相似三角形經(jīng)典題型-文庫(kù)吧
2025-03-10 06:32 本頁(yè)面
【正文】 角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱(chēng)為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）(2) 如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱(chēng)為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、 “蝶型”）（3） 如圖：稱(chēng)為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱(chēng)“射影定理型”）”“三垂直型”） (4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理 若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形） 則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB； （3）滿足AC2=ADAB，∠ACD=∠B，∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）當(dāng)或ADAB=ACAE時(shí)，△ADE∽△ACB． 知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等．知識(shí)點(diǎn)11 相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法證明四條線段成比例的常用方法： (1)線段成比例的定義(2)三角形相似的預(yù)備定理(3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換(5)利用面積關(guān)系證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論. (3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這 幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③ (4) 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成 ，直到被證結(jié)論證出為止. 注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k。對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。知識(shí)點(diǎn)12 相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)13 位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比. 注： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn). （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線. 位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. 注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).畫(huà)位似圖形的一般步驟： （1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)） （2） 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截取）. （3） 根據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置. （4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）。 ②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱(chēng)為“外位似”（即同向位似圖形） ③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱(chēng)為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形） （5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),經(jīng)典例題透析類(lèi)型一、相似三角形的概念 1．判斷對(duì)錯(cuò)： (1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？ (3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？
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