【正文】 法 ( 1 ) 用分析法思考數(shù)學問題的順序可表示為 ( 對于命題 “ 若 A 則D ” ) 分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，是從 D 上溯尋其論據(jù)，如 C ， C1， C2等，再尋求 C ， C1， C2的論據(jù)，如 B ， B1， B2， B3，B4等，繼而尋求 B ， B1， B2， B3， B4的論據(jù)，如果其中之一 B 的論據(jù)恰為已知條件，于是命題已經(jīng)得證． ( 2 ) 用分析法證明的步驟及書寫格式 要證 Q 成立，只要證明 P1，即證 P2，只需證 P3， ? ，即證 P ，因為 P 成立，所以 Q 成立． ( 3 ) 用分析法證題時，一定要嚴格按格式書寫，并且保證分析過程的每一步都是可以逆推的，否 則可能會出錯． ( 4 ) 分析綜合法 分析法的思想是逆向思維，它能增大思維的發(fā)散量，克服思維定勢的影響，有利于發(fā)展求異思維．在解題過程中，分析法和綜合法是統(tǒng)一的，不能把綜合法和分析法孤立起來使用，更常用的是一頭分析，一頭綜合，從兩頭逐步向中間靠攏，最后接通邏輯思路，這種方法叫分析綜合法． 6 ． 反證法 要證明某一結論 A 是正確的，但不直接證明，而是先去證明 A的反面 ( 非 A ) 是錯誤的，從而斷定 A 是正確的，即反證法就是通過否定命題的結論而導出矛盾來達到肯定命題的結論，完成命題的論證的一種數(shù)學證明方法． ( 1 ) 用反證法證明 問題的一般步驟： ① 分清命題的條件和結論； ② 作出與命題結論相矛盾的假定命題 ( 否定結論 ) ； ③ 從假定和條件出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果 ( 推導矛盾 ) ； ④ 斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因在于開始所作的假設不真，于是原結論成立，從而間接證明了原命題為真命題． ( 2 ) 反證法主要適用于以下兩種情形： ① 要證的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論的線索不夠清晰； ② 如果從正面證明，需要分成多種情形進行分類討論，而從反面進行證明，只需研究一種或很少的幾種情形． ③ 可能出現(xiàn)矛盾的四種情況： ( ⅰ ) 與題設矛盾； ( ⅱ ) 與反設矛盾； ( ⅲ ) 與公理、定理矛盾； ( ⅳ )在證明過程中，推出自相矛盾的結論． (3 ) 用反證法證明問題時要注意以下三點： ① 必須先否定結論，即肯定結論的反面，當結論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的； ② 反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法； ③ 推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實相矛盾等，推導出的矛盾必須是明顯的． (4 ) 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的 . 原結論詞 至少有一個 至多有一個 至少有n 個 至多有 n 個 反設詞 一個也沒有( 不存在 ) 至少有兩個 至多有n － 1 個 至少有 n ＋ 1 個 原結論詞 只有一個 對所有 x成立 對任意 x不成立 反設詞 沒有或至少有兩個 存在某個x 不成立 存在某個 x成立 原結論詞 都是 一定是 p 或 q p 且 q 反設詞 不都是 一定不是 綈 p 且 綈 q 綈 p 或 綈 q 7. 數(shù)學歸納法及其原理 ( 1 ) 定義：數(shù)學歸納法是證明一些與正整數(shù)有關的數(shù)學命 題的一種方法．即先證明當 n 取第一個值 n0( 例如 n0＝ 1) 時命題成立，然后假設當 n ＝ k ( k ∈ N*， k ≥ n0) 時命題成立．并證明當 n ＝ k ＋ 1 時命題也成立，那么就證明這個命題成立．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法． ( 2 ) 原理：這是因為第一步首先驗證了 n 取第一個值 n0，這樣假設就有了存在的基礎．至少 k ＝ n0成立．由假設和合理推證，證明出 n ＝ k ＋ 1 也成立．這實質(zhì)上是證明了一種循環(huán)．如驗證了 n0＝ 1成立，又證明了 n ＝ k ＋ 1 也成立，這就一定有 n ＝ 2 成立， n ＝ 2 成立，則 n ＝ 3 也成立； n ＝ 3 成立，則 n ＝ 4 也成立．如此反復以至無窮 ，對所有 n ≥ n0的整數(shù)就都成立了． ( 3 ) 數(shù)學歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關的命題 的一種方法．它是一種完全歸納法，它的證明共分兩步，其中第一步是命題成立的基礎，稱為 “ 歸納基礎 ” ( 或稱特殊性 ) ．第二步解決的是延續(xù)性問題 ( 又稱傳遞性 ) ．運用數(shù)學歸納法證明有關命題 要注意以下幾點： ① 兩個步驟，缺一不可； ② 第二步中，證明 “ 當 n ＝ k ＋ 1 時結論正確 ” 的過程里，必須利用 “ 歸納假設 ” 即必須用上 “ 當 n ＝ k 時結論正確 ” 這一條件，不用歸納假設的證明是錯誤的． ③ 在第二步的證明中， “ 當 n ＝ k 時結論正確 ” 這一歸納假設起著已知的作用 ； “ 當 n ＝ k ＋ 1 時結論正確 ” 則是求證的目標．在這一步中，一般首先要湊出歸納假設里給出的形式，以便利用歸納假設，然后再去湊出當 n ＝ k ＋ 1 時的結論． 8 ． 數(shù)學歸納法對不同題型的應用 ( 1 ) 用于證明代數(shù)恒等式 證明代數(shù)恒等式時，應先分析清楚等式兩邊的構成情況，解這類題的關鍵在于第二步將式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設的等式結構相同的形式．第二步的恒等變形過程不能省略． ( 2 ) 用于證明不等式 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的不等式時，關鍵仍在第二步，它與證明恒等式比較，證明不等式的難度較大，甚至有時第一步也不容易．因而第二步用了 歸納假設以后往往還要結合證明不等式的其他方法，如比較法、放縮法、分析法、反證法等才能達到證題目的． ( 3 ) 用于證明整除問題 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的整除問題時，關鍵也在于第二步由 p ( k ) ? p ( k ＋ 1) 的過渡中，由于 p ( k ＋ 1) 中根本沒有 p ( k ) 中的因子，因而要 “ 湊 ” 出歸納假設中的 p ( k ) ，即要 “ 添 ” 項、 “ 減 ” 項．同時還應注意掌