【正文】 { }收斂 子列 { }和 { }收斂于同一極限 . 定理 ( 數(shù)列收斂充要條件 ) { }收斂 子列 { }、 { }和 { 都收斂 . ( 簡證 ) 一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限 : 兩個基本極限： 1. 利用四則運算性質(zhì)求極限： 數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的 , 有 界 很 容 易 用 歸 納 法 證 明 , 而且 利用單調(diào)有界定理 , 設(shè) 其極限為 , 則有 , A=2 定理 數(shù)列 { 收斂， （ 或數(shù)列 { 收斂， } 第三 部分 函 數(shù) 極 限 167。 1 函數(shù)極限概念 一 趨于 時函數(shù)的極限 設(shè)函數(shù) 定義在 上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量 趨于雪林雨荷，一生承諾！ ！ 13 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 時，對應(yīng)的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù) 。例如，對于函數(shù) 從圖象上可見，當(dāng) 無限增大時，函數(shù)值無限地接近于 0； 而對于函數(shù) ，則當(dāng) 趨于 時函數(shù)值無限地接近于。我們稱這兩個函數(shù)當(dāng) 時有極限。 一般地，當(dāng) 趨于 時函數(shù)極限的精確定義如下： 定義 1 設(shè) 定義在 上的函數(shù)， 為定數(shù)。若對任給的 ，雪林雨荷，一生承諾！ ！ 14 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時 , 有 ，則稱函數(shù) 當(dāng)趨于 時以 為極限，記作 或 。 說明 :(1)、在定義 1 中正數(shù) 的作用與數(shù)列極限定義中 的相類似，表明 充分大的程度；但這里所考慮的是比 大的所有實數(shù) ，而不僅僅是正整數(shù) 。因此，當(dāng) 趨于 時函數(shù) 以 為極限意味著： 的任意小鄰域內(nèi)必含有 在 的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。 (2)、定義 1的幾何意義如下圖所示， 對任給的 ，在坐標(biāo)平面上平行于 軸的兩條直線 與 ，圍成以直線為中心線、寬為 的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng) 時有 ”表示：在直線 的右方，曲線 全部落在這個帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù) 給的小一點，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點，那么直線 一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù) ，使得曲線 在直線 的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。 定義 1 的否定敘述 : 定義 1’ 設(shè) 定義在 上的函數(shù)， 為定數(shù)。若存在某個 0??? ，對任意充分大的正數(shù) M ，總存在某個 Mx?? ,使得 : ???? Axf )( 0 ，則稱函數(shù) 當(dāng) 趨于 時不以 為極限 . 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 15 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 (3)、現(xiàn)設(shè) 為定義在 或 上的函數(shù)，當(dāng) 或時，若函數(shù)值 能無限地接近某定數(shù) ，則稱 當(dāng)或 時以 為 極 限 ， 分 別 記 作 : 或 。 或 這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義 1 相仿，只須把定義 1中的“ ”分別改為“ ”或 “ ” 即可。 問題 : ?)(lim)(lim 何寫的否定敘述的定義又如或 AxfAxf xx ?? ????? (4)、顯然 ,若 為定義在 上的函數(shù)，則 （ 1） (返回 ) 二 趨于 時函數(shù)的極限 設(shè) 為定義在 某個空心鄰域 內(nèi)的函數(shù)?，F(xiàn)在討論當(dāng) 趨于時，對應(yīng)的函數(shù)值能否趨 于某個定數(shù) 。這類函數(shù)極限的精確定義如下： 定義 2（函數(shù)極限的 定義）設(shè)函數(shù) 在 某個空心鄰域 內(nèi)有定義， 為定數(shù)。若對任給 的 ，存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時有 ，則稱函數(shù) 當(dāng) 趨于 時以 為 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 16 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 極限，記作 或 。 下面我們舉例說明如何應(yīng)用 定義來驗證這種類型的函數(shù)極限。請讀者特別注意以下各例中 的值是 怎樣確定的。 通過以上各個例子，讀者對函數(shù)極限的 定義應(yīng)能體會到下面幾點： 2中的正數(shù) ，相當(dāng)于數(shù)列極限 定義中的 ，它依賴于 ， 但也不是由所唯一確定，一般來說， 愈小， 也相應(yīng)地要小一些，而且把取得更小些也無妨。如在例 3 中可取 或 等等。 在 某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮 在點處的函數(shù)值是否有定義， 或者取什么值。這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當(dāng) 趨于 過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在 定理 設(shè)函數(shù) 在點 的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是：對任何以 為極限的遞減數(shù)列 ，有 。 這個定理的證明可仿照定理 進行，但在運用反證法證明充分性時，對的取法要作適當(dāng)?shù)男薷模? 以保證所找到的數(shù)列 能遞減地趨于 。證明的細節(jié)留給讀者作為練習(xí)。 相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理。現(xiàn)以這種類型為例敘述如下： 定理 設(shè) 是定義在 上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 17 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 證 不妨設(shè) 在 上遞增。因 在 上有界，由確界原理，存在，記為 。 下證 。 事實上，任給 ，按下確界定義，存在 ，使得 。取 ，則由 的遞增性，對一切 = ，有 另一方面，由 ，更有 。從而對一切 有 這就證得 。 最后，我們敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。 定理 （柯西準(zhǔn)則）設(shè) 在 內(nèi)有定義。 存在的充要條件是：任給 ，存在 正數(shù) ，使得對任何 ， ，有 ． 證 必要性 設(shè) ，則對任給的 ，存在正數(shù) ，使得對任何 有 。 于 是 對 任 何 ， 有。 充分性 設(shè)數(shù)列 且 。按假設(shè)，對任給的 ，存在正數(shù) ，使得 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 18 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 對任何 ， 有 。由于 （ ），對上述的 ，存在 ， 使得當(dāng) 時有 ， , 從而有 . 于是 ,按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則 ,數(shù)列 的極限存在 ,記為 ,即. 設(shè)另一數(shù)列 且 , 則如上所證 , 存在 , 記為 . 現(xiàn)證 . 為此 ,考慮數(shù)列 : , , , ,．．． , , ,．．．易見 且 故仍如上所證 , 也收斂 . 于是，作為 的兩個子列， 與 必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得 按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，我們能寫出極限 不存在的充要條件：存在 ，對任何 （無論 多么?。?，總可找到 ， ，使得 ． 如在例１中我們可取 ，對任何 設(shè)正整數(shù) ，令 ，則有 ， ，而 于是，按柯西準(zhǔn)則極限 不存在． 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 19 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 解 當(dāng) 時有 。 故所求極限等于 。 第四 部分 函數(shù)連續(xù)性 167。 1 連續(xù)性的概念 一 函數(shù)在一點的連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù) 在 的某個空心鄰域內(nèi)有定義， 是一個確定的數(shù)，若對，當(dāng) 時，都有 ，則稱 在 時，以 為極限。 這里 可以有三種情況： 1） 無定義，比如上 部分 講過的特殊極限 2 ） ，比如 ， 2）的情形 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 20 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 3） 對 1）、 2）兩種情 況 ， 曲 線 在 處都出現(xiàn)了間斷 。 第 3）種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷 ，我們稱這種情況即： )()(lim 0xfAxfxox ??? 時， 在 處連續(xù)。為 此給出函數(shù) 在點 連續(xù)的定義 定義 1 設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，若： 則稱函數(shù) 在 點連續(xù)。 函數(shù)在一點的左、右連續(xù)的定義 相應(yīng)于在的左、右極限的概念 ，我們給出左右連續(xù)的定義如下： 定義 2 設(shè)函數(shù) 在 的某左（右）鄰域內(nèi)有定義，若： 1）的情形 3）的情形 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 21 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 （ ） 則稱 在 點左（右）連續(xù)。 由極限與單側(cè)極限的關(guān)系不難 得出： 函數(shù)在點連續(xù)與函數(shù)在該點左、右連續(xù)的關(guān)系： 定理 函數(shù) 在 點連續(xù)的充分必要條件為： 在 點既左連續(xù)又右連續(xù)。（事實上： 連續(xù)又連續(xù)。既左在點連續(xù)在點00000)()()(lim)()(lim)()(lim)(000xxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxxxx?????????????????） 定理 的等價的否定敘述： 函數(shù) 在 點不連續(xù)的充分必要條件為： 在 點或不左連續(xù)或不右連續(xù)。 前面我們學(xué)習(xí)函數(shù)在一點上連續(xù)的有關(guān)定義，下面我們來學(xué)習(xí) 二 函數(shù)的間斷點（不連續(xù)點）及其分類 函數(shù)不連續(xù)點的定義 定義 3 設(shè)函數(shù) 在某 內(nèi)有定義，若 在點 無定義，或在點 有定義但不連續(xù)，則稱點 為函數(shù) 的間斷點或不連續(xù)點。 由連續(xù)的定義知，函數(shù) 在 點不連續(xù)必出現(xiàn)如下 3 種情形 : 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 22 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 1） ，而 在點 無定義，或 有定義但 2 ） 左、右極限都存在，但不相等 , 稱： 為 跳躍度或躍度 。 3） 左、右極限至少一個不存在 據(jù)此，函數(shù) )(xf 的間斷點可作如下分類： 間斷點及其分類 1）、可去間斷點 對于情況 1），即若： （存在），而在點 無定義，或有定義但 ，則稱： 為可去間斷點（或可 去不連續(xù)點）； 三 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 定義 若函數(shù) 在區(qū)間 I 上每一點都連續(xù)，則稱 為 I 上的連續(xù)函數(shù) ,對于區(qū)間端點上的連續(xù)性 則按左、右連續(xù)來確定。 定義 如果 在區(qū)間 上僅有有限個第一類不連續(xù)點，則稱函數(shù) 在區(qū)間 上按段連續(xù)。 例如 是按段連續(xù)函數(shù)。 小結(jié)： 1）函數(shù)在一點連續(xù)的三個等價定義； 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 23 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 2）函數(shù)的左右連續(xù)性； 3）不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點； 4）區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義。 167。 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 內(nèi)容 ： 1 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 2 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 3 反函數(shù)的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性 重點：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì) 難點：連續(xù)函數(shù)的保號性；一致連續(xù)性 . 一 連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì) 根據(jù)函數(shù)的在 點連續(xù)性，即 可推斷出函數(shù) 在 點的某鄰域 內(nèi)的性態(tài)。 定理 （局部連續(xù)性）若函數(shù) 在 點連續(xù)，則 在點的某鄰域內(nèi)有界。 定理 （局部保號性） 若函數(shù) 在 點連續(xù)，且 ，則對任意 存在 某 鄰 域 時， 雪林雨荷，一生承諾！ ！ 24 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 定理 （四則運算性質(zhì)）若函數(shù)則 在區(qū)間 I上有定義，且都在 連續(xù)，則 （ ）在 點連續(xù)。 例 因連 續(xù) ，可推出多項式函數(shù) 和有理函數(shù) 為多項式）在定義域的每 一點連續(xù)。 同樣 ,由 上的連續(xù)性，可推出與 在定義域的每一點連續(xù)。 定理 （復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù) 在 點連續(xù)，在 點連續(xù)， ，則復(fù)合函數(shù)雪林雨荷，一生承諾！ ！ 25 / 218 《考研專業(yè)課高分資料》 在 點連續(xù)。 證明 由于 在 連續(xù)，對任給的 ，存在 ，使 時有