新人教版八年級數(shù)學上冊知識點總結歸納-文庫吧
2025-03-20 04:32 本頁面
【正文】 ，共有條對角線。知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式1. 公式：邊形的內(nèi)角和為.2. 公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平角的度數(shù)，即.要點詮釋：(1) 注意：以上各推導方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉化為三角形問題來解決的基礎思想。(2) 內(nèi)角和定理的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識點五：多邊形的外角和公式1. 公式：多邊形的外角和等于360176。. ：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360176。，它與邊數(shù)的多少無關。要點詮釋：(1) 外角和公式的應用：①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關系：①n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)180176。(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180176。②多邊形的外角和等于360176。，與邊數(shù)的多少無關。知識點六：鑲嵌的概念和特征 定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。 實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360176。；相鄰的多邊形有公共邊。 常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1) 用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360176。(2) 只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360176。時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360176。＝，由此導出k＝＝2＋，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360176。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3) 用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關鍵是相關正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360176。規(guī)律方法指導1．內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加180176。（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180176。的整數(shù)倍.2． 多邊形外角和恒等于360176。，．多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少沒有鈍角.4． 在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合，運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.5． 在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是研究復雜圖形的基礎，同時注意轉化思想在數(shù)學中的應用.經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應用1．一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？總結升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關于方 程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800176。，求這個多邊形的邊數(shù).【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750176。，求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？ 【答案】設這個多邊形的邊數(shù)為，這個內(nèi)角為，【變式3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350176。，求這個多邊形的邊數(shù)。類型二：多邊形對角線公式的運用【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）. A．6 B．7 C．8 D．9【變式2】一個十二邊形有幾條對角線?？偨Y升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結出規(guī)律條，牢記這個公式，以后只要用相應的n的值代入即可求出對角線的條數(shù)，要記住這個公式只有在理解的基礎之上才能記得牢。類型三：可轉化為多邊形內(nèi)角和問題【變式1】如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.【變式2】如圖所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)。類型四：實際應用題4．如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉了多少度角？思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進10m，向右轉15176。，再前進10m，又向右轉15176。，…，這樣一直走下去，當他第一次回到出發(fā)點時，一共走了__________m.【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉36176。，然后繼續(xù)向前走10米，再向右轉36176。，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，當他走回點A時共走了多少米？若不能，寫出理由。 【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB∥CF，CD∥AE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80176。角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？
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