【正文】 2213. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期:(1)y=cos(x2)。解 是周期函數(shù), 周期為l=2p.(2)y=cos 4x。解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 2(3)y=1+sin px。解 是周期函數(shù), 周期為l=2.(4)y=xcos x。解 不是周期函數(shù).(5)y=sin2x.解 是周期函數(shù), 周期為l=p.14. 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1)y=x+1。解 由y=x+1得x=y31, 所以y=x+1的反函數(shù)為y=x31.(2)y=1x。 1+x1y 解 由y=1x得x=, 所以y=1x的反函數(shù)為y=1x. 1+y1+x1+x1+x(3)y=ax+b(adbc185。0)。 cx+ddy+b 解 由y=ax+b得x=, 所以y=ax+b的反函數(shù)為y=dx+b. cyacx+dcx+dcxa(4) y=2sin3x。y 解 由y=2sin 3x得x=1arcsin, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為y=1arcsinx. 3232(5) y=1+ln(x+2)。解 由y=1+ln(x+2)得x=ey12, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex12.x (6)y=2. x2+1xxy22 解 由y=x得x=log2, 所以y=x的反函數(shù)為y=log2x. 1y1x2+12+115. 設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.證明 先證必要性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|163。M, 即M163。f(x)163。M. 這就證明了f(x)在X上有下界M和上界M.再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1163。f(x)163。 K2 . 取M=max{|K1|, |K2|}, 則 M163。 K1163。f(x)163。 K2163。M ,即 |f(x)|163。M.這就證明了f(x)在X上有界.16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值:(1) y=u2, u=sin x, x1=p, x2=p。 63解 y=sin2x, y1=sin2p=12=1,y2=sin2p=(2=3. 324624(2) y=sin u, u=2x, x1=p,x2=p。 84解 y=sin2x, y1=sin(2p)=sinp=,y2=sin(2p)=sinp=1. 84242(3)y=, u=1+x2, x1=1, x2= 2。解 y=+x2, y1=+12=, y2=+22=.(4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1。解 y=ex, y1=e0=1, y2=e1=e.(5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1.解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域:(1) f(x2)。解 由0163。x2163。1得|x|163。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域為[1, 1].(2) f(sinx)。解 由0163。sin x163。1得2np163。x163。(2n+1)p (n=0, 177。1, 177。2 ), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域為[2np, (2n+1)p] (n=0, 177。1, 177。2 ) .(3) f(x+a)(aamp。gt。0)。解 由0163。x+a163。1得a163。x163。1a, 所以函數(shù)f(x+a)的定義域為[a, 1a].(4) f(x+a)+f(xa)(a0).解 由0163。x+a163。1且0163。xa163。1得: 當(dāng)0a163。1時, a163。x163。1a。 當(dāng)a1時, 無解. 因22此當(dāng)0a163。1時函數(shù)的定義域為[a, 1a], 當(dāng)a1時函數(shù)無意義. 22236。1 |x|1239。 18. 設(shè)f(x)=237。0 |x|=1, g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個函數(shù)的239。238。1 |x|1222圖形.236。1 |ex|1236。1 x0239。239。解 f[g(x)]=237。0 |ex|=1, 即f[g(x)]=237。0 x=0.239。1 |ex|1239。238。1 x0238。236。e1 | x | 1236。e |x|1239。239。 1, 即g[f(x)]=237。1 |x|=1. g[f(x)]=ef(x)=237。e0 | x |=1239。e1 | x |239。 1238。e |x|1238。19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。(圖137). 當(dāng)過水?dāng)嗝鍭BCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式, 并指明其定義域. 圖137解BC= AB=DC=hsin40, 又從1h[BC+(BC+2cot40oh)]=S02得S0ocot40h, 所以 hS02cos40oL=+h. hsin40自變量h的取值范圍應(yīng)由不等式組Soh0, cot40h0 h確定, 定義域為0h0cot40.20. 收斂音機每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元.(1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù)。(2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù)。(3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？解 (1)當(dāng)0163。x163。100時, p=90.(x0100)=9075, 得x0=1600. 因此當(dāng)x179。1600時, p=75.當(dāng)100x1600時,p=90(x100)180。=910. 01x.綜合上述結(jié)果得到236。90 0163。x163。100239。 p= 100x1600.239。75 x179。1600238。30x 0163。x163。100236。239。 (2)P=(p60)x= 100x1600.239。15x x179。1600238。 (3) P=31180。180。10002=21000(元).習(xí)題121. 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限:(1)xn=1n。 21=0. 解 當(dāng)n174。165。時, xn=1174。0, limn174。165。2n2n(2)xn=(1)n1。 n解 當(dāng)n174。165。時, xn=(1)n1174。0, lim(1)n1=0. n174。165。nn(3)xn=2+1。 n21)=2. 解 當(dāng)n174。165。時, xn=2+1174。2, lim(2+n174。165。n2n2(4)xn=n1。 n+1解 當(dāng)n174。165。時, xn=n1=12174。0, limn1=1. n174。165。n+1n+1n+1(5) xn=n(1)n.解 當(dāng)n174。165。時, xn=n(1)n沒有極限.cos. 問limx=? 求出N, 使當(dāng)nN時, x與 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項xn=nnn174。165。n其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 limxn=0. n174。165。||co163。1. e 0, 要使|x0|e , 只要1e, 也就是n1. 取 |xn0|= nnnnN=1], 則nN, 有|xn0|e .當(dāng)e =, N=[1]=1000. e3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:(1)lim1=0。 n174。165。n2分析 要使|10|=1e, 只須n21, 即n1. nn1=0. 證明 因為e0, $N=[1, 當(dāng)nN時, 有|1, 所以0|elimn174。165。n2n2 (2)lim3n+1=3。 n174。165。2n+123n+13|=11e 分析 要使|, 只須1e, 即n1. 2n+122(2n+1)4n44n證明 因為e0, $N=1, 當(dāng)nN時, 有|3n+13|e, 所以lim3n+1=3. n174。165。2n+122n+124 (3)limn174。165。2+a2=1。 n2222222n+an+ana