【正文】 ?( 0 )0 型xxxxx ln111lnl i m1 ?????? xxxx ln11lnlim1 ????xxxx 111lim21???2?( 0 )0 型前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) ?1 00 0? 型未定式 : 由于它們是來(lái)源于冪指函數(shù) 的極限 ? ? )()( xgxf因此通?？捎萌?duì)數(shù)的方法或利用 ? ? )()( xgxf )(ln)( xfxge?00??即可化為 型未定式，再化為 型或 型求解。 ??0例 10 求 xx x?? 0lim0( 0 )型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim ????????xxx lnlim0 ??xxx 1lnlim0 ???20 11limxxx???? 0)(lim0 ??? ?? xx1lim 00 ???? ex xx 解 所以 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 11 求 xx xs i n0 )( c o tlim ??,)( c o t s i n xxy ? xxy c o tlns i nln ???? yx lnlim0xxxs i n1cotlnl i m0 ???xxxxxc o ss i n1s i n1c o t1l i m220????? 0c o ss i nl i m20 ?? ?? xxx??? yx 0lim解 設(shè) xxx c o tlns i nlim 0 ??所以 ???xx xs i n0 )( c o tlim ??? yx e ln0lim10 ?e（ 型） 0?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 12 求 xexx ln11)(lnl i m ??（ 型 ） ?1,)( l n ln11xxy ?? )l n ( l nln11ln xxy ??xxxxxyexexex 11ln1limln1lnlnlimlnlim???????1)ln 1(l i m ????? xex所以 1ln1 1)(lnl i m ???? ex xex解 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 函數(shù)的單調(diào)性與極值 定理 1 設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開區(qū) 間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則： (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)增加 ( ) 0fx? ? (a,b)內(nèi) ,則 f (x)在區(qū)間 (a,b)內(nèi)單調(diào)減少。 0)( ?? xfa b a b 函數(shù)的單調(diào)性及判別法 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 2 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間 . xxxf 3)( 3 ??可導(dǎo)， 且等號(hào)只在 x=0 成立 . 0c o s1 ???? xy解 因?yàn)樗o函數(shù)在區(qū)間 上連續(xù)，在 內(nèi) ],[ ??? ),( ???例 1 判定函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性 . xxy s in?? ],[ ???所以 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)增加 . xxy s in?? ],[ ???解 )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxf所以當(dāng) x = 1, x = 1 時(shí) 0)( ?? xf x (∞,1) 1 (1,1) 1 (1,+∞) f180。(x) + 0 0 + f(x) 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 解 函數(shù)的定義域 且在定義域內(nèi)連續(xù) ),( ????例 3 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。 3 2xy ?332xy ??其導(dǎo)數(shù)為 當(dāng) 時(shí) 不存在，且不存在使 的點(diǎn) 0?x y? 0??y用 把定義域分成兩個(gè)區(qū)間，見下表： 0?x x (∞ ,0) (0,+∞ ) f180。(x) + f (x) 單增 單減 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 反之，如果對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn) ，恒有 則稱 為函數(shù) 的一個(gè)極小值， 稱為極小值點(diǎn)。 )(xf)( 0xxx ?)( 0xf0x)()( 0xfxf ? 函數(shù)的極值 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)此鄰域內(nèi)每一點(diǎn) ，恒有 ，則稱 是函數(shù) 的一個(gè)極大值， 稱為函數(shù) 的一個(gè)極大值點(diǎn)； )(xf 0x)( 0xxx ? )()( 0xfxf ? )( 0xf0x)(xf )(xf 函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) ab1x 3x 5x2x 4xA B C D E 極值是局部的，只是與鄰近點(diǎn)相比較而言。并非在整個(gè)區(qū)間上的最大最小。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)也不是唯一的。如下圖中 A、 B、 C、 D、 E都是極值點(diǎn)。 從圖中可看出 ,極小值不一定小于極大值，如圖中 D點(diǎn)是極小值， A點(diǎn)是極大值。 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 定理 3（極值第一判別法）： 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)（ 可除外）可導(dǎo) )(xf 0x0x（ 1）如果當(dāng) 時(shí) ，而當(dāng) 時(shí)， 則 在 取得極大值。 0x0)( ?? xf 0xx ?0xx? 0)( ?? xf)(xf0)( ?? xf 0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 如圖所示： 在 ， ),( 00 xx ?? 0)( ?? xf在 ， ),( 00 ??xx 0)( ?? xf在 取得極大值。 )(xf 0x前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) （ 2）如果當(dāng) 時(shí) ，而當(dāng) 時(shí)， 則 在 取得極小值。 0x0)( ?? xf0xx ?0xx ? 0)( ?? xf)(xf0)( ?? xf0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 如圖所示： 在 ， ),( 00 xx ??0)( ?? xf在 ， ),( 00 ??xx0)( ?? xf在 取得極小值。 )(xf 0x（ 3）如果在 兩側(cè) 的符號(hào)不變，則 不是 的極值點(diǎn)，如圖示 0x )(xf ?0x)(xf0)( ?? xf??0x ??0x0x（ ） 0)( ?? xf前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) (4)利用定理 3,判斷 (2)中的點(diǎn)是否為極值點(diǎn) ,如果是 求極值點(diǎn)的步驟： (1)求函數(shù)的定義域 (有時(shí)是給定的區(qū)間 )。 (3)用 (2)中的點(diǎn)將定義域 (或區(qū)間 )分成若干個(gè)子區(qū)間 , 進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn) . (2)求出 ,求出使 的點(diǎn)及 不存在的點(diǎn) 。 )(xf? 0)( ?? xf )(xf?討論在每個(gè)區(qū)間 的符號(hào) 。 )(xf?(5)求出各極值點(diǎn)處的函數(shù)值 ,得函數(shù)的全部極值 . 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 4 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值 . 32 )1()1()( ??? xxxf解 函數(shù)的定義域?yàn)? ),( ????223 )1()1(3)1)(1(2)( ??????? xxxxxf)15()1)(1( 2 ???? xxx0)( ?? xf ,11 ??x ,512 ?x 13 ?x令 ,得駐點(diǎn) 這三個(gè)點(diǎn)將定義域 分成四個(gè)部分區(qū)間，列表如下 極大值 ,3125345651 ???????f 極小值 0)1( ?ff ( x )+00+0+f 180。 ( x )( 1 , + ∞ )1( , 1 )( 1 , ) 1( ∞ , 1)x ∞∞ 515151前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )1)(1(333)( 2 ?????? xxxxfxxf 6)( ???令 得 11 ?x 12 ??x0)( ?? xf由于 06)1( ??????f 06)1( ????f定理 4(極值的第二判別法 ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處具有 )(xf 0x 二階導(dǎo)數(shù)，且