初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)與習(xí)題-文庫吧
2024-10-07 12:37 本頁面
【正文】 頂點坐標為 2424b ac baa????????，．當(dāng)2bx a??時， y 隨x 的增大而增大；當(dāng) 2bx a?? 時， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng) 2bx a?? 時， y 有最大值 24 4ac ba? ． 七 、二次函數(shù)解析式的表示方法 1. 一般式： 2y ax bx c? ? ? （ a ， b ， c 為常數(shù)， 0a? ）； 2. 頂點式： 2()y a x h k? ? ? （ a ， h ， k 為常數(shù)， 0a? ）； 3. 兩根式： 12( )( )y a x x x x? ? ?（ 0a? ， 1x ， 2x 是拋物線與 x 軸兩交點的橫坐標） . 注意：任何二次函數(shù)的解析 式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與 x 軸有交點，即 2 40b ac??時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . 八 、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù) a 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? 中， a 作為二次項系數(shù)，顯然 0a? ． ⑴ 當(dāng) 0a? 時，拋物線開口向上， a 的值越大，開口越小，反之 a 的值越小，開口越大； ⑵ 當(dāng) 0a? 時，拋物線開口向下， a 的值越小，開口越小，反之 a 的值越大，開口越大． 總結(jié)起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向， a 的正負決定開口方向， a 的大小決定開口的大?。? 第 4 頁 共 14 頁 2. 一次項系數(shù) b 在二次項系數(shù) a 確定的前提下， b 決定了拋物線的對稱軸． ⑴ 在 0a? 的前提下， 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸在 y 軸左側(cè)； 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線對稱軸在 y 軸的右側(cè)． ⑵ 在 0a? 的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸在 y 軸右側(cè)； 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線的對稱軸就是 y 軸； 當(dāng) 0b? 時， 02ba??，即拋物線對稱軸在 y 軸的左側(cè)． 總結(jié)起來，在 a 確定的前提下， b 決定了拋物線對稱軸的 位置． ab 的符號的判定：對稱軸 abx 2?? 在 y 軸左邊則 0?ab ，在 y 軸的右側(cè)則 0?ab ，概括的說就是“左同右異” 總結(jié)： 3. 常數(shù)項 c ⑴ 當(dāng) 0c? 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸上方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為正； ⑵ 當(dāng) 0c? 時，拋物線與 y 軸的交點為坐標原點，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為 0 ； ⑶ 當(dāng) 0c? 時，拋物線與 y 軸的交點在 x 軸下方，即拋物線與 y 軸交點的縱坐標為負． 總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點的位置． 總之，只要 abc， ， 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的． 二次函數(shù)解析式的確定： 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便．一般來說，有如下幾種情況： 1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式； 2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式； 3. 已知拋物線與 x 軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式； 4. 已 知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式 ． 九 、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于 x 軸對稱 2y ax bx c? ? ? 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 2y ax bx c?? ? ? ； ? ?2y a x h k? ? ? 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 ? ?2y a x h k? ? ? ?； 2. 關(guān)于 y 軸對稱 2y ax bx c? ? ? 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是 2y ax bx c? ? ? ； 第 5 頁 共 14 頁 ? ?2y a x h k? ? ? 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式 是 ? ?2y a x h k? ? ? ； 3. 關(guān)于原點對稱 2y ax bx c? ? ? 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 2y ax bx c?? ? ? ； ? ?2y a x h k? ? ? 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 ? ?2y a x h k? ? ? ?； 4. 關(guān)于頂點對稱 （即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn) 180176。） 2y ax bx c? ? ? 關(guān)于頂點對 稱后，得到的解析式是 222by ax bx c a? ? ? ? ?； ? ?2y a x h k? ? ? 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 ? ?2y a x h k? ? ? ?． 5. 關(guān)于點 ? ?mn， 對稱 ? ?2y a x h k? ? ? 關(guān)于點 ? ?mn， 對稱后，得到的解析式是 ? ?222y a x h m n k? ? ? ? ? ? 根據(jù)對稱的 性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此 a 永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式． 十 、 二次函數(shù)與一元二次方程： 1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 x 軸交點情況）： 一元二次方程 2 0ax bx c? ? ? 是二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? 當(dāng)函數(shù)值 0y? 時的特殊情況 . 圖象與 x 軸的交點個數(shù)： ① 當(dāng) 2 40b ac?? ? ? 時，圖象與 x 軸交于兩點 ? ? ? ?1200A x B x， ， ， 12()xx? ，其中的 12xx， 是一元二次方程 ? ?2 00ax bx c a? ? ? ?的兩根．這兩點間的距離 221 4b acAB x x a?? ? ?. ② 當(dāng) 0?? 時，圖象與 x 軸只有一個交點； ③ 當(dāng) 0?? 時，圖象與 x 軸沒有交點 . 139。 當(dāng) 0a? 時，圖象落在 x 軸的上方，無論 x 為任何實數(shù)，都有 0y? ； 239。 當(dāng) 0
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