【正文】 ???nii xxS122 )(不存在期望值時： ????niixS122 )( ?存在期望值時： 自由度 指的是關(guān)系式中獨立數(shù)據(jù)的個數(shù)，通常用 f 表示。 ? nf ? x0)(1????nii xx1?? nf 例如，在計算偏差平方和的過程中，若表達式中使用的是期望值 ，則 ；若表達式中使用的是平均值 ，則因為存在約束條件 而使獨立數(shù)據(jù)的個數(shù)少了一個，因此 。 正交試驗設(shè)計 ■ 方差與均方差 方差 也稱為平均偏差平方和，表示單位自由度所對應(yīng)的偏差大小，通常用 V 表示： fSV /2? 均方差 也稱為準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差，定義為方差的平方根，通常用 表示，即 ?????niixnV12)(1 ?存在期望值時： ?????nii xxnV12)(11不存在期望值時： ?????niixnV12)(1 ??存在期望值時： ??????nii xxnV12)(11?不存在期望值時： 正交試驗設(shè)計 樣本及其分布 ■ 總體、個體與樣本 總體（ population） ：被研究對象的全體。 個體（ individual） ：組成總體的每個單元。 個體有限的總體稱為 有限總體 ；個體無限的總體稱為 無限總體 。 例如： ◆ 研究燈泡的壽命（總體），則每只燈泡的壽命就是總體（燈泡壽命）中的一個個體。 ◆ 研究晶體管的直流放大倍數(shù)（總體），則每只晶體管的直流放大倍數(shù)就是總體中的一個個體。 任何總體中的個體都是按一定的規(guī)律分布的，因此可將總體視為隨機變量，用大寫字母 X、 Y、 Z等表示（確切地說，是總體中的個體的分布）。 正交試驗設(shè)計 樣本（ sample） ：用一定方法從總體中抽取的 一組個體 稱為總體的一個樣本。樣本也是隨機變量。 ※ 與樣本有關(guān)的幾個術(shù)語： ● 抽樣（采樣，取樣）：從總體抽取樣本的過程。 ● 隨機樣本：個體是隨機抽取的樣本（無特指均認(rèn)為是隨機樣本）。 ● 樣本容量：樣本中所包含的個體數(shù)目。容量 ≤30的樣本稱為小樣本，30的樣本稱為大樣本。 總體的樣本用帶下標(biāo)的大寫字母表示，例如 表示總體 的一個樣本。 X),( 21 nXXX ?● 樣本觀測值：一次抽樣所得到樣本的觀測結(jié)果， 如 （ ）。 nxxx ?, 21● 樣本空間：樣本觀測值的所有可能取值的范圍。 ● 簡單樣本：若樣本中的個體的分布規(guī)律與相應(yīng)總體中的個體的分布規(guī)律相同，則稱這樣的樣本為簡單樣本。一般地，按隨機化原則進行試驗所得到的樣本均可視為簡單樣本。 正交試驗設(shè)計 注意： ◆ 由于試驗要受到各種條件的限制，通常無法對總體進行研究，而是對某個或某些樣本的性質(zhì)進行研究，通過樣本來推斷總體的特征。 ◆ 總體是隨機變量，總體的樣本也是隨機變量。 ◆ 科學(xué)實驗中的抽樣一般要求是完全獨立、隨機的，且應(yīng)使每組樣本的觀測值之間互不影響，以最大限度使樣本具有與總體相同的分布規(guī)律。 正交試驗設(shè)計 ■ 樣本的分布函數(shù)與樣本的統(tǒng)計量 ● 樣本分布函數(shù) 設(shè)總體 X的分布函數(shù)為 F(x)， 為其 n個獨立的觀測值，它們組成一個容量為 n的簡單樣本。將 n個觀測值按從小到大的次序排列 ),( 21 nXXX ?nxxx ??? ?21 若 ，則相當(dāng)于在 n次重復(fù)獨立試驗中，事件 的頻率為 1??? kk xxx? ?xX ??????????? ?)(1)()(0)( 11xxxxxnkxxxFnkkn稱為樣本分布函數(shù)。 )(xFn正交試驗設(shè)計 )(xFn)(xF 可以證明， 當(dāng)樣本容量 n很大時 ，樣本分布函數(shù) 將近似等于總體分布函數(shù) ——由樣本推斷總體的依據(jù)。 ● 樣本統(tǒng)計量 對于給定的一個樣本實現(xiàn) ，可以計算其數(shù)字特征，并冠以“樣本”二字，以示和總體數(shù)字特征的區(qū)別。例如： ),( 21 nxxx ????nikik xnm11 ),2,1( ??k????nikik xxnm139。 )(1 ),2,1( ??k111 mxnxnii ?? ??39。2121)(11 mnnxxnvnii ????? ??樣本的 k階原點矩 樣本的 k階中心矩 樣本的均值 樣本的方差 正交試驗設(shè)計 x v km 39。km 樣本的統(tǒng)計量 、 、 、 分別為下列總體（均為隨機變量）的觀測值： ???niiXnX11?????nii XXnV12)(11???nikik XnM11 ),2,1( ??k????nikik XXnM139。 )(1 ),2,1( ??k 正交試驗設(shè)計 數(shù)理統(tǒng)計中關(guān)于統(tǒng)計量的定義是： ),( 21 nXXX ? ),( 21 nXXXg ?),( 21 nXXXg ? 設(shè) 為總體 X的一個樣本， 為一個連續(xù)函數(shù)，如果 g 中不包含任何未知參數(shù)，則稱 為一個統(tǒng)計量。 ),( 21 nxxx ? ),( 21 nXXX ?),( 21 nxxxg ? ),( 21 nXXXg ? 如果 是 的一組觀測值，則 是統(tǒng)計量 的一個觀測值。 X VkM 39。kM XV 顯然， 、 、 、 都是統(tǒng)計量 ，其中 和 是兩個特別重要的統(tǒng)計量。 統(tǒng)計量都是隨機變量，如果總體的分布已知，那么統(tǒng)計量的分布是可以求得的。 正交試驗設(shè)計 ）樣本觀測值（樣本實現(xiàn) ),(21 nxxx ?樣本變量 ),( 21 nXXX ?）（容量為 Nn ?X總體）（容量為 N隨機抽樣樣本實現(xiàn)舉例：個工人的產(chǎn)品質(zhì)量全廠所有 N的產(chǎn)品質(zhì)量作為樣本個工人個工人中隨機抽取從 nN觀測值變量，可能取得不同的為隨機每個工人的產(chǎn)品質(zhì)量仍正交試驗設(shè)計 )(xFn)(xF 可以證明， 當(dāng)樣本容量 n很大時 ，樣本分布函數(shù) 將近似等于總體分布函數(shù) ——由樣本推斷總體的依據(jù)。 ● 樣本統(tǒng)計量 對于給定的一個樣本實現(xiàn) ，可以計算其數(shù)字特征，并冠以“樣本”二字，以示和總體數(shù)字特征的區(qū)別。例如： ),( 21 nxxx ????nikik xnm11 ),2,1( ??k????nikik xxnm139。 )(1 ),2,1( ??k111 mxnxnii ?? ??39。2121)(11 mnnxxnvnii ????? ??樣本的 k階原點矩 樣本的 k階中心矩 樣本的均值 樣本的方差 正交試驗設(shè)計 ■ 連續(xù)型隨機變量的分布及數(shù)字特征 ● 正態(tài)分布 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的概率密度函數(shù)為 222)(21)( ? ??????xexf )( ?????? x ??, ),(~ 2??NX? 2?則稱 X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為 。參數(shù) 、 分別稱為 X的數(shù)學(xué)期望（均值）和方差（ 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差）。 ?正態(tài)分布的概率分布函數(shù)為 ?? ?????? ??x xx dxedxxfxF 222)(21)()( ? ???正交試驗設(shè)計 )( xf x?222)(21)( ???????xexfo o ? x)( xF1 ??????xxdxexF222)(21)( ???? 當(dāng) 、 時，稱 X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。若令 （即觀測值對均值的偏差為 的 z倍），則可將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其分布函數(shù)變?yōu)? 0?? 1?? ? ??? xz?? ?? ?? z z dzezF 2221)(? ????? zzzdzezF 2221)(?及 正交試驗設(shè)計 0 0 3 2 1 z )( zF ?)(zF定理： 設(shè) 是相互獨立的隨機變量，若 則它們的和 也服從正態(tài)分布，且有 nXXX ?, 21),(~ 2kkk NX ?? ),2,1( nk ??nXXXY ???? ?21),(~ 2222121 nnNY ?????? ?????? ??正交試驗設(shè)計 推論 1： 設(shè) ， 是它的一個樣本，則 也服從正態(tài)分布，并且其數(shù)學(xué)期望和方差分別為 、 ，即 ),(~ 2??NX ), 21 nXXX ????niiXnX11??)( XE nXD2)( ??),(~2nNX??推論 2： 設(shè)總體 ，總體 ，且兩個總體相互獨立，則樣本均值差 也服從正態(tài)分布 ),(~ 2xxNX ?? ),(~ 2yyNY ??)( YX ?),(~)(22yyxxyx nnNYX???? ???式中 、 分別為總體 X、 Y的樣本的樣本容量。 xn yn正交試驗設(shè)計 正交與正交表 正交的概念 在數(shù)學(xué)上，兩個向量 和 若滿足 ),( 21 naaaA ?? ),( 21 nbbbB ??02211 ?????? nn bababaBA ???B?A?即兩向量的內(nèi)積等于零，則稱向量 與向量 正交。 由于在構(gòu)造正交表的過程中使用了上述原理，因此將相應(yīng)的試驗設(shè)計法稱為正交試驗設(shè)計。 正交試驗設(shè)計 正交表 ■ 完全有序元素對（完全對） 設(shè)有兩組元素 與 ，它們可構(gòu)成如下的元素對： ),( 21 naaa ? ),( 21 kbbb ?),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111knnnkkbababababababababa?????),( 21 naaa ? ),( 21 kbbb ?稱這些元素對為由元素