【正文】 稱為 結(jié)構(gòu)坐標系 (或 整體坐標系 )。 為了與局部坐標相區(qū)分 ， 結(jié)構(gòu)坐標系用 xoy表示 。 為了推導(dǎo)結(jié)構(gòu)坐標系下的單元剛度矩陣 ， 可采用坐標變換的方法 ， 即把局部坐標系中建立的單元剛度矩陣 轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)坐標系中的 ， 為此 ， 首先討論兩種坐標系中單元桿端力的轉(zhuǎn)換式 ， 得到單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣；其次再討論兩種坐標系中單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換式 。 ek??????ek??ek1. 單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣 下面討論兩種坐標系中桿端力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 圖 104所示桿件 ij， 在局部坐標系中 ， 仍按式 (103)、 (104)一樣 ， 以 、 分別表示桿端力列向量和桿端位移列向量 。 而在結(jié)構(gòu)坐標系中 ， 用 和 來表示桿端力列向量和桿端位移列向量 ，即 eF????e?????eF???? e?????Te e e e e e ex i y i i x j y j jF F F M F F M? ? ? ??? ? ? ?Te e e e e e ei i i j j ju v u v? ? ?? ? ? ??? ? ? ?（ 109） （ 1010） 其中力和線位移與結(jié)構(gòu)坐標系指向一致者為正 ， 力偶和角位移以逆時針方向為正 ， 由 x軸到軸的夾角 α以逆時針轉(zhuǎn)向為正 。 在兩種坐標系中 ， 力偶都作用在同一平面上 ， 是垂直于坐標平面的矢量 ， 因而不受平面內(nèi)坐標變換的影響 ， 有 xyF N iF S iM iF xjF S jM jeeeeeejiexye=M i=M jeeF N jeF yjeF yiF xieo圖 104 eeiieejjMMMM?? ????? （ a） 桿端力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式可由投影關(guān)系得到 ， 即 c os si nsi n c osc os si nsi n c oseeeNi x i y ieeeSi x i y ieeeNj x j y jeeeSj x j y jF F FF F FF F FF F F?????????????? ? ????? ??? ? ? ?? (b) 將 (a)、 (b)兩式寫成矩陣形式，則為 c os si n 0 0 0 0si n c os 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c os si n 00 0 0 si n c os 00 0 0 0 0 1eeNixieeSiyie ei ieeyjNjeeyjSjejejFFF FM MFFFFMM???????????????????????????????? ?????????????? ????????????? ????（ 1011） 或簡寫為 ? ?eeF T F? ? ? ??? ? ? ? (1012) 其中 ? ?c os si n 0 0 0 0si n c os 0 0 0 00 0 1 0 0 0( 10 13 )0 0 0 c os si n 00 0 0 si n c os 00 0 0 0 0 1T????????????????????稱為 坐標轉(zhuǎn)換矩陣 。即為兩種坐標系中桿端力之間的轉(zhuǎn)換式。 單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣 是一個正交矩陣 。 因此 ， 其逆矩陣就等于其轉(zhuǎn)置矩陣 ， 即 ? ?T? ? ? ?1 TTT? ? （ 1014） 同理 ， 在兩種坐標系中單元桿端位移之間也存在相同的轉(zhuǎn)換 關(guān)系式 ， 即 ? ?eeT??? ? ? ??? ? ? ? （ 1015） 2. 結(jié)構(gòu)坐標系中的單元剛度矩陣 下面討論兩種坐標系中單元剛度矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 由式 (102)有 e e eFk ???? ? ? ??? ? ? ???將式 (1012)和式 (1015)代入上式 ， 得 ? ? ? ?e e eT F k T ???? ? ? ??? ? ? ???兩邊同左乘以 ， 得 ? ?1T?? ? ? ? ? ? ? ?1 Te e e e eF T k T T k T??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?（ 1016） 上式可寫為 e e eFk ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? （ 1017） 其中 ? ? ? ?Teek T k T???? ??? ?? （ 1018） 這里 就是結(jié)構(gòu)坐標系中的單元剛度矩陣 ， 式 (1018)即為兩種坐標系中單元剛度矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式 。 ? ?ek由于在以后的結(jié)構(gòu)分析中 ， 要對結(jié)構(gòu)中的每個結(jié)點分別建立平衡方程 ， 為便于討論 ， 把式 (1017)按單元的始末端結(jié)點 i、 j進行分塊 ， 寫成如下分塊形式 e e e ei ii ij ie e e ej ji jj jF k kF k k??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 1019） 式中 exieei y ieiFFFM?????? ?????????exjeej y jejFFFM???????????????eieeiieiuv?????????????????ejeejjejuv?????????????????（ 1020） 分別為始端 i 及 末 端 j 的 桿 端 力 及 桿 端 位 移 列 向量 。 、 、 、 為單元剛度矩為單元剛度矩陣 的四個子塊 ， 即 eiik???? eijk???? ejik????ejjk???? ek????eei i i jeeej i j jkkkkk??? ? ? ?? ? ? ????? ???? ? ? ?? ? ? ??? （ 1021） 每個子塊為 3 3階方陣 。 由式 (1021)可知 e e e e ei ii i ij jF k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e e e e ej ji i jj jF k k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1022） 將式 （ 105） 和式 （ 1013） 代入式 （ 1018） ， 并進行矩陣乘法運算 ， 可得整體坐標系下的單元剛度矩陣的計算公式 。 與局部坐標系中的單元剛度矩陣 相似 ， 結(jié)構(gòu)坐標系中的單元剛度矩陣 也具有如下性質(zhì)： ek????ek????(1) 也是一個對稱矩陣 ； (2) 也是奇異矩陣 。 當結(jié)構(gòu)坐標系與局部坐標系相同 (α=0176。 )時 ， 則兩種坐標系中的單元剛度矩陣亦相同 ， 即 ek????ek????ek???? ek????= 對拉壓桿單元 (如桁架中各桿件 )， 如圖 105所示 ， 在結(jié)構(gòu)坐標系中的桿端力和桿端位移列向量分別為 oeF xiF yieF yjeF N jeyxeijeeF xjF N iyx圖 105 exie ei yieeexjjeyjFF FFFFF?????????? ?????? ???? ?????????? ??????eie ei ieeejjejuvuv????????????? ?????? ?????????????? ??????(1024) 桿件在局部坐標系中的單元剛度矩陣如式 (108)所示 ， 而坐標轉(zhuǎn)換矩陣 [T]為 ? ?c os si n 0 0si n c os 0 00 0 c os si n0 0 si n c osT??????????????????? (1025) 結(jié)構(gòu)坐標系下的單元剛度矩陣可按式 (1018)來計算 ， 其四個子塊為 22222222c os c os si n c os c os si nc os si n si n c os si n si nc os c os si n c os c os si nc os si n si n c os si n si neeii ijeeeji jjkk EAklkk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??????? ? ? ???? ? ? ????? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????（ 1026） 167。 104 結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣 從本節(jié)開始進行結(jié)構(gòu)的整體分析 ， 即在單元分析的基礎(chǔ)上 ， 考慮各結(jié)點的幾何條件及平衡條件 ， 建立結(jié)構(gòu)的剛度方程和結(jié)構(gòu)剛度矩陣 。 現(xiàn)以圖 106(a)所示剛架為例來說明 。 3241xy213F x2F y2M 2M 3F y3F x3312142312xy23xy34yxoF x 3F y3M 3M 2F y2 222222F x 22M 2F y2F x 2 2F x 111F y1M 1M 2F y2F x 21111M 1F y1F x 11F x3F y3M 3333F x 3F y3M 3M 4F y43F x 43333F x 4F y4M 44(b)(c)(a)圖 106 首先對各單元及結(jié)點進行編號 。 用 ① 、 ② 、 ? 表示單元編號；用 ? 表示結(jié)點編號 ， 這里支座也視為結(jié)點 。 其次 ， 選取結(jié)構(gòu)坐標系和各單元的局部坐標系如圖 106(b)所示 。 各單元的始末兩端 i、 j的結(jié)點號碼如表 101表示 ， 則按式 (1023)表示的各單元剛度矩陣的四個子塊應(yīng)為： 111 1 1 21112 1 2 2kkkkk??? ? ? ?? ? ? ????? ???? ? ? ?? ? ? ???222 2 2 32223 2 3 3kkkkk??? ? ? ?? ? ? ????? ???? ? ? ?? ? ? ???333 3 3 43334 3 4 4kkkkk??? ? ? ?? ? ? ????? ???? ? ? ?? ? ? ???（ a） 表 101 各單元始末端的結(jié)點編號 單元 始末端結(jié)點號 i j ① ② ③ 1 2 2 3 3 4 在平面剛架中 ， 每個結(jié)點有兩個線位移和一個角位移 。 此剛架有四個結(jié)點 ， 共有 12個結(jié)點位移分量 ， 按一定順序排列成一列陣 ， 稱為結(jié)點位移列向量 ， 即 ? ?? ?? ?? ?? ?1234????????????????????? ?1111uv?????????????? ?2222uv?????????????? ?3333uv?????????????? ?4444uv???????