作用越大 。 如果一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離較另一個(gè)大 5倍或以上 ， 則距離遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì) 。 【 調(diào)用格式 】 rlocus(sys) rlocus(sys,k) %使用指定的根軌跡增益 K值來繪制系統(tǒng)的根軌跡 rlocus(sys1,sys2,...) %繪制多個(gè)系統(tǒng)的根軌跡 [R,K] = rlocus(sys) R = rlocus(sys,k) 【 說明 】 ? sys為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 。 ? rlocus函數(shù)繪制以 k為參數(shù)的 SISO系統(tǒng)的軌跡圖 。 ? 不帶輸出變量的調(diào)用方式將繪制系統(tǒng)的根軌跡 。 ? 帶有輸出變量的調(diào)用方法將不繪制根軌跡 ， 只計(jì)算根軌跡上各個(gè)點(diǎn)的值 。 K中存放的是根軌跡增益向量；矩陣 R的列數(shù)和增益 K的長度相同 ， 它的第 m列元素是對于增益 K(m)的閉環(huán)極點(diǎn) 。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 根軌跡繪制 【 調(diào)用格式 】 [K,poles]=rlocfind(sys) %計(jì)算鼠標(biāo)拾取點(diǎn)處的根軌跡增益和閉環(huán)極點(diǎn) [K,poles]=rlocfind(sys,P) %計(jì)算最靠近給定閉環(huán)極點(diǎn) P處的根軌跡增益 【 說明 】 ? 函數(shù) rlocfind可計(jì)算出與根軌跡上極點(diǎn)相對應(yīng)的根軌跡增益 。 rlocfind既適用于連續(xù)系統(tǒng) ， 也適用于離散時(shí)間系統(tǒng) 。 ? P為給定的閉環(huán)極點(diǎn) ， 可以給定多個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) ， 此時(shí) P為列向量 。 向量 K的第 m項(xiàng)是根據(jù)極點(diǎn)位置 P（ m） 計(jì)算的增益 ， 矩陣 poles的第 m列poles(m)是相應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn) 。 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 計(jì)算 根軌跡增益 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 已知系統(tǒng)的根軌跡方程為： ? ?? ? ????sssk繪制系統(tǒng)的根軌跡，編程求取當(dāng)一個(gè)特征根為 ，系統(tǒng)的根軌跡增益 k為多少？另一個(gè)特征根為多少？ num=[1 ]。 den=conv([1,0],[1,])。 rlocus(num,den) [k,poles]=rlocfind(num,den,) k = poles = 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的根軌跡，并據(jù)根軌跡判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 )2)(1()3()(????ssssksG gnum=[1 3]。 den=conv([1 1],[1 2 0])。 G=tf(num,den)。 rlocus(G) figure(2) Kg=4。 G0=feedback(tf(Kg*num,den),1)。 subplot(1,2,1),step(G0,25) Kg=40。 G0=feedback(tf(Kg*num,den),1)。 subplot(1,2,2),step(G0,25) 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis 3 . 5 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 086420246810S y s t e m : GG a i n : 3 7 . 4P o l e : 0 . 0 6 4 + 6 . 2 5 iD a m p i n g : 0 . 0 1 0 2O v e r s h o o t ( % ) : 9 6 . 8F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 6 . 2 5S y s t e m : GG a i n : 4 . 2 4P o l e : 0 . 2 4 2 + 2 . 2 3 iD a m p i n g : 0 . 1 0 8O v e r s h o o t ( % ) : 7 1 . 2F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 2 . 2 5 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 0 5 10 15 20 2500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 8S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude0 5 10 15 20 2500 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 若單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )5)(2)(1()()(?????sssssksG g繪制系統(tǒng)的根軌跡，確定當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)的取值范圍。 num=[1 ]。 den=conv([1 3 2],[1 5 0])。 G=tf(num,den)。 K=0::200。 rlocus(G,K) [K,POLES]= rlocfind(G) %選擇虛軸上的點(diǎn)，則 K為臨界增益，在命令窗口顯示 figure(2) t=0::10。 G0=feedback(tf(K*num,den),1)。 step(G0,t) %臨界穩(wěn)定時(shí)的階躍響應(yīng) 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 Select a point in the graphics window selected_point = + K = POLES = + 命令窗口的提示： 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16420246R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis系統(tǒng)根軌跡 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 . 20 . 40 . 60 . 811 . 21 . 41 . 61 . 82S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的階躍響應(yīng)曲線 線性系統(tǒng)的根軌跡 —— 舉例 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng) —— 基本概念 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。