第一章函數(shù)、極限與連續(xù)習(xí)題課-文庫吧
2024-09-27 13:00 本頁面
【正文】 關(guān)系 無窮大 ??)(lim xf定義 如果對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ), 總存在正數(shù) N , 使得對于 Nn ? 時的一切nx , 不等式 ??? axn都成立 , 那末就稱常數(shù) a 是數(shù)列nx的極限 , 或者稱數(shù)列nx 收斂于 a , 記為 ,lim axnn???或 ).( ??? naxn.,0,0 ?? ??????? axNnN n恒有時使極限的定義 定義 N??定義 2 如果對于任意給定的正數(shù) ? ( 不論它多么小 ),總存在正數(shù) ? , 使得對于適合不等式 ????00 xx 的一切 x , 對應(yīng)的函數(shù)值 )( xf 都滿足不等式 ??? Axf )( ,那末常數(shù) A 就叫函數(shù) )( xf 當(dāng) 0xx ? 時的極限 , 記作)()()(lim00xxAxfAxfxx????當(dāng)或定義 ???.)(,0,0,0 0?????????????Axfxx恒有時使當(dāng)左極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時使當(dāng)右極限 .)(,0,0 00?????????????Axfxxx恒有時使當(dāng).)0()(lim 0)(000AxfAxfxxxx???????或記作.)0()(lim 0)(000AxfAxfxxxx???????或記作.)0()0()(lim: 000AxfxfAxfxx ???????定理無窮小 : 極限為零的變量稱為 無窮小 . ).0)(lim(0)(lim0?? ??? xfxf xxx 或記作絕對值無限增大的變量稱為 無窮大 . 無窮大 : ).)(lim()(lim0???? ??? xfxf xxx 或記作在同一過程中 ,無窮大的倒數(shù)為無窮小 。恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大 . 無窮小與無窮大的關(guān)系 無窮小與無窮大 定理 1 在同一過程中 ,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小 . 定理 2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 1 在同一過程中 ,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論 3 有限個無窮小的乘積也是無窮小 . 無窮小的運算性質(zhì) 定理 .0,)()(lim)3(。)]()(l i m [)2(。)]()(l i m [)1(,)(lim,)(lim??????????BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中則設(shè)推論 1 ).(lim)](l i m [,)(limxfcxcfcxf?則為常數(shù)而存在如果.)]([ l i m)](l i m [,)(limnn xfxfnxf?則是正整數(shù)而存在如果推論 2 極限的性質(zhì) 求極限的常用方法 。 。 。 。 . 準(zhǔn)則 Ⅰ′ 如果當(dāng) ),(00rxUx ? ( 或 Mx ? ) 時 , 有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx??????????那末 )(li m)(0xfxxx???存在 , 且等于 A .判定極限存在的準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 Ⅱ 單調(diào)有界數(shù)列必有極限 .(夾逼準(zhǔn)則 ) (1) 1s i nl i m0?? xxx(2) ex xx????)11(l i mex xx???10)1(lim。1s i nl i m ?? ?某過程.)1(lim1e?? ??某過程兩個重要極限 )。(,0lim)1(????????o記作高階的無窮小是比就說如果定義 : .0, ???? 且窮小是同一過程中的兩個無設(shè)。),0(lim)2( 是同階的無窮小與就說如果 ?????? CC。~。,1lim???????記作是等價的無窮小與則稱如果特殊地?zé)o窮小的比較 定理 (等價無窮小替換定理 ) .limlim,lim~,~ ? ?? ????? ?? ?? ??? ?? 則存在且設(shè).),0,0(lim)3(無窮小階的是是就說如果 kkCCk ???????定理 若 )(lim xf 存在 , 則極限唯一 .等價無窮小的性質(zhì) 極限的唯一性 左右連續(xù) 在區(qū)間 [a,b] 上連續(xù) 連續(xù)函數(shù) 的 性 質(zhì) 初等函數(shù) 的連續(xù)性 間斷點定義 連 續(xù) 定 義 0lim 0 ???? yx )()(l i m 00 xfxfxx ??連續(xù)的 充要條件 連續(xù)函數(shù)的 運算性質(zhì) 非初等函數(shù) 的連續(xù)性 振蕩間斷點 無窮間斷點 跳躍間斷點 可去間斷點 第一類 第二類
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