【正文】 z R r 圖 牛頓第二定律為 ??????????zRFzmFRRmFRRm?????????????)2()( 2（ ） （ 5）自然坐標(biāo)與內(nèi)稟方程 設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿著某一空間曲線 MN運(yùn)動(dòng)，在軌道 MN上的任意點(diǎn) P作密切平面，在密切平面內(nèi)過 P點(diǎn)作切線 ?和法線 n，再作直線 b，使三者的方向關(guān) 系為 bn ??? ??? ，即互相 ⊥ ， b稱為次法線。 n? b?和 構(gòu)成的平面 稱為法平面， ?? 與 b? 組成的平面稱為直切平面。軌道上每一點(diǎn) 都可作出這樣的三條正交的直線，以、 n、 b為坐標(biāo)軸構(gòu)成空間自然坐標(biāo)系。 bn eee ??? 、?bn eee ??? 、?用 表示其單位矢量，顯然，隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)， 方向隨時(shí)間 t而變化。 O x y P ds 圖 ??? e?? ?dtdedtddtda ????????? ?????dtd??（ ） 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻（ P點(diǎn)）的速度和加速度分別為 如圖 ： ?????????????????ddsdtdsdsddtddtedddeed??? 所以加速度為 ?? ede ? dted??因 ，即 指向軌道的凹向，可見 與法線 ?ed? ne?同向， needtda ???????2??（ ） dtda ?? ? ??2?na 0?ba ， ， 則牛頓第二定律為 ????????????bnFFmFdtdm02????（ ） 動(dòng)力學(xué)基本定理 動(dòng)量定理 (1)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 Fdtdm ???? 牛頓第二定律 可寫為 Fdtpddtmddtdm ??????? )( ?? () 對(duì)于由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系 )(1)( enieis FFdtpd ??? ?? ??（ ） 式中 ??? mp ? 為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量，式 ()表明： 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化率等于質(zhì)點(diǎn) 所受到的力。 為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量： 式中 sp?ini ini ssmPP ???? ??????11 （ ） 為合外力： )(eF? ??? nieie FF1)()( ?? （ ） 方程（ ）表明：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受到的合外力 ——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量 定理，方程中體系中的的內(nèi)力完全不出現(xiàn)。 （ 2）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理 即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不變 ——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。 0)( ?eF? ， 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不守恒，但在某一定方向（例如 x方向）的合外力 0)( ?exF? ，則在該方向動(dòng)量守恒： 常量?sxP?0?? Fdtpd s ??常矢量?? ??ni iismP1???若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零： ，則 （ ） 例如外力僅為重力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系水平方向動(dòng)量守恒。 您能舉出系統(tǒng)總動(dòng)量不守恒而在水平方向動(dòng)量守恒的實(shí)例嗎？ 為質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位矢， sm為質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量，則 （ 3）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量 )()(1 siiisssiiiniiis mrmdtdmmmrmdtdmP ??? ?????????? ? 式中 sniiic mrmr???? （ ） cscss mdtrdmP ???? ??? （ ） 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可改寫成： )( ecss Fdtdmdtpd ??? ?? ?（ ） 是質(zhì)心的速度。上式描述了質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)（平移）規(guī)律，稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它表明： 質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，所受的力等于作用在整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系上的合力的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣。 式中 c?? 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理只描述質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的平移，不涉及質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的 空間取向，而且質(zhì)心運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化取決于質(zhì)點(diǎn)系所受的外力，而與內(nèi)力 無關(guān)，內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系可以是離散的質(zhì)點(diǎn)組或可變形的柔體（如京劇演員、跳水運(yùn)動(dòng) 員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運(yùn)動(dòng)過程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些 體系中質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理都成立。如跳水運(yùn)動(dòng)員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸 展多姿多態(tài)，而其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)遵循拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌跡為拋物線。 角動(dòng)量定理 （ 1）角動(dòng)量 r? ??m 質(zhì)點(diǎn)的位矢 和它的動(dòng)量 的矢量積 P r O 圖 L???m???? mrL ?? （ ） 稱為質(zhì)點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn) O的角動(dòng)量（或動(dòng)量矩），是描述物體運(yùn)動(dòng)特性的重要物理量之一。 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定義為 iini imrL ???? ?? ?? 1 （ ） （ 2）質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定的角動(dòng)量定理 式（ ）兩邊對(duì) t求導(dǎo)： )( )()(1111iieiniiiniiiiniiiiniiFFrFrdtdmrmdtrddtLd?????????????????????????????上式中內(nèi)力矩和 0)(1????iini iFr ??于是 )(1eini iFrdtLd ??? ????（ ） 上式表示：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力矩的和，與 體系內(nèi)部的相互作用無關(guān) ——質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系中固定點(diǎn)的角動(dòng)量定理。 （ 2）角動(dòng)量守恒定律 如果質(zhì)點(diǎn)系所受到的外力矩為零，則體系角動(dòng)量守恒 常矢量??? ?? iini imrL ????1 （ ） 若在某一固定方向的外力矩為零，則角動(dòng)量在該方向的分量守恒。 宇宙中存在著各種層次的天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)。例如銀河系，最初是一團(tuán)極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動(dòng)量 。 在自身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動(dòng)量守恒，銀河系演變成了朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)的盤狀結(jié)構(gòu)（圖 ） L? (3)質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理 質(zhì)心系 ——隨質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心平動(dòng)的參考系（當(dāng)質(zhì)心加速度 0?ca時(shí)，質(zhì)心系不是慣性系而為非慣性系）。 imcr?ir??ir?zˊ X Y Z xˊ yˊ O c 圖 MLr ???? ???? 、 ? 表示質(zhì)心系中相應(yīng)的量，則 zyxc ???? 如圖 ， o xyz為固定坐標(biāo)系（慣性系）， 為原點(diǎn)取在質(zhì)心 C 上隨質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于 o–xyz平動(dòng)的質(zhì)心系 , ????? ??iinii mrL ????1)(1einii FrM??? ???? ?? ???? ???? ?????????????? ni eiiiini iiini iiini i FrdtdmrmdtrdmrdtddtdL 1 )(111 )(39。 ???????? ??? 即 MdtLd ??? ?? （ ） 上式表明：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量變化率等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)質(zhì)心的力矩 的和。 ——對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理，與慣性系中的角動(dòng)量形式相同。 能量定理 （ 1）質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 221 iiii imTT ??? ?? （ ） 對(duì)上式兩邊微分得 ? ??? ?????? i i iiiiiii iiiii rdFrddtdmdmmddT ???????? )21( 2 即 ii iiii ei rdFrdFdT ???? ???? ?? )()( （ ） 上式表示： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增加等于外力和內(nèi)力所做的元功之和 ——質(zhì)點(diǎn)系動(dòng) 能定理。 （ 2）寇尼希（ K246。nig）定理 如圖 ，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能 TmrdtdmmmmrmdtdmmmmmTscccsii iiiiiiiiccsiiciciiciiciiiiiiii??????????????????????????? ???????)(21)21)(21)2(21)()(212121222222?????????????????? 0???? ??iiiiic mrmr?? 因質(zhì)心系的原點(diǎn)在質(zhì)心 C上，故式中 ，所以 TmT cs ??? 221 ? （ ） 221iiimT ? ??? ? （ ） 式中 為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)能。（ ）式表示：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì) 量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，加在各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能 ——寇尼 希定理。 （ 3）質(zhì)心系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分為 ??????????????? ????iiiieicieiiiciiieiiiiiiiiiiiiiirdFFrdFrdrdFFrdFrddtdmdmmddT?????????????).(.)) . ((...21)()()()()(2 ????根據(jù)寇尼希定理 : )(...)21( )(2 TdrdFTdrddtdmTddmTmddT cieiccsccscs ???????????? ? ????????? ? ????? i i iiiei rdFrdFTd ???? )()( () (4) 機(jī)械能守恒定律 上式為質(zhì)心系中的動(dòng)能定理 ,與慣性系中的動(dòng)能定理的形式一樣 . 因此得 如果力 F? 是坐標(biāo)的單值、有限、可微的函數(shù)，且 ??????????????????????????????0000xFyyFFxFzzFzFyyFxxz?即 （ ） 則存在某一單值標(biāo)量函數(shù) V（ x， y， z），且 )()()(.00 0000 rVrVdVdzzVdyyVdxxVrdFWrrrrx y zzy