【正文】 設擴展為方差是過去信息條件下的條件方差，從而提出了ARCH模型。ARCH模型很好滴刻畫了時間序列的波動集群效應，并且在誤差正態(tài)性假設假設下部分解釋了分布的“尖峰厚尾”現(xiàn)象。美中不足的是該模型設定方差為過去干擾項平方的線性函數(shù)，如果估計出來的參數(shù)值為負數(shù)的話，方差過程就會產(chǎn)生錯誤。Engle本人的解決方法時，對波動方程參數(shù)施加了特別的限制，他賦予不同時期的過去干擾項以不同的權重，離現(xiàn)在越遠的時期其權重越低，從而保證了系數(shù)的為正。Bollerslev（1986）則將方差本身的滯后項也納入了方差方程，建立了GARCH模型。比較一下ARCH和GARCH模型，它們的不同點體現(xiàn)在前者的波動方程可以看做一個移動平均過程，后者則進一步添加了方差的自回歸項形成了一個自回歸移動平均過程。隨后，Engle,Lilie和Robins（1987）又提出了ARCHM模型。該模型根據(jù)CAPM的結論，將金融資產(chǎn)的方差作為資產(chǎn)收益的一個解釋變量。同時，資產(chǎn)的方差假定服從一個自回歸過程。本文用兩組方程描述股票波動的變化過程。在ARCHM模型的基礎上，假定股票方差服從一個廣義自回歸過程，同時，還將市場指數(shù)的方差作為股票方差的一個解釋變量。市場指數(shù)的方差則服從另一個廣義自回歸過程。本文先從ARCHM入手，討論該模型的不足之處，隨后提出改進的模型。本文后半部分將對新模型進行實證分析，選取“中國銀行” 股票作為待預測對象，選取“上證180”指數(shù)代表市場收益。二、國外研究回顧1964年，William Sharpe提出了資本資產(chǎn)定價模型。該模型是第一個資產(chǎn)定價的一般均衡模型，其結果顯示：資產(chǎn)的超額回報與其承擔的風險成正比，且市場只對資產(chǎn)的系統(tǒng)風險給與回報，對非系統(tǒng)風險不給于回報。1982年，Robert Engle指出“最近的過去提供了未來一期內(nèi)方差的信息”，他把方差不變的假設擴展為方差是過去信息條件下的條件方差。他假定這個關系是：其中為條件方差，為隨機干擾項的第i期滯后，為純高斯白噪音。設定中由于將干擾項的條件方差設定為干擾項本身平方項的函數(shù)，所以在沒有使用外生變量的情況下解決了條件方差。實踐中通常不是以加的形式而是以積得形式存在，即：1986年，Bollerslev提出了GARCH模型，他在原來ARCH的基礎上引入了方差的自回歸部分，從而彌補了ARCH的不足。他將條件方差設定為：該模型的特點是使用方差自身的滯后項，減少了ARCH模型中對某些系數(shù)的人為限制。GARCH可以看做是以個無限期的ARCH。1987年，Engle,Lilie和Robins將ARCH模型引入到金融領域,提出了ARCHM模型（均值），該模型的與眾不同之處在于，它將資產(chǎn)的條件方差作為一個解釋變量納入到收益方程中?！帮L險厭惡的投資者會在持有風險資產(chǎn)時要求相應的風險補償” ，資產(chǎn)的風險由方差衡量，那么相應地回報應該包含方差作為解釋變量。1990年，Nelson提出IGARCH模型（綜合求積），此模型的不同之處在于他在條件方差中加入了以個限制性條件：令自回歸過程的系數(shù)和移動平均過程的系數(shù)和為1。1991年，Nelson又提出EGARCH模型（指數(shù)），將條件方差方程從原來的線性表達式改為指數(shù)形式，再對方程兩邊取對數(shù)得到了對數(shù)線性方程。1994年，Glosten,Jaganathan和Runkle三人提出了TARCH模型，在條件方差的方程中引入了一個虛擬變量用過一控制某一滯后項的影響效應，當滯后項為負數(shù)時才納入模型，否則不納入模型。三、模型的建立（一）簡介及其不足CAPM的經(jīng)濟含義是：均衡狀態(tài)下一項資產(chǎn)的超額回報與它所承受的系統(tǒng)風險成正比。在CAPM模型中，系統(tǒng)風險由資產(chǎn)的值衡量。投資者投資于某項資產(chǎn)，在其持有期間內(nèi)，承擔了由于市場波動而造成的資產(chǎn)損失的風險，那么投資者到期對資產(chǎn)要求一定的回報是理所當然的。在CAPM中，是風險的價格，稱為風險溢價，它被看做是由于投資者承受了風險而需要的超額回報。如果風險不用，而用資產(chǎn)的方差來衡量的話，可以預見預期收益與方差之間必然存在正的相關系。Engle,Lilie和Robins（1987）三人在ARCH模型的基礎上，把方差納入到解釋變量中建立了ARCHM模型，如下：，其中，表示持有一項資產(chǎn)的超額收益；表示風險溢價；表示對超額收益的不可預測沖擊。首先該模型使用了CAPM里的結論：承受了風險就得到相應的回報。與ARCH模型一樣，本模型的條件方差必須施加一些限制條件，如，或者給諸一個遞減的權重，不然這些參數(shù)可能會出現(xiàn)為負的結果。其次，條件方差被解釋為若干前期不可預期沖擊的函數(shù)。這里，“若干前期不可預期沖擊”代表了在前期資產(chǎn)本身沖擊對本期資產(chǎn)的影響。資產(chǎn)前期的信息里包含有前期市場波動的信息。但是，本期的市場沖擊的信息并沒有考慮進去。比如某只股票，它的方差除了受到自身前期的影響外，還受到本期市場因素的影響，所以，應該把本期市場因素納入到股票方差變動過程中。還有一點，不可預測沖擊被假設為正態(tài)分布，而眾多實踐表明，金融資產(chǎn)回報具有尖峰厚尾的特點，這一點可以用JB檢驗來驗證。非正態(tài)特征將會造成有限樣本下參數(shù)不再具有有效性。候選的擁有厚尾性特征的分布函數(shù)包括t分布、拉普拉斯分布等。（二）雙模型上面的分析可以知道，當前市場的波動作為一個解釋變量，也應該納入到股票的波動方程中，模型中放棄干擾項的正態(tài)分布假設也是必要的。為減少對參數(shù)的額外約束條件，可以借用Bollerslev在建立GARCH模型時的思想，即把波動的滯后項也納入模型。鑒于此，本文在的基礎上，提出用兩個來描述股票收益的變化過程。模型考慮了以上提到的三個問題，理論上有比傳統(tǒng)模型更好的解釋能力。模型使用兩個過程：（Ⅰ） ， （）， （） （） （）方程組（Ⅰ）描述了股票收益的變化過程，其中為市場收益的條件方差，它來自于另一個過程：（Ⅱ） ， （）， （） （） 方程組（Ⅱ）描述了市場收益的變化過程。兩個方程組中各項參數(shù)的經(jīng)濟意義如下：表41 模型中各個參數(shù)的經(jīng)濟含義參數(shù)含義參數(shù)含義單項資產(chǎn)的期望回報市場當前或滯后的受到?jīng)_擊的條件方差風險溢價，它是條件方差的線性函數(shù)市場期望回報不可預測的沖擊過程市場回報的無條件均值，可以看做長期的期望回報，白噪音過程市場受到的沖擊沖擊過程的條件方差為廣義誤差分布都為待估計的模型參數(shù)方程組（Ⅰ）描述了某只股票的收益變化過程。它表示某只股票的收益率等于它的風險溢價加上一個干擾項。其中，風險溢價是干擾項方差的線性函數(shù)，干擾項的方差服從一個帶有市場因素的過程。 方程組（Ⅱ）描述了市場收益的變化過程。其中，市場收益等于期望收益率加上干擾項，干擾項的方差服從另一個過程。（三）廣義誤差分布1. 廣義誤差分布簡介以上設定的模型中，干擾項的分布采用“廣義誤差分布”。其密度函數(shù)表示為： （）其期望和方差： （） （）均值為0，方差為1的密度函數(shù)圖像如下所示：圖41 不同參數(shù)下標準廣義誤差分布的密度函數(shù)圖像資料來源：A Generalized Error Distribution,第2頁2. 本模型中的廣義誤差分布一般來說，干擾項的正負干擾平均存在，故在本模型中設干擾的均值： （）而方差則采用條件方差： （）將以上兩個假設條件代入前面的密度函數(shù)方程（），可消去其中兩個參數(shù)，化簡后可得的條件密度函數(shù)為：同理，的條件密度函數(shù)為：（四）參數(shù)估計參數(shù)的估計采用條件極大似然估計。由上文知道存在兩個似然函數(shù)，需要對他們分別求最大似然估計量。因為第一個方程組中包含有第二個方程組的條件方差作為解釋變量，所以從第二個方程組開始估計會使得估計過程更容易理解。注意到方程（45）可以看做一個不含滯后項的移動平均過程，將它重寫為將包含帶估計參數(shù)的密度函數(shù)表示為：；其中，為包含方程組2中所有待估計參數(shù)的一個向量。假設觀測值總共有n個，則每個觀測值的密度函數(shù)為：那么，樣本似然函數(shù)為以上T個方程之積：引入廣義誤差分布的條件密度函數(shù)的具體形式，得到方程組（Ⅰ）的條件似然