【正文】 合力的矢量即為力系的主矢 F’ R，合力作用線恰好通過簡化中心 o。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學168。 2．主矢、主矩均不為零168。 力系等效于一作用于簡化中心 o的力 F’R和一力偶矩為 Mo的力偶。由力的平移定理知，一個力可以等效地變換成為一個力和一個力偶，那么，反過來，也可將一力和一力偶等效地變換成為一個力。即，當主矢和主矩均不為零時，可簡化為一合力。 合力 FR與主矢 F’R具有相同的大小和方向。合力作用線不再通過簡化中心 o，而是位于主矢 F’R的一側，使得合力 FR對 o點的矩與主矩 Mo具有相同的正負號，且合力 FR與主矢 F’R間的距離 d可由下式確定：第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學第 4章 平面力系的簡化與平衡方程平面任意力系合力矩定理證明任選 簡化中心 O，上式普遍成立。由此可得出前面學過的合力矩定理。平面任意力系的合力對作用面內任意一點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。Mo是該力系對于點 O的主矩，等于力系中各力對簡化中心 O的矩的代數和。168。由圖易見，168。合力 FR對點 O的矩為建筑力學第 4章 平面力系的簡化與平衡方程168。 例 求例 。168。 在前面己求出力系向點 A簡化的結果，且主矢和主矩都不等于零。這說明力系可簡化為一合力 FR。且 FR＝ F’R。關鍵問題是要確定出合力 FR的作用線在坐標系中的位置。即與 x軸的交點 K的坐標 xK 。建筑力學第 4章 平面力系的簡化與平衡方程設想將合力 FR沿作用線移至K點，分解為兩個分力 FRx和FRy。力系向點 A簡化的主矩為 MA ， 根據合力矩定理。式中負號表明 K點在坐標原點 A的左側。建筑力學3．主矢為零，主矩不為零168。 各力向簡化中心等效平移后，所得匯交力系是平衡力系，原力系與附加力偶系等效。原力系簡化為一合力偶，該力偶的矩就是原力系相對于簡化中心 O的主矩 Mo。此種情況下，主矩與簡化中心的位置無關，向不同點簡化，所得主矩相同。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學168。4．主矢與主矩均為零168。 這種情況下，平面任意力系是一個平衡力系。168。 總之，對不同的平面任意力系進行簡化．綜合后結果只有三種可能：168。 (1) 合力；168。 (2) 合力偶；168。 (3) 平衡。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學平面任意力系的解析平衡條件 平面任意力系的一般簡化結果為一個主矢 FR’ 和一個主矩 Mo 。當物體平衡時，主矢和主矩必須同時為零。由主矢 FR’ = 0 ，得：由主矩 Mo = 0 ， 得：第 4章 平面力系的簡化與平衡方程167。43 平面任意力系的平衡條件 平衡方程建筑力學平面任意力系的主矢和主矩同時為零 F’R＝ 0， Mo=0是平面任意力系平衡的 充要條件 。平面任意力系下的解析平衡條件為：力系中所有各力在兩個任選坐標軸中每一軸上的投影代數和分別等于零，以及各力對任意一點的矩的代數和等于零。即必須滿足下式。其中 O是平面內任意一點。 三者必須同時為零才能平衡，三個平衡條件互相獨立，對于一個研究對象可以求解三個未知力，且最多求解三個未知力。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程方程組：兩個投影方程＋一個取矩方程，稱為一矩式平衡方程。建筑力學應用平衡條件求解未知力的步驟為：確定研究對象，畫受力圖；由平衡條件建立平衡方程；由平衡方程求解未知力。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學例 1 已知 q = 2KN/m ， 求圖示結構 A支座的反力。解：取 AB 桿為研究對象畫受力圖。由 ∑ FX = 0 ：由 ∑ Fy = 0 ：由 ∑ MA = 0 （ ∑MB =0也可以 ） ：第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學例 2 求圖示結構的支座反力。解： 取 AB 桿為研究對象畫受力圖。由 ∑ FX = 0 ：由 ∑ Fy = 0 ：由 ∑ MA = 0 ：第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學由 ∑ Fy = 0 ：由 ∑ MA = 0 ： 由 ∑ FX = 0 ：例 3 求圖示結構的支座反力。解： 取整個結構為研究對象畫受力圖。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學168。 例 圖示構件的 A端為固定端， B端自由，求在已知外力的作用下，固定端 A的約束力。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程建筑力學第 4章 平面力系的簡化與平衡方程168。 解 : (1)取分離體，作受力圖。 取構件 AB為分離體，其上除作用有已知主動力外，固定端約束力為 FAx、 FAy和約束力偶 MA。168。 (2)列平衡方程，求解未知量。取坐標軸如圖所示。168。 一般選取未知力交點為矩心，力求減少每一平衡方程中未知力的數目。否則．平衡方程中的項數增多，需要求解聯立方程。 因為力偶在任何軸上的投影為零，所以投影方程為FAx＝ F， FAy=2F， MA=建筑力學168。 例 起重機重 Pl＝ 10 kN， 可繞鉛 直 軸 AB轉動；起重機的掛鉤上掛一重為 P2=40 kN的重物 。 如圖所示。起重機的重心C到轉動軸的距離為 、其他尺寸如圖所示。求在止 推 軸承 A和軸承 B處的約束力。第 4章 平面力系的簡化與平衡方程分析：以 起重機 （可看作剛架結構）為 研究對象 ，它所受的主動力有 P1和 P2。根據對稱性，約束力和主動力都位于同一平面內。止推軸承 A處有兩個約束力 FAx，FAy，軸承 B處只有一個與轉軸垂直的約束力 FB，約束力方向如圖所示。剛結點建筑力學第 4章 平面力系的簡化與平衡方程168。 取坐標系如圖所示，列平面任意力系的平衡方程，即168。 FAy=50 kN, FB=31 kN, FAx=31 kN1