【正文】 ??????)(d),(),(),d( ???? Oxx yxyxyxx ??????)(d),(),(),d( ???? Oxx yxyxyxx ??????)(d),(),()d,( ???? Oyy yxyxyyx ??????)(d),(),()d,( ???? Oyy yxyxyyx ??????微元體受力圖 dyPBdxPA??P AB Cy?yx?x?xy?dyy yy ??? ??dyyyxyx ??? ??dxx xx ??? ??dxxxyxy ??? ??yfxfx y O 推導(dǎo)平衡微分方程 00 ?????????????? yxyyxyxx fxyfyx ????0?? xF0??????? xyxx fyx ??0?? yF0??????? yxyy fxy ??應(yīng)用了兩個基本假定： 連續(xù)性假定； 小變形假定：用變形前的微分體代替變形后的微分體。 Notes about differential equations of equilibrium 平衡方程注 ? x方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是 x方向，故應(yīng)力的第二個下標(biāo)為 x方向。對應(yīng)力的第一個下標(biāo)求導(dǎo)。 ? y方向的平衡方程，體力和應(yīng)力都是 y方向，故應(yīng)力的第二個下標(biāo)為 y方向。對應(yīng)力的第一個下標(biāo)求導(dǎo) 。 ? In the first (second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscript . 0??????? xyxx fyx ?? 0???????yxyy fxy??思考題？？？？ ? 空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件？ ? 試述兩類平面問題 z面上的應(yīng)力情況？ ? 平面應(yīng)力問題 z面上的三個應(yīng)力 ?z ?zx ?zy是否精確為零？ ? 平面應(yīng)變問題 z面上的兩個應(yīng)力 ?zx ?zy是否精確為零？ ? 平面應(yīng)變問題的位移和應(yīng)變？ ? 檢查下面的應(yīng)力在體力為零時是否是可能的解答 . (1) б x = 5x, б y = 3y , τ xy=0 (2) б x = 2x2,б y = 2y2 , τ xy= 4xy Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面問題的理論 ? Plane stress and plane strain 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 ? Differential equations of equilibrium 平衡微分方程 ? Stress at a point. Principal stresses 斜截面上的應(yīng)力。主應(yīng)力 ? Geometrical equations. Rigidbody displacements 幾何方程。剛體位移 ? Physical equations. 物理方程 ? Boundary conditions 邊界條件 ? Saintvenant`s principle1 圣維南原理 ? solution of plane problem in terms of displacements 按位移求解平面問題 ? solution of plane problem in terms of stresses 按應(yīng)力求解 平面問題 ? Case of constant body forces 常體力情況 下的簡化 ? Airy`s stress function. Inverse method and semiinverse method 艾瑞應(yīng)力函數(shù)。逆解法與半 逆解法 Stress at a point. Principal stresses 一點(diǎn)的應(yīng)力，主應(yīng)力 ? problem 1: the stress ponents ?x ?y ?xy at a point P are known. Let N be the outward normal to the plane AB passing through point P. The cosines of the angles between N and axes x and y are denoted by L and m respectively. We want to know the stresses acting on AB ? 問題 1：已知 : 1. P點(diǎn) 的 ?x ?y ?xy 2. 過 P 點(diǎn)的斜面的法 線 N的方向余弦 l=cos(N,x), m=cos(N,y) ? 求斜面上應(yīng)力 強(qiáng)度理論校核時，常常需要求出通過此點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力。 推導(dǎo)斜截面上應(yīng)力示意圖 Problem1: stresses acting on any plane 斜面上應(yīng)力 yx pp,? ? 0(F)cM? ? 0xF==剪應(yīng)力互等。 ? ? 0yFyxxx mlp ?? ??xyyy lmp ?? ??Problem 1: stresses acting on any plane 斜面上應(yīng)力 px ， py 0?? xF 02 ???? l ds m dsfm dsl dsdsp xxyxx ??xyxx mlp ?? ??0?? yFxyyy lmp ?? ??AB=ds PA=mds PB=lds Problem 2: stresses acting on any plane 斜面上應(yīng)力 ?N ?N ? projection of px 、 py on the normal N will give ?N , projection of px 、 py perpendicular to the normal N will give ?N px 、 py投影到法線方向為 ?N ，投影到和法線垂直的方向為 ?N xyxx mlp ?? ??xyyy lmp ?? ??xyyxyxN lmmlmplp ???? 222 ?????xyxyxyN mllmmplp ???? )()( 22 ??????Problem 2: Principal stress 主應(yīng)力 yxxx mlp ?? ??xyyy lmp ?? ????? ?? NN 為應(yīng)力主面。此時對應(yīng)的面 ,0??? lml yxx ????? mlm xyy ??0)( ??? yxx ml ???0)( ??? ??? yxy ml齊次方程組 存在非零解條件： 0??? ??? ???yxyyxxA B P ??lpx ??mpy ?y?yx?xy?x?0)() 22 ????? xyyxyx ??????? （Problem 2: Principal stress 主應(yīng)力 221 22 xyyxyx ?????? ????????? ???? 222 22 xyyxyx ?????? ????????? ????yxyxyxx???????????),t a n (1),( 21 ??? ???1 + ?2= ?x + ?y invariant of the state of stress 應(yīng)力的不變量 0)() 22 ????? xyyxyx ??????? （主應(yīng)力方向： （ 1）兩個主應(yīng)力不等 （ 2）兩個主應(yīng)力相等 ???? 0)( ??? yxx ml ???0)( ??? ??? yxy mlProblem3:Maximum and minimum shearing stress 最大最小剪應(yīng)力 ? They are acting on planes inclined at 45 with ?1 or ?2. ? The normal stresses on the planes of maximum and minimum shearing stresses at a point are equal and take the mean value of the two principal stresses at the point. ? 最大與最小剪應(yīng)力發(fā)生在與應(yīng)力主向成 45度的斜面上 。 ? 在發(fā)生最大與最小剪應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值 都等于兩個主應(yīng)力的平均值 。 2,221m i n21m a x ?????? ????? 221 ??? ??NProblem3:Maximum and minimum shearing stress 最大最小剪應(yīng)力 2,2 21m i n21m a x ?????? ????? 221 ??? ??NxyxyxyN mllmmplp ???? )()( 22 ??????,0 21 ????? ??? yxxy方便起見： )( 12 ??? ?? lmN222 11 lmml ??????)()21(41)()(1 12221242122 ??????? ????????????? lllllN分析極值： 21??l 2,2 21m i n21m a x?????? ?????2 21??? ??N與 x（ y）軸成 45176。 ： 在發(fā)生最大和最小剪應(yīng)力的面上 ,正應(yīng)力的 數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。 Problem 1: stresses acting on any plane 斜面上應(yīng)力 px ， py 0?? xF 02 ????l ds m dsfm dsl dsdspxxyxx ??xyxx mlp ?? ??0?? yFxyyy lmp ?? ??AB=ds PA=mds PB=lds Problem 2: stresses acting on any plane 斜面上應(yīng)力 ?N ?N ? projection of px 、 py on the normal N will give ?N , projection of px 、 py perpendicular to the normal N will give ?N px 、 py投影到法線方向為 ?N ，投影到和法線垂直的方向為 ?N xyxx mlp ?? ??xyyy lmp ?? ??xyyxyxN lmmlmplp ???? 222 ?????xyxyxyN mllmmplp ???? )()( 22 ??????Problem 3: 最大剪應(yīng)力面上的應(yīng)力 ?N ?N ? 令 x， y軸分別在 ?1 ， ?2 方向上。 ∴ ?xy＝ 0， ?x= ?1, ?Y= ?2 221222 2 ?????? mllmmlmplp xyyxyxN ???????122 ?? ml)()()( 1222 ?????? ???????? lmmllmmplp xyxyxyN? 討論極值情況，可以得到證明。 取得極值。時，當(dāng) Nl ??? 2 21 ??? ??N例題 22 已知 ?X=q， ? y=0， ?xy = 2q， 求： ?1 ， ?2 ， α1 ?1= ?2= tgα1= α1==37o59` Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面問題的理論 ? Plane stress and plane strain 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 ? Differential equations of equilibrium 平衡微分方程 ? Stress at a point. Principal stresses 斜截面上的應(yīng)力。主應(yīng)力 ? Geometrical equations. Rigidbody displacements 幾何方程。剛體位移 ? Physical equations.