【正文】 （10）以初速度開始運(yùn)動(dòng)，接著與發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊相對木板靜止，到達(dá)所在處這一整個(gè)過程中，先是相對運(yùn)動(dòng)的路程為，接著是相對運(yùn)動(dòng)的路程為，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變，類似于上面第1問解答中（5）式的說法．等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （11）解（10）、（11）兩式得 （12）即物塊的初速度時(shí)，與碰撞，但與剛好不發(fā)生碰撞，若，就能使與發(fā)生碰撞，故與碰撞后，物塊與擋板發(fā)生碰撞的條件是 （13）3. 若物塊的初速度滿足條件（13）式，則在、發(fā)生碰撞后，將與擋板發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，、三者的速度分別為、和，則有 （14）與碰撞后的瞬間，、三者的速度分別為、和，則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有 （15）由（14）、（15）式可知與剛碰撞后，物塊與的速度相等，都小于木板的速度，即 （16）在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，木板以較大的加速度向右做減速運(yùn)動(dòng)，而物塊和以相同的較小的加速度向右做加速運(yùn)動(dòng)，加速度的大小分別為 （17）加速過程將持續(xù)到或者和與的速度相同，三者以相同速度向右做勻速運(yùn)動(dòng)，或者木塊從木板上掉了下來。因此物塊與在木板上不可能再發(fā)生碰撞。4. 若恰好沒從木板上掉下來，即到達(dá)的左端時(shí)的速度變?yōu)榕c相同，這時(shí)三者的速度皆相同，以表示，由動(dòng)量守恒有 （18）從以初速度在木板的左端開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過與相碰，直到剛沒從木板的左端掉下來，這一整個(gè)過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是相對的路程為；接著相對運(yùn)動(dòng)的路程也是；與碰后直到剛沒從木板上掉下來，與相對運(yùn)動(dòng)的路程也皆為．整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和，即 （19）由（18）、（19）兩式，得 （20）即當(dāng)物塊的初速度時(shí)，剛好不會從木板上掉下．若，則將從木板上掉下，故從上掉下的條件是 （21）5. 若物塊的初速度滿足條件（21）式，則將從木板上掉下來，設(shè)剛要從木板上掉下來時(shí)，、三者的速度分別為、和，則有 （22）這時(shí)（18）式應(yīng)改寫為 （23）（19）式應(yīng)改寫為 （24）當(dāng)物塊從木板上掉下來后，若物塊剛好不會從木板上掉下，即當(dāng)?shù)淖蠖粟s上時(shí)，與的速度相等．設(shè)此速度為，則對、這一系統(tǒng)來說，由動(dòng)量守恒定律，有 （25）在此過程中，對這一系統(tǒng)來說，滑動(dòng)摩擦力做功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理可得 （26）由（23）、（24）、（25）、（26）式可得 （27）即當(dāng)時(shí)，物塊剛好不能從木板上掉下。若，則將從木板上掉下，故物塊從木板上掉下來的條件是 （28）四、第18屆預(yù)賽題. （25分）如圖預(yù)18－5所示，一質(zhì)量為、長為帶薄擋板的木板，靜止在水平的地面上，設(shè)木板與地面間的靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)相等，皆為．質(zhì)量為的人從木板的一端由靜止開始相對于地面勻加速地向前走向另一端，到達(dá)另一端時(shí)便驟然抓住擋板而停在木板上．已知人與木板間的靜摩擦系數(shù)足夠大，人在木板上不滑動(dòng)．問：在什么條件下，最后可使木板向前方移動(dòng)的距離達(dá)到最大？其值等于多少？參考解答在人從木板的一端向另一端運(yùn)動(dòng)的過程中，先討論木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)的情形，以表示人開始運(yùn)動(dòng)到剛抵達(dá)另一端尚未停下這段過程中所用的時(shí)間，設(shè)以表示木板向后移動(dòng)的距離，如圖預(yù)解185所示．以表示人與木板間的靜摩擦力，以表示地面作用于木板的摩擦力，以和分別表示人和木板的加速度，則 （1） （2） （3） （4）解以上四式，得 （5）對人和木板組成的系統(tǒng)，人在木板另一端驟然停下后，兩者的總動(dòng)量等于從開始到此時(shí)地面的摩擦力的沖量，忽略人驟然停下那段極短的時(shí)間，則有 （6）為人在木板另一端剛停下時(shí)兩者一起運(yùn)動(dòng)的速度．設(shè)人在木板另一端停下后兩者一起向前移動(dòng)的距離為，地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，則有 （7）木板向前移動(dòng)的凈距離為 （8）由以上各式得 由此式可知，欲使木板向前移動(dòng)的距離為最大，應(yīng)有 （9）即 （10）即木板向前移動(dòng)的距離為最大的條件是：人作用于木板的靜摩擦力等于地面作用于木板的滑動(dòng)摩擦力．移動(dòng)的最大距離 （11） 由上可見，在設(shè)木板發(fā)生向后運(yùn)動(dòng)，即的情況下，時(shí)，有極大值，也就是說，在時(shí)間0～內(nèi)，木板剛剛不動(dòng)的條件下有極大值．再來討論木板不動(dòng)即的情況，那時(shí)，因?yàn)?，所以人積累的動(dòng)能和碰后的總動(dòng)能都將變小，從而前進(jìn)的距離也變小，即小于上述的。評分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分（1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；說明時(shí)木板向前移動(dòng)的距離小于時(shí)的給1分。五、第18屆預(yù)賽題. （1 8分）在用鈾 235作燃料的核反應(yīng)堆中，鈾 （慢中子）后，可發(fā)生裂變反應(yīng)，放出能量和2～3個(gè)快中子，而快中子不利于鈾235的裂變．為了能使裂變反應(yīng)繼續(xù)下去，需要將反應(yīng)中放出的快中子減速。有一種減速的方法是使用石墨（碳12）作減速劑．設(shè)中子與碳原子的碰撞是對心彈性碰撞，問一個(gè)動(dòng)能為的快中子需要與靜止的碳原子碰撞多少次，？參考解答設(shè)中子和碳核的質(zhì)量分別為和，碰撞前中子的速度為，碰撞后中子和碳核的速度分別為和，因?yàn)榕鲎彩菑椥耘鲎?，所以在碰撞前后，?dòng)量和機(jī)械能均守恒，又因、和沿同一直線，故有 （1） （2）解上兩式得 （3）因代入（3）式得 （4）負(fù)號表示的方向與方向相反，即與碳核碰撞后中子被反彈．因此，經(jīng)過一次碰撞后中子的能量為 于是 （5）經(jīng)過2，3，…，次碰撞后，中子的能量依次為，，…，有 …… （6）因此