【正文】 t ) * ?( t ) = t?( t )f1( t ? t1 ) * f2( t ? t2 ) = f( t ?t1 ?t2 )故對本題，有?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) = ( t + 3 ? 5 )?( t + 3 ? 5 ) = ( t ? 2 )?( t ? 2 )兩種方法結(jié)果一致。 (c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )210 對圖示信號，求 f1( t ) * f2( t )。題 210 圖解 (a)先借用階躍信號表示 f1( t )和 f2( t )，即f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 )f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )故f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]因為?( t ) * ?( t ) = = t?( t )?t0d?故有f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )讀者也可以用圖形掃描法計算之。結(jié)果見圖 p210(a)所示。12(b)根據(jù) ? ( t )的特點，則f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )] = f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 )結(jié)果見圖 p210(b)所示。圖 p210211 試求下列卷積。 (a) )()(e1(2tt??????(b) ][d3tt?解 (a)因為 ，故)()(t???? )(e1()()e1e1 222 ttt t ????? ??? ??? (b)因為 ，故)(t??? tttt 33 e)()(][d)(??? ??212 設(shè)有二階系統(tǒng)方程 )(42)(3ttytty??????試求零狀態(tài)響應(yīng)解 因系統(tǒng)的特征方程為?2 + 3? + 2 =0解得特征根?1 = ?1， ?2 = ?2故特征函數(shù) )(e(e)(221 ttxttt ???13零狀態(tài)響應(yīng) )(e()4()4( 22 tttxtyt?????????? = e8t??213 如圖系統(tǒng)，已知 )(),1()21 thth?????試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h( t )。題 213 圖解 由圖關(guān)系，有 )1()1()()()(1 ???????? ttthtftx ??所以沖激響應(yīng) )()()]()[()()2 ttttxtyh ??即該系統(tǒng)輸出一個方波。214 如圖系統(tǒng)，已知 R1 = R2 =1?，L = 1H，C = 1F。試求沖激響應(yīng) uC( t )。題 214 圖解 由 KCL 和 KVL，可得電路方程為 )()(1)1()1( 12C2C2C tLRtuLRuLRu ????????14代入數(shù)據(jù)得 )(2CCtu??????特征根?1,2 = ?1 ? j1故沖激響應(yīng) uC( t )為 )]([*)e()1Cttutλt ????? )(sinesincott ??????V)(tt?215 一線性時不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入 f( t ) = ?( t )時，全響應(yīng) y1( t ) = 3e?3t??( t )；當(dāng)輸入 f( t ) = ??( t )時，全響應(yīng) y2( t ) = e?3t??( t )，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h( t )。解 因為零狀態(tài)響應(yīng)?( t ) ? s( t )，? ?( t ) ? ?s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e?3t??( t )y2( t ) = yzi( t ) ? s( t ) = e?3t??( t )從而有y1( t ) ? y2( t ) = 2s( t ) = 2e?3t??( t )即s( t ) = e?3t??( t )故沖激響應(yīng)h( t ) = s? ( t ) = ?( t ) ? 3e?3t??( t )216 若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y( t ) = f( t ) * h( t )試證明：(1) ??????thfthf ?d)()(d)((2) 利用(1)的結(jié)果，證明階躍響應(yīng) ????ths?d)()(證 （1）因為15y( t ) = f( t ) ? h( t ) 由微分性質(zhì)，有y? ( t ) = f? ( t ) ? h( t ) 再由積分性質(zhì)，有 ?????tft?d)()(（2）因為s( t ) = ?( t ) ? h( t ) 由（1）的結(jié)果，得 ?????tt?d)()( ?th????t?)(16第 3章習(xí)題解析31 求題 31 圖所示周期信號的三角形式的傅里葉級數(shù)表示式。題 31 圖解 對于周期鋸齒波信號，在周期( 0，T )內(nèi)可表示為 tTAf?)(系數(shù) 2d1)(100ttfaT?????TtnAnt 121n coscos2?? i012??????TA?????TT tnttntfb0120n dsidsi)( πco012AT????????所以三角級數(shù)為 ???11sin2)(ttf32 求周期沖激序列信號 ???nTtt)()(T?的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示式，它是否具有收斂性？解 沖激串信號的復(fù)系數(shù)為17TttTFn1de)(12jn1??????所以 ????ntt1jT)(?因 Fn 為常數(shù)，故無收斂性。33 設(shè)有周期方波信號 f( t )，其脈沖寬度 ? = 1ms，問該信號的頻帶寬度（帶寬）為多少？若 ?壓縮為 ，其帶寬又為多少？解 對方波信號，其帶寬為 Hz，?1??f當(dāng) ?1 = 1ms 時，則 ?f當(dāng) ?2 = 時，則 ??f34 求題 34 圖示信號的傅里葉變換。題 34 圖解 (a)因為 ??t,?t,0為奇函數(shù)，故f( t ) = 18ttFdsin2j)(0?????]cos[??)(Sacosj或用微分定理求解亦可。(b) f( t )為奇函數(shù)，故 tFdsin)1(2j)(0?????? )2(si4j][coj ??若用微分積分定理求解，可先求出 f? ( t )，即f? ( t ) = ?( t + ? ) + ?( t ? ? ) ? 2?( t )所以 cose)j()jj1????? ?????Ftf又因為 F1( 0 ) = 0，故 )1(j2)(j)(1?35 試求下列信號的頻譜函數(shù)。(1) tf2e)(??(2) )(sin0tat???解 (1) ????????? ??0j20j2j dedede)()( tttfFtt ??? 24j1j2??(2) ?? ?????0 jjj)e(ee)()( 00ttf ttat ?????0 )jj)j(j ]d[0tattt ?????????00j)(1j)(12j??2200jj ????36 對于如題 36 圖所示的三角波信號，試證明其頻譜函數(shù)為 )2(Sa)(?AF?19題 36 圖證 因為( ????ttA),1 0，| t | ?則 ??????0dcos)1(2)(ttF A)2(sin42?Sa?37 試求信號 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里葉變換。解 因為1 ? 2??(?) 2cost ? 2?[?(? ? 1) + ?(? + 1) ]3cos3t ? 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]故有F(? ) = 2?[?(?) + ?(? ? 1) + ?(? + 1) ] + 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]38 試?yán)酶道锶~變換的性質(zhì)，求題 38 圖所示信號 f2( t )的頻譜函數(shù)。f( t ) =20題 38 圖解 由于 f1( t )的 A = 2， ? = 2，故其變換 )(Sa4)2(a)(21 ????AF根據(jù)尺度特性，有 )(8)()(211?tf再由調(diào)制定理得 )(πcos)2(212 ?Fttftf?]πSa8Sa8[)( ???F)(4)(422πsinsi???39 試?yán)镁矸e定理求下列信號的頻譜函數(shù)。 (1) f( t ) = Acos(?0t) ? ?( t ) (2) f( t ) = Asin(?0t)?( t ) 解 （1）因為 )]()([π)cos( 000 ?????At?j1所以由時域卷積定理 ]j1)(π[)]()([π)( 00????????F21)]()([jπ00??????A（2）因為 )]()([j)sin( 000?t??j1π?由頻域卷積定理 ?????????? ]j1)(π[)]()([jπ21)( 00 ????AF20??A310 設(shè)有信號f1( t ) = cos4?t ??t,1?t,0試求 f1( t ) f2( t )的頻譜函數(shù)。解 設(shè) f1( t ) ? F1(?)，由調(diào)制定理 )(]π4()([21π4cos1??FFttf ???而 )(S