【正文】 1 1 ,11nnnn i nina a aa a aD a a a aa a a????? ? ??????? 將第一行乘（ ?1）后加到其余各行，得 231110 1 0 01 1 .0 0 1 00 0 0 1nnnn i iiia a aD a a????? ? ? ??????? 10. 計算 n 階行列式（其中 0, 1, 2, ,ia i n?? ） . 1 1 1 11 2 32 2 2 21 1 2 2 3 32 2 2 21 1 2 2 3 31 1 1 11 2 3n n n nnn n n nnnnn n n nnnn n n nna a a aa b a b a b a bDa b a b a b a bb b b b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??. 【解】行列式的各列提取因子 1 ( 1, 2, , )nja j n? ? ,然后應(yīng)用范德蒙行列式 . 3121 2 322223121121 2 311113121 2 311211 1 1 1()( ) .nnnnnnnnnnnnnjinnj i n ijbbbba a a abbbbD a a aa a a abbbba a a abba a aaa??????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ????? 11. 已知 4 階行列式 41 2 3 43 3 4 41 5 6 71 1 2 2D ? 。 試求 41 42AA? 與 43 44AA? ，其中 4jA 為行列式 4D 的第 4 行第 j 個元素的代數(shù)余子式 . 【解】 4 1 4 241 422 3 4 1 3 4( 1 ) ( 1 ) 3 9 1 2 .3 4 4 3 4 45 6 7 1 6 7AA ??? ? ? ? ? ? ? ? 同理 43 44 1 5 6 9 .AA? ? ? ? ? ? 12. 用克萊姆法則解方程組 . (1) 1 2 31 2 3 41 2 3 42 3 4 5 ,2 1 , 2 2 , 2 3 3.x x xx x x xx x x xx x x? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? (2) 121 2 32 3 43 4 5455 6 1 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 6 0 , 5 1.xxx x xx x xx x xxx???? ? ? ???? ? ??? ? ? ?????? 【解】方程組的系數(shù)行列式為 1 1 1 0 1 1 1 0 1 3 1 1 3 12 1 1 1 0 1 3 1 18 0 。1 2 1 0 5 21 2 1 1 0 1 2 1 1 2 3 0 1 40 1 2 3 0 1 2 3D? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?????? 12345 1 1 0 1 5 1 01 1 1 1 2 1 1 118 。 36 。2 2 1 1 1 2 1 13 1 2 3 0 3 2 31 1 5 0 1 1 1 52 1 1 1 2 1 1 136 。 18.1 2 2 1 1 2 1 20 1 3 3 0 1 2 3DDDD??? ? ? ??? ? ? ? ?? 故原方程組有惟一解，為 31 2 41 2 3 41 , 2 , 2 , 1 .DD D Dx x x xD D D D? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 51 2 3 4 52) 66 5 , 15 07 , 11 45 , 70 3 , 39 5 , 21 2.15 07 22 9 37 79 21 2, , , , .66 5 13 3 35 13 3 66 5D D D D D Dx x x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 13. λ和 μ為何值時，齊次方程組 1 2 31 2 31 2 30,0,20x x xx x xx x x???? ? ???? ? ???? ? ?? 有非零解 ? 【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式 110,111 2 1???? 即 (1 ) 0.???? 故 0?? 或 1?? 時，方程組有非零解 . 14. 問：齊次線性方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 40,2 0 ,3 0 ,0x x x a xx x x xx x x xx x a x b x? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 有非零解時， a,b 必須滿足什么 條件？ 【解】該齊次線性方程組有非零解， a,b 需滿足 1 1 11 2 1 1 0,1 1 3 111aab?? 即 (a+1)2=4b. 15. 求三次多項式 230 1 2 3()f x a a x a x a x? ? ? ?，使得 ( 1 ) 0 , (1 ) 4 , ( 2) 3 , ( 3 ) f f f? ? ? ? ? 【解】根據(jù)題意，得 0 1 2 30 1 2 30 1 2 30 1 2 3( 1 ) 0 。(1 ) 4 。( 2 ) 2 4 8 3 。( 3 ) 3 9 2 7 1 6 .f a a a af a a a af a a a af a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 這是關(guān)于四個未知數(shù) 0 1 2 3, , ,a a a a 的一個線性方程組，由于 0 1 2 34 8 , 3 3 6 , 0 , 2 4 0 , 9 6 .D D D D D? ? ? ? ? ? 故得 0 1 2 37, 0 , 5 , 2a a a a? ? ? ? ? 于是所求的多項式為 23( ) 7 5 2f x x x? ? ? 16. 求出使一平面上三個點 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y位于同一直線上的充分必要條件 . 【解】設(shè)平面上的直線方程為 ax+by+c=0 (a,b 不同時為 0) 按題設(shè)有 1122330,0,0,ax by cax by cax by c? ? ???? ? ???? ? ?? 則以 a,b,c 為未知數(shù)的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為 1122331101xyxyxy? 上式即為三點 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )x y x y x y位于同一直線上的充分必要條件 . 習(xí)題 二 1. 計算下列矩陣的乘積 . （ 1） ? ?11 3 2 1 023??????? ???????= ； （ 2） 5 0 0 10 3 1 20 2 1 3? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?； （ 3） ? ?321 2 3 410????????????； （ 4） ? ? 11 12 13 11 2 3 21 22 23 231 32 33 3a a a xx x x a a a xa a a x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； （ 5） 11 12 1321 22 2331 32 331 0 00 1 10 0 1a a aa a aa a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； （ 6） 1 2 1 0 1 0 3 10 1 0 1 0 1 2 10 0 2 1 0 0 2 30 0 0 3 0 0 0 3? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?. 【解】 (1) 3 2 1 03 2 1 0 。6 4 2 09 6 3 0????????????? (2) 531????????????。 (3) (10)。 (4) 332 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 11( ) ( ) ( ) i j i jija x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (5) 11 12 12 1321 22 22 2331 32 32 33a a a aa a a aa a a a?????????。 (6) 1 2 5 20 1 2 40 0 4 30 0 0 9???????????. 2. 設(shè) 1 1 11111 1 1?????????A ，1 2 11 3 12 1 4??????????B ， 求 (1) 2?AB A 。(2) ?AB BA ； (3) 22( ) ( )? ? ?A + B A B A B嗎 ? 【解】 (1) 2422。4 0 00 2 4??????????A B A (2) 4 4 0。5 3 13 1 1?????? ??????A B B A (3) 由于 AB≠ BA,故 (A+B)(A?B)≠ A2?B2. 3. 舉例說明下列命題是錯誤的 . (1) 若 2?AO， 則 ?AO； (2) 若 2?AA， 則 ?AO或 ?AE； (3) 若 AX= AY ， ?AO， 則 X=Y . 【解】 (1) 以三階矩陣為例，取 20 0 1 ,000000??????????0AA,但 A≠ 0 (2) 令 1 1 00000 0 1??????????A ,則 A2=A,但 A≠ 0 且 A≠ E (3) 令 1 1 0 2 1, = ,0 1 1 1 21 0 1 1 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?A Y X0 則 AX=AY,但 X≠ Y. 4. 設(shè) 101A?????? ?????, 求 A2， A3，…， Ak. 【解】 231 2 1 3 1, , , .0 1 0 1 0 1k k? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A 5. 100100???????????A= ， 求 23A,A 并證明： 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= . 【解】2 3 22 2 3 3 2232 1 3 30 2 , 0 3 .0 0 0 0? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?A = A = 今歸納假設(shè) 121( 1 )2000k k kkkkkkkkk? ? ??????????????A= 那么 11211111( 1 )1020100000( 1 )( 1 )2,0 ( 1 )00kkk k kkkkk k kkkkkkkkkk