【正文】 立小車與單擺模型進行對比說明小車的受力情況。重力場中使用細線懸掛的重物經(jīng)抽象化便形成理想化的單擺模型，兩輪自平衡車可以看作一級倒立擺模型進行分析，如圖23所示。圖23 小車抽象為一級倒立擺模型對普通單擺進行受力分析如圖24所示。圖24 單擺受力分析當(dāng)物體離開平衡位置后便會受到重力與線的合作用力，驅(qū)使物體回復(fù)至平衡位置。這個力稱為回復(fù)力，其大小為： （式21）在偏移角很小情況下，回復(fù)力與偏移角之間的大小成正比，方向相反。在此回復(fù)力的作用下，單擺進行周期運動。由于空氣阻力的存在，單擺最終會停止在平衡位置?？諝庾枘崃εc單擺的速度成正比，方向相反。阻尼力越大，單擺會越快停止在平衡位置?？傻贸?，單擺保持平衡的條件有兩點：(1) 受到與偏移相反的回復(fù)力作用；(2) 受到與運動速度相反的阻尼力作用。如果沒有阻尼力，單擺會在平衡位置左右晃動而無法停止。如果阻尼力過小（欠阻尼），單擺會在平衡位置震蕩。阻尼力過大（過阻尼）則導(dǎo)致單擺恢復(fù)平衡時間加長。因而存在一個臨界阻尼系數(shù)，使單擺穩(wěn)定在平衡位置所需時間最短。對靜止的一級倒立擺模型進行受力分析（不考慮車輪與地面的滾動摩擦力），如圖25所示。圖25一級倒立擺模型受力分析圖由一級倒立擺模型靜止時的受力分析可知，其回復(fù)力大小為： （式22）靜止的倒立擺之所以不能像單擺一樣可以穩(wěn)定在平衡位置，是因為在偏離平衡位置時所受回復(fù)力與其偏移方向相同，而不是相反，因此不能回復(fù)至平衡位置，而是加速偏離垂直位置直至傾倒。經(jīng)分析可知，要控制倒立擺使其能夠與單擺一樣能夠回復(fù)至平衡位置并保持穩(wěn)定有兩種方案。一種是改變重力方向；另一種是在系統(tǒng)中增加另外一種力使合回復(fù)力與偏移方向相反。顯然，只能通過第二種方法實現(xiàn)倒立擺的平衡，即在系統(tǒng)中額外增加一種力使合回復(fù)力與偏移方向相反。根據(jù)牛頓第一運動定律（即慣性定律），任何一個物體在不受外力或受平衡力的作用時，總是保持靜止?fàn)顟B(tài)或勻速直線運動狀態(tài)，直到有作用在其上面的外力迫使其改變這種狀態(tài)為止。牛頓運動定律只在慣性參考系中成立。在非慣性參考系中，由于慣性的存在，物體會受慣性力。通過控制倒立擺底部車輪，使其做加速運動。在此條件下再次分析倒立擺受力情況，如圖26所示。圖26 非慣性系中的倒立擺受力分析由于車輪做加速運動，倒立擺會受額外的慣性力作用。假設(shè)車輪運動使倒立擺具有的加速度為α。選取地面為參考的慣性系，根據(jù)牛頓第二定律可知倒立擺受到的慣性力為： （式23）這樣，倒立擺所受到的合回復(fù)力為： （式24）在平衡控制系統(tǒng)中，可控偏移角θ較小，對其進行線性化。假設(shè)控制系統(tǒng)中車輪加速度α與偏移角θ成正比關(guān)系，比例系數(shù)為，則式24可變換為： （式25）若比例系數(shù)g（重力加速度），則倒立擺所受合回復(fù)力的方向即與偏移方向相反。這樣，倒立擺便可以回復(fù)平衡位置，但是其調(diào)整時間過長。為提高倒立擺調(diào)整時間，需要加入阻尼力。增加的阻尼力與偏移角速度成正比，方向相反，因此式（25）可變?yōu)椋? （式26）這樣車輪需要提供的加速度即為： （式27）式中為傾角，為傾角速度，、為比例系數(shù)。由式27可知，只有當(dāng)g時，倒立擺才能穩(wěn)定到垂直位置。為阻尼系數(shù)，合適的阻尼系數(shù)可以使倒立擺盡快回復(fù)至穩(wěn)定位置。已知自平衡車高度為，質(zhì)量為，將其抽象為一級倒立擺，并將倒立擺至于可水平移動的小車上。假設(shè)其受外力干擾引起的車體角加速度為，沿垂直于車體方向進行受力分析如圖27，可以得到自平衡車傾角與車輪移動加速度為以及外力干擾帶來的加速度之間的運動方程。圖27 外力干擾條件下的小車受力分析小車運動微分方程表達式如式28： （式28）當(dāng)傾角很小的時候，可以進行線性化處理： ，運動微分方程可簡化為： （式29）自平衡車靜止時,其運動微分方程為： （式210） PID控制器設(shè)計 PID控制器原理當(dāng)今的自動控制技術(shù)都是基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。測量系統(tǒng)需要控制的變量，與期望值相比較，用這個誤差糾正調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的響應(yīng)。在工程實際中，應(yīng)用最為廣泛的調(diào)節(jié)器控制規(guī)律為比例、積分、微分控制，簡稱PID控制，又稱PID調(diào)節(jié)。PID控制器問世至今已有近70年歷史，以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工業(yè)控制的主要技術(shù)之一。PID控制器由比例單元（P）、積分單元（I）和微分單元（D）組成。其輸入e (t）與輸出u (t）的關(guān)系為： (式211)其中為比例系數(shù)；為積分時間常數(shù)；為微分時間常數(shù)。PID控制器具有原理簡單、使用方便、適應(yīng)性強、魯棒性強、對模型依賴少等特點，因此使用PID控制器實現(xiàn)兩輪自平衡車的控制是完全可行的。 PID控制器設(shè)計 由小車靜止時其運動方程可得到系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數(shù)： (式212) 此時系統(tǒng)具有兩個極點：。其中一個極點位于s平面的右半平面。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此小車在靜止?fàn)顟B(tài)不能保持平衡[5][6]。由小車受力分析可知小車平衡的條件是提供額外的回復(fù)力及阻尼，其來源為車輪與地面的摩擦力。由式27可知，車輪提供的加速度的大小是根據(jù)角度及角速度的反饋得出，因此需要在控制系統(tǒng)中引入角度及角速度構(gòu)成比例(P)微分(D)反饋環(huán)節(jié)，如圖28所示。圖28 加入比例微分環(huán)節(jié)后的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖加入比例微分反饋后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： (式213)此時，系統(tǒng)的兩個極點為。根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定需要兩個極點都位于s平面的左半平面。要滿足這一點，需要g, 0。由此可得出結(jié)論，但g, 0時，小車可以保持平衡，這也與上文中小車受力分析的結(jié)果相符。在反饋環(huán)節(jié)中，與角度成比例的控制量稱為比例控制；與角速度成比例的控制量稱為微分控制（角速度是角度的微分）。因此上面系數(shù)，分別稱為比例和微分控制參數(shù)。其中微分參數(shù)相當(dāng)于阻尼力，可以有效抑制自平衡車振蕩?？刂葡到y(tǒng)的輸出量為電機控制量，因而小車平衡控制的PID控制器的輸出方程可寫為：OUT_Motor=Kp*Angle+Kd*Angle_dot (式214)式214中，OUT_Motor為PID控制輸出量，Angle為反饋傾角值，Angle_dot為反饋角速度值，Kp和Kd分別為比例系數(shù)及微分系數(shù)。兩輪自平衡車不同于普通傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的小車，是一種本質(zhì)不穩(wěn)定非線性系統(tǒng)。需要不斷調(diào)整自身角度，以實現(xiàn)動態(tài)平衡。因此需要實時檢測自身傾角，再進行合理調(diào)整，就可以實現(xiàn)動態(tài)平衡，因而姿態(tài)檢測成為控制小車直立平衡的關(guān)鍵。慣性導(dǎo)航是依據(jù)牛頓慣性原理，利用慣性元件來測量運載體本身的加速度，經(jīng)過積分和運算得到速度和位置，從而達到角度、角速度、位置等姿態(tài)檢測的目的。其工作時不依賴外界信息，也不向外界輻射能量，不易受到干擾，是一種自主式導(dǎo)航系統(tǒng)[7][8]。MEMS慣性器件具有體積小，耐沖擊，壽命長，可靠性高，成本低等特點，非常適于構(gòu)建微型捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)。本系統(tǒng)采用MEMS加速度計和陀螺儀構(gòu)成自平衡車的姿態(tài)檢測系統(tǒng)。陀螺儀是一種用高速回轉(zhuǎn)體的動量矩敏感殼體相對慣性空間繞正交于自轉(zhuǎn)軸的一個或二個軸的角運動檢測裝置，可以用于檢測角速度。本系統(tǒng)使用的陀螺儀是日本村田公司基于壓電陶瓷技術(shù)的單軸陀螺儀ENC03，其實物如圖29所示。其利用了旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的物體會受到科里奧利力的原理，在器件中利用壓電陶瓷做成振動單元。當(dāng)旋轉(zhuǎn)器件時會改變振動頻率，從而反映出物體旋轉(zhuǎn)的角速度。ENC03體積小，響應(yīng)快，功耗低，成本低。采用模擬量輸出，檢測范圍可達177。300deg/sec(度每秒)。圖29 陀螺儀ENC03陀螺儀直接輸出角速度，將角速度進行積分便可以得到角度。陀螺儀輸出數(shù)據(jù)噪聲較少，短時誤差較小。由于陀螺儀及其放大電路存在溫漂，且需要經(jīng)過積分運算，最終會導(dǎo)致誤差累積，致使檢測結(jié)果出錯。因此不能直接利用陀螺儀的積分結(jié)果作為可以直接使用的角度[7][8]。加速度計是一種利用檢測質(zhì)量塊的慣性力來測量載體加速度的敏感裝置，分為線加速度計和角加速度計。本系統(tǒng)采用飛思卡爾公司利用MEMS微電子技術(shù)開發(fā)生產(chǎn)的三軸加速度計MMA7260。MMA7260是一種低g值、小量程線性加速度傳感器，在不運動或不受重力作用（0g），最大測量范圍06g，靈敏度最高可到800mV/g，MMA7260實物如圖210所示。圖210 加速度計MMA7260加速度計可以直接通過反三角函數(shù)計算出小車傾斜角度，但是其對震動非常敏感，輸出值中含有大量噪聲，而且其輸出的值是小車運動加速度與重力加速度的混合數(shù)據(jù)。因此不能直接使用。通過示波器連接陀螺儀與加速度計可以觀察其輸出波形，如圖211。圖211 陀螺儀與加速度計輸出波形（1為陀螺儀輸出，2為加速度計輸出）雖然單一慣性傳感器就可以單獨進行姿態(tài)角度檢測，但是其準(zhǔn)確性主要取決于慣性器件的精度，單從改善硬件結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)工藝方面難以有很大幅度的提高，并且系統(tǒng)誤差會隨時間累積，不適用于長時間姿態(tài)檢測。由于利用單一傳感器（陀螺儀或加速度計）難以獲得相對真實的小車姿態(tài)角度，出于對系統(tǒng)測量姿態(tài)角度準(zhǔn)確性的考慮，本系統(tǒng)采用多傳感器信號進行數(shù)據(jù)融合，以獲得最佳姿態(tài)角度[9][10]。多傳感器數(shù)據(jù)融合是一個非常重要的研究內(nèi)容，只有采用最適合的融合方法才能獲得最佳的效果。常用數(shù)據(jù)融合方法有加權(quán)平均法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。加權(quán)平均法是一種簡單的融合方法，故其運算精度很差；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法具有很好的非線性和有效的自學(xué)能力，但是其涉及的模型構(gòu)建，參數(shù)優(yōu)化非常復(fù)雜，不適用于本系統(tǒng)。國外有研究者根據(jù)加速度計與陀螺儀的互補特點研究出互補濾波算法，其簡單明了并且具有較好的實時性與穩(wěn)定性，能夠較好的融合出姿態(tài)角度?？紤]到本系統(tǒng)使用的慣性器件特性較差，互補濾波在本質(zhì)原理上不能彌補器件特性缺陷，故本系統(tǒng)采用卡爾曼濾波算法作為數(shù)據(jù)融合方法。1960年卡爾曼發(fā)表了著名的用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問題的論文。隨著數(shù)字計算技術(shù)的進步，卡爾曼濾波器得到了越來越廣泛的應(yīng)用和推廣，尤其是在自主或協(xié)助導(dǎo)航領(lǐng)域?？柭鼮V波器與大多數(shù)濾波器不同之處，在于其是一種純粹的時域濾波器，不需要像低通濾波器等頻域濾波器那樣，需要在頻域設(shè)計再轉(zhuǎn)換到時域?qū)崿F(xiàn)。對于解決大部分的問題，是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的?？柭鼮V波器的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過30年，包括機器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來更被應(yīng)用于計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等[11][12]。 卡爾曼濾波器是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器)，能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，估計動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)?？柭鼮V波器不僅能估計信號的過去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至能估計將來的狀態(tài)?？柭鼮V波器解決離散時間控制過程的一般方法，首先定義模型線性隨機微分方程。假設(shè)卡爾曼濾波模型k時刻真實狀態(tài)是從（k1）時刻推算出來，如下式 (式215)式215中，是k時刻狀態(tài)；A是k1時刻狀態(tài)變換模型；B是作用在控制器向量上的輸入控制模型；是過程噪聲，假設(shè)其均值為零，協(xié)方差矩陣符合多元正態(tài)分布：～ (式216)k時刻對應(yīng)真實狀態(tài)的測量滿足下式： (式217)式217中是觀測模型，將真實控制映射為觀測空間；為觀測噪聲，其均值為零，協(xié)方差矩陣符合正態(tài)分布：～ (式218)初始狀態(tài)以及每一時刻的噪聲都認(rèn)為是互相獨立的?？柭鼮V波器的操作主要包括兩個階段：預(yù)估與更新。在預(yù)估階段，濾波器根據(jù)上一時刻狀態(tài)，估算出當(dāng)前時刻狀態(tài)；在更新階段，濾波器利用當(dāng)前時刻觀測值優(yōu)化在預(yù)估階段獲得的測量值，以獲得一個更準(zhǔn)確的新估計值[11][12][13]?？柭鼮V波器迭代過程如下：1. 先驗狀態(tài)估計： (式219)2. 先驗估計誤差協(xié)方差 (式220) 3. 卡爾曼增益 (式221)