【正文】 120042004=（2003+1）2002=2003M2+1∴20022002+200420042005=2003（M1+M21）由定義2003|（20022002+200420042005）例8. 設d(n)為n的正因子的個數(shù)， (n)為n的所有正因子之和，求d(1000)， (1000)。解：∵ 1000=2353∴ d(1000)=(3+1)(3+1)=16， (1000)=例9. 設c不能被素數(shù)平方整除，若a2|b2c，則a|b證：由已知p(c)≤1，且p(a2)≤p(b2c)∴ 2p(a)≤2p(b)+p(c) , ∴ p(a)≤p(b)+即p(a) ≤p(b) , ∴ a|b例10. 若Mn為素數(shù)，則n一定為素數(shù)。證：若n為合數(shù)，則設n=ab，（1a,bn）∴ 2ab1=(2a)b1=(2a1)M為合數(shù)，與Mn為素數(shù)矛盾，∴ n為素數(shù)。例11. 證明對任意m,n，m≠n, (Fn,Fm)=1。證：不妨設nm，則Fn2=（）（）=(Fn12) （）= Fn1Fn2……Fm F0設（Fn,Fm）=d,則d|Fn, d|Fmd|2但Fn為奇數(shù)，∴d=1, 即證。例12. 設m,n是正整數(shù)。證明證 : 不妨設。由帶余數(shù)除法得 我們有由此及得,=注意到,若,則,則繼續(xù)對作同樣的討論，由輾轉相除法知，結論成立。顯見，2用任一大于1的自然a代替，結論都成立。例13. 證明：對任意的正整數(shù)，成立如下不等式。其中是數(shù)的以10為底的對數(shù)，是的不同的素因數(shù)（正的）的個數(shù)。證：設是大于1的整數(shù)（如果=1，上述不等式顯然成立，因=0）， 是的個相異的素因素。的素因數(shù)分解式為.() , 由于，從而，而，故。將上述不等式取對數(shù)（設底）,則有。特別有。例14. 試證明任意一個整數(shù)與它的數(shù)字和的差必能被9整除，并且它與它的數(shù)字作任意調后換后所成整數(shù)的差也能被9整除。證： 設整數(shù)m的個位、十位、百位…的數(shù)字分別為,，…，則可表作： 所以因為，,…，都是整數(shù)，所以任一整數(shù)與其數(shù)字之和的差必能被9整除。再設將,，…，按任一種順序排成,，…，并令，。根據(jù)前面證明的結果，知存在整數(shù)A，B，使因為，所以。由于AB是整數(shù)，這就證明了能被9整除。注：若對某個整數(shù)，有，但當時，則此時為整數(shù)：即。如前證，此時結論正確。又當為負整數(shù)及零時，結論顯然正確。216。 第二章 不定方程一、 主要內容一次不定方程有解的條件、解數(shù)、解法、通解表示，不定方程x2+y2=z2通解公式、無窮遞降法、費爾馬大定理。二、 基本要求 了解不定方程的概念，理解對“解”的認識，掌握一次不定方程有解的條件，能熟練求解一次不定方程的特解，正整數(shù)解及通解。了解多元一次不定方程有解的條件，在有解的條件下的解法。掌握不定方程x2+y2=z2在一定條件下的通解公式，并運用這個通解公式作簡單的應用。對費爾馬大定理應有在常識性的了解，掌握無窮遞降法求證不定方程x4+y4=z2無解的方法。掌握證明不定方程無解的若干方法。三、難點和重點（1）重點為求解一次不定方程的方法（2）掌握第二節(jié)中引證的應用。（1） 費爾馬無窮遞降法。四、自學指導不定方程主要講解以下幾個問題（i）給定一類不定方程，判別在什么條件下有解。（ii）在有解的條件下，有多少解（iii）在有解的條件下，求出所給的不定方程的所有解。 二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c 。若(a ,b)∣c，則該二元一次不定方程一定有解，若已知一個特解，則一切解可以用公式表示出來，因此求它的通解只要求出一個特解即可。求解二元一次不定方程的一個通解有好多種方法。讀者應該總結一下，各種方法都有獨到之處。特別要指出用最大公因數(shù)的方法。它的根據(jù)是求（a ,b）時所得的結果。由于注意通解公式x=x0b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意義和位置。以免出錯。多元一次不定方程也有類似的結果，但在求解的過程中將它轉化二元一次不定方程組，從最后一個二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,……xn 。所用的方法一般選擇最大公因數(shù)的方法。由于n元一次不定方程可轉化為n1個二元一次不定方程組，故在通解中依賴于n1個任意常數(shù)。但不象二元一次不定方程那樣有公式來表示。x2+y2=z2的正整數(shù)解稱為勾股數(shù)，在考慮這個方程時，我們對（x ,y）作了一些限制，而這些限制并不影響其一般性。在條件x0，y0，z0，（x，y）=1，2∣x的條件可以給出x2+y2=z2的通解公式，x=2ab，y=a2b2，z2=a2+b2，ab0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若將2∣x限為2∣y，則也有相應的一個通解公式。在證明這個通解公式的過程中，用到了引理 uv=w2，u0，v0，（u ,v）=1，則u=a2，v=b2，w=ab 。a0，b0，（a ,b）=1 。利用這個結論可以求解某些不定方程。特別當w=1或素數(shù)p 。則由uv=1或uv=P 可將原不定方程轉化為不定方程組。從而獲得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望讀者能掌握這種方法。 為了解決著名的費爾馬大定理：xn+yn=zn ，n≥3無正整數(shù)解時，當n=4時可以用較初等的方法給出證明。證明由費爾馬本人給出的，一般稱為費爾馬無窮遞降法。其基本思想為由一組解出發(fā)通過構造得出另一組解，使得兩組解之間有某種特定的關系，而且這種構造可以無限重復的。從而可得到矛盾。因此無窮遞降法常用來證明某些不定方程無整數(shù)解。證明一類不定方程無解是研究不定方程鄰域中常見的形式，一般的要求解不定方程比證明不定方程無解要容易些。證明不定方程無解的證明方法常采用以下形式：（反證法）若A有解A1有解A2有解……An有解，而An本身無解，這樣來構造矛盾。從而說明原不定方程無解。對于證明不定方程的無解性通常在幾種方法，一般是總的幾種方法交替使用。特別要求掌握：簡單同余法、因子分解法、不等式法，以及中學數(shù)學中所涉及的判別式法。五、例子選講例1：利用整數(shù)分離系數(shù)法求得不定方程15x+10y+6z=61。解：注意到z的系數(shù)最小，把原方程化為z=令t1=，即3x+2y6t1+1=0此時y系數(shù)最小，令t2 =,即,反推依次可解得y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2z=2x2y+10+t1=65t1+10t2∴原不定方程解為t1t2∈z.例2:證明是無理數(shù)證：假設是有理數(shù)，則存在自數(shù)數(shù)a,b使得滿足即，容易知道a是偶數(shù)，設a=2a1，代入得,又得到b為偶數(shù)，設，則,這里這樣可以進一步求得a2，b2…且有aba1b1 a2b2…但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產生了矛盾，∴為無理數(shù)。例3：證明：整數(shù)勾股形的勾股中至少一個是3的倍數(shù)。證：設N=3m177。1(m為整數(shù)) ， ∴N2=9m2177。6m+1=3(3m2177。2m)+1即一個整數(shù)若不是3的倍數(shù)，則其平方為3k+1,或者說3k+2不可能是平方數(shù)，設x,y為勾股整數(shù)，且x,y都不是3的倍數(shù)，則x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，這是不可能，∴勾股數(shù)中至少有一個是3的倍數(shù)。例4：求x2+y2=328的正整數(shù)解解：∵ 328為偶數(shù)，∴x,y奇偶性相同，即x177。y為偶數(shù)，設x+y=2u, xy=2v，代入原方程即為u2+v2=164,同理令u+v=2u1,uv=2v1有為一偶一奇，且0u26u2=1，2，3，4，5代方程，有解（4，5）（5，4）∴原方程解x=18,y=2,或x=2,y=18。例5：求x2+xy6=0的正整數(shù)解。解：原方程等價于x(x+y)=23,故有∴ ， ∴ 即有x=2,y=1。 x=1,y=5.例6：證明不定方程x22xy2+5z+3=0無整數(shù)解。解：若不定方程有解，則但y4≡0，1(mod5), ∴ 對y,z ，y45z3≡2，3(mod5)而一個平方數(shù)≡0，1，4（mod 5）∴ y45z3不可能為完全平方，即不是整數(shù)，所以原不定方程無解。例7：證明：無整數(shù)解證：若原方程有解，則有注意到對于模8，有因而每一個整數(shù)對于模8，必同余于0，1，4這三個數(shù)。不論如何變化，只能有而，故不同余于關于模8，所以假設錯誤，即，從而證明了原方程無解。例8:某人到銀行去兌換一張d元和c分的支票，出納員出錯，給了他c元和d元，此人直到用去23分后才發(fā)覺其錯誤，此時他發(fā)現(xiàn)還有2d元和2c分，問該支票原為多少錢？解：由題意立式得：即令得令得所以為任意整數(shù)），代入得：（1）其中v是任意整數(shù)。又根據(jù)題意要求：.根據(jù)(1)，僅當v=8時滿足此要求，從而因此該支票原為25元51分.216。 第三章 同余一、 主要內容同余的定義、性質、剩余類和完全剩余系、歐拉函數(shù)、簡化剩余系、歐拉定理、費爾馬小定理、循環(huán)小數(shù)、特殊數(shù)2，3，4，5，6，7，8，9，11，13的整除規(guī)律二、 基本要求通過本章的學習，能夠掌握同余的定義和性質，區(qū)別符號：“三”和=”之間的差異。能利用同余的一些基本性質進行一些計算，深刻理解完全剩余系，簡化剩余系的定義、性質及構造。能判斷一組數(shù)是否構成模m的一個完全剩余系或一個簡化剩余系。能計算歐拉函數(shù)的值，掌握歐拉定理、費爾馬小定理的內容以及證明方法。能應用這二個定理證明有關的整除問題和求余數(shù)問題。能進行循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化。三、難點和重點（1）同余的概念及基本性質（2）完全剩余系和簡化剩余系的構造、判別（3）歐拉函數(shù)計算、歐拉定理、費爾馬小定理的證明及應用（4）循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化（5）特殊數(shù)的整除規(guī)律。四、自學指導同余