學年高中數學人教b版必修5第三章32均值不等式一-文庫吧
2024-12-29 21:04 本頁面
【正文】 ∴ a ＋ b ≥ 2 ab . 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。 （一） 研一研 問題探究、課堂更高效 探究 下面是均值不等式 ab ≤a ＋ b2的一種幾何 解釋，請你補充完整． 如圖所示， AB 為 ⊙ O 的直徑， AC ＝ a ， CB ＝ b ，過點 C 作 CD ⊥ AB 交 ⊙ O 上半圓于點 D ，連接 AD ， BD ， OD . 由射影定理可知， CD ＝ ______ ,而 OD ＝ ______ ,因為 OD ____ CD , 所以a ＋ b2____ ab ，當且僅當 C 與 O ______ ，即 ______ 時，等號 成立． ab a ＋ b2 ≥ ≥ 重合 a ＝ b 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。 （一） 研一研 問題探究、課堂更高效 探究點二 均值不等式的拓展 問題 當 a 0 ， b 0 時，21a＋1b≤ ab ≤a ＋ b2≤a2＋ b22這是一條重要的均值不等式鏈，請你給出證明． 證明 由于 ab ≤a ＋ b2成立， 只須證明 ab ≥21a＋1b和a2＋ b22≥a ＋ b2成立即可． 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。 （一） 研一研 問題探究、課堂更高效 ∵ ab －21a＋1b＝ ab －2 aba ＋ b＝? a ＋ b ? ab － 2 aba ＋ b ＝ab ? a ＋ b － 2 ab ?a ＋ b＝ab ? a － b ?2a ＋ b≥ 0 ， ∴ ab ≥21a＋1b，即21a＋1b≤ ab . ∵????????a2＋ b222－????????a ＋ b22＝a2＋ b22－? a ＋ b ?24 ＝2 ? a2＋ b2? － ? a ＋ b ?24＝a2＋ b2－ 2 ab4＝? a － b ?24≥ 0. 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。 （一） 研一研 問題探究、課堂更高效 ∴a2＋ b22≥a ＋ b2，即a ＋ b2≤a2＋ b22. ∴21a＋1b≤ ab ≤a ＋ b2≤a2＋ b22. 本課時欄目開關 填一填 研一研 練一練 167。 （一） 研一研 問題探究、課堂更高效 典型例題 例 1 已知正數 0 a 1,0 b 1 ，且 a ≠ b ，則 a ＋ b ， 2 ab ， 2 ab ，a2＋ b2，其中最大的一個是 ( ) A ． a2＋ b2 B ． 2 ab C ． 2 ab D ． a ＋ b 解析 因為 a 、 b ∈ ( 0 ,1 ) ， a ≠ b ， 所以 a ＋ b 2 ab ， a 2 ＋ b 2 2 ab ， 所以，最大的只能是 a 2 ＋ b 2 與 a
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