【正文】 4. 求函數(shù)定義域的常用方法（在 研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)要樹立定義域優(yōu)先的原則 ） ： （ 1）根據(jù) 解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零， 對(duì)數(shù) logax 中 0, 0xa??且 1a? ，三角形中 0 A ???, 最大角 3?? ，最小角 3?? 等。 如（ 1） 函數(shù) ? ?? ?24lg 3xxy x ?? ?的定義域是 ____(答： (0 , 2 ) ( 2 , 3) (3, 4 ))； （ 2） 若函數(shù)2 743kxy kx kx?? ??的定義域?yàn)?R，則k? _______( 答： 30,4??????)； （ 3 ） 函數(shù) ()fx 的定義 域是 [, ]ab ， 0ba?? ? ，則函數(shù)( ) ( ) ( )F x f x f x? ? ?的定義域是 __________(答： [ , ]aa? )； （ 4） 設(shè)函數(shù) 2( ) lg ( 2 1)f x a x x? ? ?，① 若 ()fx的定義域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； ② 若 ()fx的值域是 R，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍（答：① 1a? ； ② 01a??） （ 2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求確定自變量的范圍。 （ 3）復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知 ()fx的定義域?yàn)?[, ]ab ,其復(fù)合函數(shù) [ ( )]f g x 的定義域由不等式 ()a g x b??解出即可；若已知 [ ( )]f gx 的定義域?yàn)?[,]ab ,求 ()fx 的定義域，相當(dāng)于當(dāng)[ , ]x ab? 時(shí)，求 ()gx的值域（即 ()fx的定義域）。 如（ 1） 若函數(shù) )(xfy? 的定義域?yàn)??????? 2,21 ，則 )(log2 xf 的定義域?yàn)?__________（答： ? ?42| ?? xx ）； （ 2） 若函數(shù) 2( 1)fx? 的定義域?yàn)閇 2,1)? ，則函數(shù) ()fx的定義域?yàn)?________（答： [1,5]）． （最值）的方法 ： （ 1） 配方法 ――二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間 [ , ]mn 上的最值；二是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問(wèn)題。求 二次函數(shù)的最值問(wèn)題，勿忘數(shù)形結(jié)合 ，注意 “ 兩看 ”：一看 開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系）， 如（ 1） 求函數(shù)2 2 5 , [ 1 , 2 ]y x x x? ? ? ? ?的 值 域 （ 答： [4,8] ）； （ 2 ） 當(dāng) ]2,0(?x 時(shí) ， 函 數(shù) y ( a0) O k x 1 x 2 x 3 3)1(4)( 2 ???? xaaxxf 在 2?x 時(shí)取得最大值，則 a 的取值范圍是 ___（ 答： 21??a ） ； （ 3）已知 ( ) 3 ( 2 4 )xbf x x?? ? ?的圖象過(guò)點(diǎn)（ 2,1），則 1 2 1 2( ) [ ( ) ] ( )F x f x f x????的值域?yàn)?______（ 答： [2, 5]） （ 2） 換元法 ―― 通過(guò)換元把一個(gè) 較復(fù)雜的 函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單 易求值域的 函數(shù)，其 函數(shù) 特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型， 如（ 1） 22 sin 3 c o s 1y x x? ? ?的值域?yàn)?_____（ 答：17[ 4, ]8? ）； （ 2） 2 1 1y x x? ? ? ? 的值域?yàn)?_____（ 答： (3, )?? ）（令 1xt?? ， 0t? 。 運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新 元 t 的范圍 ）； （ 3） sin cos sin cosy x x x x? ? ? 的值域?yàn)?____（ 答：1[ 1, 2]2?? ）； （ 4） 249y x x? ? ? ?的值域?yàn)?____（ 答： [1,3 2 4]? ）； （ 3） 函數(shù)有界性法 ――直接 求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性， 如 求函數(shù) 2sin 11 siny ? ??? ? ， 313xxy? ?，2sin 11 cosy ? ??? ? 的值域（ 答： 1( , ]2?? 、（ 0,1）、 3( , ] 2?? ）； （ 4） 單調(diào)性法 ―― 利用 一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等 函數(shù)的單調(diào)性 ， 如 求1 (1 9)y x xx? ? ? ?， 2 29si n 1 si nyx x???， 5 32 log 1xyx?? ? ?的值域?yàn)?______（ 答：80(0, )9 、 11[ ,9]2 、 [2,10] ）； （ 5） 數(shù)形結(jié)合法 ――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率 、 等等，如（ 1） 已知點(diǎn) ( , )Pxy 在圓 221xy??上，求 2yx? 及 2yx? 的取值范圍（答： 33[ , ]33? 、[ 5, 5]? ）； （ 2） 求函數(shù) 22( 2) ( 8 )y x x? ? ? ?的值域（答： [10, )?? ）； （ 3） 求函數(shù)226 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?及 6 1 3 4 5y x x x x? ? ? ? ? ?的值域（答： [ 43, )?? 、( 26, 26)? ） 注意 ：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩 定 點(diǎn)在 x 軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩 定 點(diǎn)在 x 軸的同側(cè) 。 （ 6） 判別式法 ――對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用 ，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先 通過(guò) 部分分式后 ，再 利用均值不等式 ： ①2by kx? ?型，可直接用不等式性質(zhì)， 如 求232y x? ?的值域（ 答： 3(0,]2 ） ②2 bxy x mx n? ??型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式， 如（ 1） 求21 xy x? ?的值域（答： 1( , ]2?? ）；（ 2） 求函數(shù) 23xy x ?? ? 的值域（ 答： 1[0,]2 ） ③ 22x m x ny x mx n?????型，通常用判別式法； 如 已知函數(shù) 23 2 8lo g 1m x x ny x??? ?的定義域?yàn)?R，值域?yàn)?[0， 2]，求常數(shù) ,mn的值（答： 5mn??） ④ 2x m x ny mx n????? ? 型，可用判別式法或均值不等式法， 如 求 2 11xxy x??? ? 的值域（答 ：( , 3] [1, )?? ? ??） （ 7） 不等式法 ――利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R ?? ? ?求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 如 設(shè) 12, , ,x a a y 成等差數(shù)列， 12, , ,xb b y 成等比數(shù)列，則21221 )(bb aa ?的取值范圍是____________.（答： ( , 0] [4, )?? ??） 。 （ 8） 導(dǎo)數(shù)法 ―― 一般適用于 高次 多項(xiàng)式 函數(shù)， 如 求函數(shù) 32( ) 2 4 4 0f x x x x? ? ?， [ 3,3]x??的最小值。（ 答： － 48） 提醒 ：（ 1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？（ 2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？ 。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在 求分段函數(shù)的值 0()fx 時(shí)，一定首 先要判斷 0x 屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集 。 如 （ 1） 設(shè)函數(shù) 2( 1) .( 1)()4 1 .( 1)xxfxxx? ???? ?? ? ???，則使得 ( ) 1fx? 的自變量 x 的取值范圍是 __________（ 答： ( , 2] [0,10]?? ? ）； （ 2） 已知 1 ( 0 )()1 ( 0 )xfx x??? ???? 　 　　 　，則不 等式( 2 ) ( 2 ) 5x x f x? ? ? ?的解集是 ________（ 答： 3( , ]2?? ） ： （ 1） 待定系數(shù)法 ――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達(dá)形式有三種：一般式：2()f x ax bx c? ? ?；頂點(diǎn)式： 2( ) ( )f x a x m n? ? ?；零點(diǎn)式： 12( ) ( )( )f x a x x x x? ? ?，要會(huì)根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，靈活地選用二次函數(shù)的表達(dá)形式）。 如 已知 ()fx 為二次函數(shù)，且 )2()2( ???? xfxf ，且 f(0)=1,圖象在 x 軸上截得的線段長(zhǎng)為 2 2 ,求 ()fx的解析式 。（答：21( ) 2 12f x x x? ? ?） （ 2） 代換（配湊）法 ―― 已知形如 ( ( ))f g x 的表達(dá)式，求 ()fx 的表達(dá)式。 如（ 1） 已知,sin)co s1( 2 xxf ?? 求 ? ?2xf 的解析式 （答： 2 4 2( ) 2 , [ 2 , 2 ]f x x x x? ? ? ? ?）； （ 2） 若22 1)1( xxxxf ???，則函數(shù) )1( ?xf =_____（答： 2 23xx??）； （ 3） 若函數(shù) )(xf 是定義在 R上的奇函數(shù)，且當(dāng) ),0( ???x 時(shí)， )1()( 3 xxxf ?? ，那么當(dāng) )0,(???x 時(shí)， )(xf =________ 4 （答： 3(1 )xx? ） . 這里需 值得注意 的是所求解析式的定義域的等價(jià)性 ，即 ()fx的定義域應(yīng)是()gx的值域 。 （ 3） 方程的思想 ―― 已知條件是含有 ()fx及另外一個(gè)函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對(duì)等式的進(jìn)行賦值，從而得到 關(guān)于 ()fx 及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。 如（ 1 ） 已知( ) 2 ( ) 3 2f x f x x? ? ? ?，求 ()fx的解析式（ 答： 2( ) 3 3f x x?? ? ）； （ 2） 已知 ()fx是奇函數(shù)，)(xg 是偶函數(shù)，且 ()fx+ )(xg = 11?x ,則 ()fx= __（答： 2 1xx? ） 。 8. 反函數(shù)： （ 1） 存在反函數(shù)的條件 是對(duì)于原來(lái)函數(shù) 值域中的任一個(gè) y 值，都有唯一的 x 值與之對(duì)應(yīng) ，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立； 偶函數(shù)只有 ( ) 0( {0})f x x??有反函數(shù)； 周期函數(shù) 一定不存在反函數(shù)。 如 函數(shù) 2 23y x ax? ? ?在區(qū)間 [1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是 A、 ? ?,1a??? B、 ? ?2,a? ?? C、 [1,2]a? D、 ? ?,1a??? ? ?2,?? （答： D） （ 2）求反函數(shù)的步驟：①反求 x ；②互換 x 、 y ；③注明反函數(shù)的定義域（原來(lái)函數(shù)的值域 ）。 注意 函數(shù) ( 1)y f x??的 反 函 數(shù) 不 是 1( 1)y f x???， 而 是 1( ) 1y f x???。 如 設(shè))0()1()( 2 ??? xxxxf .求 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? （ 答： 1 1( ) ( 1)1f x xx? ??? ） ． （ 3）反函數(shù)的性質(zhì)： ①反函數(shù)的定義域是原來(lái)函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來(lái)函數(shù)的定義域。 如 單調(diào)遞增函數(shù))(xf 滿足條件 )3( ?axf = x ，其中 a ≠ 0 ，若 )(xf 的反函數(shù) )(1 xf? 的定義域?yàn)??????? aa 4,1 ，則)(xf 的定義域是 ____________（ 答： [4,7]） . ② 函數(shù) ()y f x? 的圖象與其反函數(shù) 1()y f x?? 的圖象關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱， 注意 函數(shù)()y f x? 的圖象與 1()x f y?? 的圖象相同。 如（ 1） 已知函數(shù) ()y f x? 的圖象過(guò)點(diǎn) (1,1),那么? ?4fx? 的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn) _____（ 答： （ 1,3））； （ 2） 已知函數(shù) 132)( ??? xxxf ，若函數(shù)()y g x? 與 )1(1 ?? ? xfy 的圖象關(guān)于直線 xy? 對(duì)稱，求 (3)g 的值（ 答： 72 ）； ③ 1( ) ( )f a b f b a?? ? ?。 如 （ 1） 已知函數(shù) )24(log)(3 ?? xxf，則方程 4)(1 ?? xf 的解?x ______（答 ： 1）； （ 2） 設(shè)函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（ 1,2）對(duì)稱，且存在反函數(shù) 1()fx? ， f (4)＝ 0，則 1(4)f? ＝ （答 ：－ 2） ④ 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性 和奇函數(shù)性。 如 已知 ??fx是 R 上的增函數(shù)，點(diǎn)? ? ? ?1,1 , 1,3AB? 在它的圖象上， ??1fx? 是它的反函數(shù)，那么不等式 ? ?1 2log 1fx? ? 的解集為________（ 答： （ 2,8）） ； ⑤ 設(shè) ()fx的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B，則有 1[ ( )] ( )f f x x x B? ??， 1[ ( )]f f x x? ? ()xA? ，但 11[ ( )] [ ( )]f f x f f x??? 。 。 （ 1）具有奇偶性的函數(shù)的 定義域的特征： 定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ！為此 確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 。