【正文】 1整除 ,因此 A=9；當(dāng) B=5 時 ,同樣可求出 A=4。所以 ,所求的五位數(shù)是 96910或 46915。 （二）解答題 8. 173□是個四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說 ：“我在這個□中先后填入 3個數(shù)字 , 所得到的 3 個四位數(shù) ,依次可被 1 6 整除。”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的 3 個數(shù)字的和是多少？ 答案：∵能被 9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被 9整除， 1+7+3+□ =11+□ ∴□內(nèi)只能填 7。 ∵能被 11 整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被 11 整除。 ∴ (7+□ )(1+3)=3+□ 能被 11整除 , ∴□內(nèi)只能填 8。 ∵能被 6整除的自然數(shù)是偶數(shù) ,并且數(shù)字和能被 3 整除 , 而 1+7+3+□ =11+□ , ∴ □內(nèi)只能填 4。 所以 ,所填三個數(shù)字之和是 7+8+4=19。 9．在 1992 后面補(bǔ)上三個數(shù)字，組成一個七位數(shù)，使它們分別能被 11整除，這個七位數(shù)最小值是多少？ 解析：設(shè)補(bǔ)上的三個數(shù)字組成三位數(shù) abc ,由這個七位數(shù)能被 2,5 整除 ,說明 c=0； 由這個七位數(shù)能被 3 整除知 1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被 11整除，從而 a+b 能被 3整除；由這個七位數(shù)又能被 11 整除，可知 (1+9+a+c)(9+2+b)=ab1 能被 11 整除；由所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小 ,因而取 a+b=3,ab=1,從而 a=2,b=1。 所以這個最小七位數(shù)是 1992210。 [注 ]小朋友通常的解法是 :根據(jù)這個七位數(shù)分別能被 2,3,5,11 整除的條件 ,這個七位數(shù)必定是 2,3,5,11 的公倍數(shù) ,而 2,3,5,11 的最小公倍數(shù)是 2? 3? 5? 11=330。這樣 ,1992022? 330=6036? 120，因此符合題意的七位數(shù)應(yīng)是 (6036+1)倍的數(shù) ,即 1992022+(330120)=1992210。 10．在“改革”村的黑市上 ,人們只要有心 ,總是可以把兩張任意的食品票換成 3 張其他票券 ,也可以反過來交換。試問 ,合作社成員瓦夏能否將 100 張黃油票換成 100腸票 ,并且在整個交換過程中剛好出手了 1991張票券？ 答案：不可能。 由于瓦夏原有 100張票 ,最后還有 100張票 ,所以他作了多少次“兩換三” ,那么也就作了多少次“三換兩” ,因此他一共出手了 2k+3k=5k 張票 ,而 1991 不是 5的倍數(shù)。 三 質(zhì)數(shù)與合數(shù) （一）填空題 1. 在一 位的自然數(shù)中，既是奇數(shù)又是合數(shù)的有 _____；既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的有_____；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有 _____。 答案： 9， 1， 2。 解析：在一位自然數(shù)中 ,奇數(shù)有 :1,3,5,7,9,其中僅有 9 為合數(shù) ,故第一個空填 9。 在一位自然數(shù)中 ,質(zhì)數(shù)有 7，合數(shù)有 9，所以既不是合數(shù)又不是質(zhì)數(shù)的為 1。 在一位自然數(shù)中 ,偶數(shù)有 8，所以既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)為 2。 2. 最小的質(zhì)數(shù)與最接近 100的質(zhì)數(shù)的乘積是 _____。 答案： 202。 解析：最小的質(zhì)數(shù)是 2,最接近 100 的質(zhì)數(shù)是 101,它 們的乘積是 2?101=202。 3．兩個自然數(shù)的和與差的積是 41，那么這兩個自然數(shù)的積是 _____。 答案： 420。 解析：首先注意到 41 是質(zhì)數(shù) ,兩個自然數(shù)的和與差的積是 41,可見它們的差是 1,這是兩個連續(xù)的自然數(shù) ,大數(shù)是 21,小數(shù)是 20,所以這兩個自然數(shù)的積是 20?21=420。 4. 在下式□中分別填入三個質(zhì)數(shù) ,使等式成立。 □ +□ +□ =50 答案： 43。 解析：接近 50 的質(zhì)數(shù)有 43,再將 7分拆成質(zhì)數(shù) 2與質(zhì)數(shù) 5的和 .即 2+5+43=50。 另外 ,還有 2+19+29=50， 2+11+37=50。 [注 ]填法不是唯一的，如也可以寫成 41+2+7=50。 5. 三個連續(xù)自然數(shù)的積是 1716,這三個自然數(shù)是 _____、 _____、 _____。 答案： 11,12,13。 解析：將 1716 分解質(zhì)因數(shù)得： 1716=2?2?3?11?13 =11?(2?2?3)?13 由此可以看出這三個數(shù)是 11,12,13。 6. 找出 1992 所有的不同質(zhì)因數(shù) ,它們的和是 _____。 答案： 88。 解析：先把 1992 分解質(zhì)因數(shù) ,然后把不同質(zhì)數(shù)相加 ,求出它們的和。 1992=2?2?2?3?83 所以 1992 所有不同的質(zhì)因數(shù)有 :2,3,83。它們的和是 2+3+83=88。 7. 如果自然數(shù)有四個不同的質(zhì)因數(shù) , 那么這樣的自然數(shù)中最小的是 _____。 答案： 210。 解析：最小的四個質(zhì)數(shù)是 2,3,5,7,所以有四個不同質(zhì)因數(shù)的最小自然數(shù)是 2?3?5?7=210。 (二）解答題 8． 2， 3， 5， 7， 11，?都是質(zhì)數(shù)，也就是說每個數(shù)只以 1 和它本身為約數(shù)。已知一個長方形的長和寬都是質(zhì)數(shù)個單位 ,并且周長是 36 個單位。問這個長方形的面積至多是多少個平方單位 ? 答案：由于長 +寬是 36? 2=18， 將 18表示為兩個質(zhì)數(shù)和 18=5+13=7+11， 所以長方形的面積是 5?13=65 或 7?11=77， 故長方形的面積至多是 77 平方單位。 9. 把 1 2 2 30 分成兩組，每三個數(shù)相乘，使兩組數(shù)的乘積相等。 答案：先把 7， 14,20,21,28,30分解質(zhì)因數(shù) ,看這六個數(shù)中共有哪幾個質(zhì)因數(shù) ,再分?jǐn)傇趦山M中 ,使兩組數(shù)乘積相等。 14=7?2 20=2?2?5 21=3?7 28=2?2?7 30=2?3?5 7 從上面五個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)來看 ,連 7 在內(nèi)共有質(zhì)因數(shù)四個 7,六個 2,二個 3,二個 5,因此每組數(shù)中一定要含三個 2,一個 3,一個 5,二個 7。 六個數(shù)可分成如下兩組 (分法是唯一的 ): 第一組 : 2和 30 第二組： 1 21和 20 且 7?28?30=14?21?20=5880 滿足要求。 [注 ]解答此題的關(guān)鍵是審題 ,抓住題目中的關(guān)鍵性詞語：“使兩組數(shù)的乘積相等”。實(shí)質(zhì)上是要求兩組里所含質(zhì)因數(shù)相同 ,相同的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)也相同。 10. 學(xué)生 1430人參加團(tuán)體操 ,分成人數(shù)相等的若干隊(duì) ,每隊(duì)人數(shù)在 100至 200之間 ,問哪幾種分法 ? 答案：把 1430 分解質(zhì)因數(shù)得 ： 1430=2?5?11?13 根據(jù)題目的要求 ,應(yīng)在 11及 13中選用若干個數(shù)，使它們的乘積在 100 到 200之間，于是得三種答案： （ 1） 2?5?11=110； （ 2） 2?5?13=130； （ 3） 11?13=143. 所以 ,有三種分法 :一種是分為 13 隊(duì) ,每隊(duì) 110人；二是分為 11 隊(duì)，每隊(duì) 130 人；三是分為 10 隊(duì)，每隊(duì) 143 人。 四 約數(shù)與倍數(shù) 1． 28的所有約數(shù)之和是 _____。 答案： 56。 解析： 28的約數(shù)有 1,2,4,7,14,28,它們的和為 1+2+4+7+14+28=56。 2. 用 105 個大小相同的正方形拼成一個長方形 ,有 _____種不同的拼法。 答案： 4。 解析：因?yàn)?105 的約數(shù)有 1,3,5,7,15,21,35,105 能拼成的長方形的長與寬分別是 105和 1,35 和 3,21 與 5,15 與 7。所以能拼成 4 種不同的長方形。 3. 一個兩位數(shù) ,十位數(shù)字減個位數(shù)字的差是 28 的約數(shù) ,十位數(shù)字與個位數(shù)字的積是 24.這個兩位數(shù)是 _____。 答案： 64。 解析：因?yàn)?28=2?2?7,所以 28 的約數(shù)有 6個 :1,2,4,7,14,28。在數(shù)字 0,1,2,?， 9 中，只有 6 與 4 之積，或者 8 與 3 之積是 24，又 64=2， 83=5。故符合題目要求的兩位數(shù)僅 有 64。 4. 李老師帶領(lǐng)一班學(xué)生去種樹 ,學(xué)生恰好被平均分成四個小組 ,總共種樹 667棵 ,如果師生每人種的棵數(shù)一樣多 ,那么這個班共有學(xué)生 _____人。 答案： 28。 解析：因?yàn)?667=23?29,所以這班師生每人種的棵數(shù)只能是 667 的約數(shù) :1,23,29,然 ,每人種 667 棵是不可能的。 當(dāng)每人種 29棵樹時 ,全班人數(shù)應(yīng)是 231=22,但 22 不能被 4整除 ,不可能。 當(dāng)每人種 23棵樹時 ,全班人數(shù)應(yīng)是 291=28,且 28 恰好是 4的倍數(shù) ,符合題目要求。 當(dāng)每人種 1 棵樹時 ,全班人數(shù)應(yīng)是 6671=666,但 666不能