量子情報(bào)理論組合論的手法(1)-文庫(kù)吧
2025-01-03 20:30 本頁(yè)面
【正文】 最小距離だけでは測(cè)れない！ LDPC符號(hào) 誤り訂正能力 14 正則 LDPC 符號(hào) (J, L)正則 ? 各列の非ゼロ成分?jǐn)?shù) =J, 各行の非ゼロ成分?jǐn)?shù) =L どのように (J, L)正則を?qū)g現(xiàn)するか。 どのようにすれば、ループが大きくなるか。 どのようにすれば、 SP復(fù)號(hào)が性能良く働くか。 ＢＬＥＲが小さく出來(lái)る。 最小距離が大きくなる。 LDPC符號(hào)の構(gòu)成 非正則 LDPC 符號(hào) 正則ではないＬＤＰＣ符號(hào) 非正則にすることで、どのようなメリットがあるか。 どのように非正則ＬＤＰＣ符號(hào)を設(shè)計(jì)すればよいか。 ＢＥＲが小さくできる。（理論限界に近い） 主要な２系統(tǒng) 15 正則 LDPC 符號(hào) : LDPC符號(hào)の構(gòu)成 Array 符號(hào) , Constrained coding and soft iterative decoding, Kluwer Academic Publishers (2022) 有限幾何 , , , Low density parity check codes based on finite geometries: a rediscovery and new results, IEEE Trans. Inform. Theory, , (2022) Ramanujan グラフ（ Cayleyグラフ） , , Codes and iterative decoding on algebraic expander graphs, in Proceeding of ISITA 2022, Honolulu, Hawaii (2022) Tデザイン , , Evaluation of Gallager codes for short block length and high rate applications, in Proceedings of the IMA workshop on Codes, Systems and Graphical models (1999) 16 LDPC符號(hào)の構(gòu)成 Array 符號(hào) , Constrained coding and soft iterative decoding, Kluwer Academic Publishers (2022) . Tanner, A recursive approach to low plexity codes, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT27, , Sept. 1981. P0 P0 P0 P0 P0 P0 P1 P2 P3 P4 P0 P2 P4 P6 P8 [ ]=[P(i1)(j1)] 0100000 0010000 0001000 … 0000001 1000000 P=[ ] 17 LDPC符號(hào)の構(gòu)成 Ramanujan グラフ （ Cayleyグラフ） 群に対し、生成する集合を位數(shù)が２となるよう選ぶ。 群の各元を頂點(diǎn)とし、 群の二つの元の差が生成元であれば頂點(diǎn)を結(jié)ぶ。 単位元を起點(diǎn)とすると、 群が生成される様子を視覚化したもの と解釈できる。 [ ] サイズｋ ｎの０１行列は、 （ｋ＋ｎ）個(gè)の頂點(diǎn)からなる２部グラフと同一視される。 １００００１ ０１００１０ １０１１００ 18 LDPC符號(hào)の構(gòu)成 , , , Design of capacityapproaching irregular lowdensity paritycheck codes, IEEE Trans. Inform. Theory, , (2022) アンサンブルという考え方を用いて、 各行?各列における１の個(gè)數(shù)の分布 がどのようであれば性能の良い符號(hào)が構(gòu)成されるか解析されている。 19 量子情報(bào)理論 古典情報(bào)理論と量子情報(bào)理論 20 量子情報(bào)理論 古典情報(bào) １ビットを表す記號(hào) ０もしくは１ 古典情報(bào)理論と量子情報(bào)理論 量子情報(bào) １量子ビットを表す記號(hào) c0|0 + c1|1 ただし、 |0 = , |1 = , |c0|2 + |c1|2 =1 つまり、 c0|0 + c1|1= 1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) c0 c1 |0 |1 「スカラー倍は同一視」されるという性質(zhì)も持つ。 例えば、 |0= |0 21 量子情報(bào)理論 観測(cè)の公理 観測(cè) ～情報(bào)を得る～ c0|0 + c1|1を観測(cè)すると、 確率 |c0|2 で |0に、確率 |c1|2で |1に狀態(tài)が遷移する。 ベクトルを基底に射影することで観測(cè)結(jié)果とその確率が直感的にわかる。 sinや cosによる表記が便利な時(shí)がある。 誤り訂正をする際、情報(bào)を見ると情報(bào)が壊れる。 観測(cè)前 観測(cè)結(jié)果 50% 観測(cè) すると 22 量子情報(bào)理論 コピーは不可能 ユニタリ変換の定義を行列で書けば、 Uがユニタリ変換 ? U U＊ ＝単位行列 本質(zhì)は、線形性と內(nèi)積保存性。 非複製定理 知らない量子狀態(tài)を正確に複製できない。 これは量子狀態(tài)に行える操作の公理から導(dǎo)ける。 操作の公理 量子回路はユニタリ変換として記述される。逆に任意のユニタリ変換を施せる。 証明） あるユニタリ変換 Uで複製をしようとする。 |x|0を |x|xにしたい。 U|0|0 = |0|0, U|1|0= |1|1ができるとする。 U(|0+|1)|0 = U|0|0+U|1|0 = |0|0+|1|1 23 量子情報(bào)理論 複數(shù)の量子狀態(tài)は 各量子ビットのテンソル和として 記述される。 複數(shù)量子ビットの記述 観測(cè) 知らない量子狀態(tài)を正確に知りえない 我々が可能な観測(cè)： V=V0+V1 . V0と V1は直交する空間 a=b+c （ b in V1, c in V2） 観測(cè)結(jié)果 0 である確率 |b| 同時(shí)に狀態(tài)は bに遷移 1 である確率 |c| 同時(shí)の狀態(tài)は cに遷移 観測(cè)に用いる空間が１次元のとき、その基底で観測(cè)すると言われる。その基底を観測(cè)基底という。 24 量子情報(bào)理論 古典誤り訂正符號(hào)に話を戻す。 ０を０００ １を１１１ に誤り訂正符號(hào)化すると、１ビットの誤りを訂正できる。 例） ０１０であれば、０００だと推測(cè)ができる。 これを、０１０自身を見ずに誤り訂正したい。 実は、既に良い例を知っている！ 誤り訂正に情報(bào)自身を観測(cè)する必要があるか？ 25 量子情報(bào)理論 パリティ検査行列が ０００１１１１ ０１１００１１ １０１０１０１ であるとする。 １ビットのエラーに対して、 誤り位置をバイナリ表現(xiàn)したシンドロームが 得られる。シンドロームが ０ １ １ ならば、（左から）３ビット目にエラー発生。 ハミング符號(hào) 符號(hào)語(yǔ)を見ずに誤り位置を特定 ( ) ( ) シンドロームから誤りを推定する方法が量子狀態(tài)に対して適用できる。 量子誤り訂正符號(hào)の研究では、そのような「符號(hào)の構(gòu)成」「復(fù)號(hào)法」「性質(zhì)」を探索する。 26 量子情報(bào)理論 古典ビット列 0000..0や 1010..0や 1111..1に対応するのは 量子ビット列 |0000..0, |1010..0, |1111..1である。 ただし、 |x = ← (x+1)番目だけ１ あとは０。 大きさが１のベクトル全體を量子狀態(tài)とみなせる。 複數(shù)の量子狀態(tài)を記述 0 0 . . 1 . 0 () 27 シンドロームを求めよ CNOT回路と呼ばれる量子回路（ユニタリ変換）を 用いればシンドロームを計(jì)ることができる。 CNOT回路 CNOT回路 |00 ? |00, |01 ? |01, |10 ? |11, |11 ? |10 つまり、 |x,y ? |x, x+y 問： CN
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