【正文】 +180。+180。i=14= 14，一種用來(lái)檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對(duì)于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85%的給出了正確的結(jié)果；而對(duì)于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4%會(huì)認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10%的人患有關(guān)節(jié)炎，問(wèn)一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒(méi)有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。 解：設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件A，“一名被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎”記為事件B。根據(jù)全概率公式有P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=10%180。85%+90%180。4%=%， 所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為P(B|)=P(B)P(B)P(|B)10%(185%)===% P()1P(A)%%.7概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答15，計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C，, , ，, , 。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A(yíng),B,C上打字的概率分別為多少？解：設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件M，“程序在A(yíng),B,C三臺(tái)打字機(jī)上打字”分別記為事件N1,N2,N3。則根據(jù)全概率公式有P(M)=229。P(Ni)P(M|Ni)=180。+180。+180。=，i=13根據(jù)Bayes公式，該程序是在A(yíng),B,C上打字的概率分別為P(N1|M)=P(N1)P(M|N1)180。==， P(M)P(N2)P(M|N2)180。==， P(M)P(N3)P(M|N3)180。==。 P(M)(N2|M)=P(N3|M)= 16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95%是可信的。%是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊息是可信訊息的概率。解：設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件A，“一訊息是可信的”記為事件B。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為P(B|A)=P(AB)P(B)P(A|B)95%180。1===%P(A)P(B)P(A|B)+P()P(A|)95%180。1+5%180。% 8概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗(yàn)證A和B，B和C，C和A分別相互獨(dú)立（兩兩獨(dú)立），但A,B,C不是相互獨(dú)立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為111111， P(C)=180。+180。=； 222222111111111P(AB)=180。=， P(BC)=P(CA)=180。=，P(ABC)=180。=。 224224224P(A)=P(B)=所以有P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)。即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是P(ABC)185。P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互獨(dú)立。 18，設(shè)A,B, , ，設(shè)A,B,C各在離球門(mén)25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立，求（1）恰有一人進(jìn)球的概率；（2）恰有二人進(jìn)球的概率；（3）至少有一人進(jìn)球的概率。解：設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件Ni(i=1,2,3)。（1）設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為p1，則p1=P{N123}+P{1N23}+P{12N3}=P(N1)P(2)P(3)+P(1)P(N2)P(3)+P(1)P(2)P(N3) （由獨(dú)立性） =180。180。+180。180。+180。180。= 9概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答（2）設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為p2，則p2=P{N1N23}+P{1N2N3}+P{N12N3}=P(N1)P(N2)P(3)+P(1)P(N2)P(N3)+P(N1)P(2)P(N3) （由獨(dú)立性） =180。180。+180。180。+180。180。=（3）設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為p3，則p3=1P{123}=1P(1)P(2)P(3)=180。180。=。 19，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的ARH+血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備，且供血者僅有40%的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說(shuō)最遲可以第4個(gè)人才驗(yàn)出是ARH+型血。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最遲第4個(gè)人才驗(yàn)出是ARH+型血的概率是多少？因?yàn)椋?80。=；180。=；180。=；+++= 10概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答20，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱(chēng)為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為p，試求系統(tǒng)的可靠性。解：設(shè)“元件i能夠正常工作”記為事件Ai(i=1,2,3,4,5)那么系統(tǒng)的可靠性為P{(A1A2)200。(A3)200。(A4A5)}=P(A1A2)+P(A3)+P(A4A5)P(A1A2A3)P(A1A2A4A5)P(A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5) =P(A1)P(A2)+P(A3)+P(A4)P(A5)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A4)P(A5) P(A3)P(A4)P(A5)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)=p2+p+p2p3p4p3+p5=p+2p22p3p4+p5 21，用一種檢驗(yàn)法檢測(cè)產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。；。今獨(dú)立地對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注：本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和Bayes公式）解：設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件A，“對(duì)一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件B。則要求的概率為P(A|B)，根據(jù)Bayes公式可得P(A|B)=P(A)P(B|A) P(A)P(B|A)+P(P(B|)11概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件C，根據(jù)題意有P(A)=，而且P(C|A)=，P(|)=，所以P(B|A)=C32180。180。()=；P(B|)=C32180。()2180。= 故，P(A|B)=P(A)P(B|A)180。===(A)P(B|A)+P()P(B|)180。+180。 （第1章習(xí)題解答完畢）第2章 隨機(jī)變量及其分布 1，設(shè)在某一人群中有40%的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來(lái)驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。解：顯然，Y是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，Y取k表明第k個(gè)人是A型血而前k1個(gè)人都不是A型血，因此有（k=1,2,3,L） P{Y=k}=180。()k1=180。，上式就是隨機(jī)變量Y的分布律（這是一個(gè)幾何分布）。2，水自A處流至B處有3個(gè)閥門(mén)1，2，3，閥門(mén)聯(lián)接方式如圖所示。，以X表示當(dāng)信號(hào)發(fā)出時(shí)水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設(shè)各閥門(mén)的工作相互獨(dú)立。 解：X只能取值0，1，2。設(shè)以Ai(i=1,2,3)記第i個(gè)閥門(mén)12概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答沒(méi)有打開(kāi)這一事件。則P{X=0}=P{A1(A2200。A3)}=P{(A1A2)200。(A1A3)}=P{A1A2}+P{A1A3}P{A1A2A3}=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3) =()2+()2()3=， 類(lèi)似有P{X=2}=P{()}=P()==，P{X=1}=1P{X=0}P{X=2}=,綜上所述，可得分布律為 X 0 1 2 P{X=k}3,據(jù)信有20%的美國(guó)人沒(méi)有任何健康保險(xiǎn)，現(xiàn)任意抽查15個(gè)美國(guó)人，以X表示15個(gè)人中無(wú)任何健康保險(xiǎn)的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險(xiǎn)相互獨(dú)立）。問(wèn)X服從什么分布？寫(xiě)出分布律。并求下列情況下無(wú)任何健康保險(xiǎn)的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根據(jù)題意，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(15, )，分布律為kP(X=k)=C15180。180。,k=0,1,2,L15。3180。180。=,（1）P(X=3)=C15（2）P(X179。2)=1P(X=1)P(X=0)=；（3）P(1163。X163。3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=；（4）P(X5)=1P(X=5)P(X=4)P(X=3)P(X=2)P(X=1)P(X=0)=