【正文】 四邊形 CDFE的面積為定值。 證明如下： ∵ 在動弦 CD 滑動的過程中，都有 CE⊥CD ， DF⊥CD 。 ∴CE∥DF 。 ∴ 四邊形 CDFE一定是直角梯形，并由（ 1）知 OG是它的中位線。 ∴S 梯形 CDFE＝ 12（ CE＋ DF） 178。CD ＝ OG178。CD 。 ∵ 弦 CD的長為定值， OG 是 CD 上的弦心距， ∴OG 的長也是定值。 ∴ 四邊形 CDFE的面積是定值。 ∵OG ＝ 2215 9( ) ( ) 622??， CD＝ 9， ∴S 梯形 CDFE＝ 6179。9 ＝ 54（ cm2）。 ∴ 四邊形 CDFE的面積是定值，為 54㎝ 2。 2. （ 2022年海南省 9 分） 已知二次函數(shù) y＝ x2－（ 2m＋ 1） x＋ m2－ 1． （ 1）如果該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，請求出 m的值及此是圖像與 x軸的另一交點的坐標； （ 2）如果該函 數(shù)的圖像的頂點在第四象限，請求出 m的取值范圍； 17 （ 3）若把（ 1）中求得的函數(shù)的圖像沿其對稱軸上下平行移動，使頂點移到直線 1yx2?上，請求出此時函數(shù)的解析式． 【答案】解：（ 1） ∵ 函數(shù) y的圖像過原點， ∴m 2－ 1＝ 0，解得 m＝ 1或 m＝－ 1。 當 m＝ 1時，此函數(shù)的解析式為 y＝ x2－ 3x，令 y＝ 0，得 x＝ 0或 x＝ 3。 ∴ 該函數(shù)圖像與 x軸的另一交點的坐標（ 3， 0）。 當 m＝－ 1時，此函數(shù)的解析式為 y＝ x2＋ x，令 y＝ 0，得 x＝ 0或 x＝－ 1。 ∴ 該函數(shù)圖像與 x軸的另一交點的坐標（－ 1， 0）。 （ 2）函數(shù) y＝ x2－（ 2m＋ 1） x＋ m2－ 1的頂點坐標是（ 2m 1 4m 5,24? ? ?）。 ∵ 它在第四像限， ∴2 m 1 10m122 m4 m 5 5 20m44???? ? ???? ? ? ?????? ? ?????。 【考點】二次函數(shù)的的圖象和性質(zhì)， 平面直角坐標系中各象限點的特征，解一元一次不等式組和一元二次方程， 平移的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）當函數(shù)圖 象過原點時， m2－ 1=0，即可求出 m的值，從而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式即可得出二次函數(shù)與 x軸的另一交點的坐標。 18 （ 2）求出二次函數(shù)的頂點坐標，然后根據(jù) 平面直角坐標系中各象限點的特征， 讓縱坐標大于 0，縱坐標小于 0即可求出 m的取值范圍。 （ 3）可將（ 1）中得出的拋物線頂點橫坐標代入直線的解析式中求出縱坐標，即可得出所求拋物線的頂點坐標，從而根據(jù)寫出頂點式解析式。 3. （ 2022年海南省 9分） 已知：如圖， AB是 ⊙O 的直徑， BE是 ⊙O 的切線，切點為 B．點C為射線 BE 上一動點（點 C與 B不重合）， 且弦 AD平行于 OC． （ 1）求證： CD是 ⊙O 的切線； （ 2）設(shè) ⊙O 的半徑為 r．試問：當動點 C在射線 BE 上運動到什么位置時，有 AD= 2 r？請回答并證明你的結(jié)論． 19 【考點】切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，動點問題，勾股定理。 【分析】 （ 1）要證明 CD是 ⊙O 的切線只要證明 OD⊥DC 即可。 （ 2）要 AD= 2 r，由勾股定理只要 △ADO 是等腰直角三角形即可，即只要∠AOD=90176。 。由 BE、 CD是 ⊙O 的切線只要四邊形 OBCD是正方形，即 BC=r。 4. （ 2022年海南省 9 分） 已知二次函數(shù) 21y x x m2? ? ? 的圖象經(jīng)過點 A（－ 3， 6），并與 x軸交于 B、 C兩點（點 B在 C的左邊）， P為它的頂點． （ 1）試確定 m的值； （ 2）設(shè)點 D為線段 OC 上的一點，且滿足 ∠ DPC=∠BAC ，求直線 AD的解析式． 20 過點 P作 PF⊥x 軸于 F，同理得到 ∠PCD=45176。=∠ACB 。 又 ∵∠DPC=∠BAC ， ∴△DPC∽△BAC 。 ∴ DC PFBC AE? 。 設(shè)點 D的坐標是（ a， 0），則 DC=3－ a。 又 BC=4， PF=2， AE=6， ∴ 3 a 246? ? ，解得 a=53 。 ∴ 點 D的坐標是（ 53 ， 0）。 設(shè)直線 AD的解析式為 y=kx+b， 把點 A， D的坐標代入得： 6 3k b50 k b3?? ???? ????，解得9k?715b7? ?????? ???。 ∴ 直線 AD的解析式是 9 15yx77?? ? 。 21 5. （ 2022年海南省 11 分） 如圖，在 △ABC 中， ∠ACB=90176。 ， BC的垂直平分線交 BC于 D，交 AB于點 E， F在 DE 上，并且 AF=CE． （ 1）求證：四邊形 ACEF是平行四邊形； （ 2）當 ∠B 的大小滿足什么條件時，四邊形 ACEF是菱形？請證明你的結(jié)論； （ 3）四邊形 ACEF有可能是矩形嗎？為什么？ 【答案】解：（ 1）證明： ∵ED 是 BC的垂直平分線， ∴EB=EC 。 ∴∠3=∠4 。 ∵∠ACB=90176。 ， ∴∠2 與 ∠4 互余， ∠1 與 ∠3 互余。 ∴∠1=∠2 。 ∴AE=CE 。 又 ∵AF=CE ， ∴△ACE 和 △EFA 都是等腰三角形。 ∴AF=AE 。 ∴∠F=∠5 。 ∵FD⊥BC ， AC⊥BC ， ∴AC∥FE 。 ∴∠1=∠5 。 ∴∠1=∠2=∠F=∠5 ?！唷螦EC=∠EAF 。 ∴AF∥CE 。 ∴ 四邊形 ACEF是平行四邊形。 （ 2）當 ∠B=30176。 時，四邊形 ACEF是菱形。證明如下： ∵∠B=30176。 ， ∠ACB=90176。 ， ∴∠1=∠2=60176。 。 ∴∠AEC=60176。 。 ∴AC=EC 。 ∴ 平行四邊形 ACEF是菱形。 （ 3）四邊形 ACEF不可能是矩形。理由如下： 由（ 1）可知， ∠2 與 ∠3 互余， ∠3≠0176。 ， ∴∠2≠90176。 。 ∴ 四邊形 ACEF不可能是矩形。 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形、菱形和矩形的判定，等腰（邊）三角形的判 22 定和 性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系。 6. （ 2022年海南省 11分） 已知拋物線 2y ax bx c? ? ? 開口向下，并且經(jīng)過 A（ 0， 1）和 M（ 2，－ 3）兩點． （ 1）若拋物線的對稱軸為直線 x=－ 1，求此拋物線的解析式； （ 2）如果拋物線的對稱軸在 y軸的左側(cè)，試求 a 的取值范圍； （ 3）如果拋物線與 x 軸交于 B、 C兩點，且 ∠BAC=90176。 ，求此時 a的值． （ 2） ∵ 拋物線的對稱軸在 y軸的左側(cè)， ∴ (2 2a) 02a ??? ，即 1a0a ? 。 ∵ 拋物線開口向下， ∴a ＜ 0。 ∴1+a ＞ 0，且 a＜ 0。 ∴ － 1＜ a＜ 0。 （ 3）設(shè) B（ x1， 0）， C（ x2， 0）， x1＜ x2， ∵121xxa?，且 a＜ 0， ∴x 1x2＜ 0，即 B在 x軸負半軸， C在 x軸正半軸。 23 ∴OB= － x1， OC=x2。 ∵∠BAC=90176。 ， ∴ 在 Rt△BAC 中， AO⊥BC ，根據(jù)射影定理可得： OA2=OB?OC=－ x1?x2=1，即1 1a??。 ∴a= － 1。 7. （ 2022年 海南 海口課標 5分＋ 6分） （本題有 3小題，第（ 1）小題為必答題，滿分 5分；第（ 2）、（ 3）小題為選答題，其中第（ 2）小題滿分 3分，第（ 3）小題滿分 6分，請從中任選 1小題作答，如兩題都答，以第（ 2）小題評分 .） 在 △ABC 中， ∠ACB = 90 ， AC=BC，直線 MN經(jīng)過點 C，且 AD⊥MN 于 D， BE⊥MN 于 E. （ 1）當直線 MN繞點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 1的位置時，求證： ①△ADC≌△CEB ； ②DE=AD+BE ； （ 2）當直線 MN繞點 C 旋轉(zhuǎn)到圖 2的位置時，求證： DE = ADBE； （ 3）當直線 MN 繞點 C旋轉(zhuǎn)到圖 3的 位置時，試問 DE、 AD、 BE 具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明 . 【答案】解：（ 1）證明： ①∵∠ADC=∠ACB=90176。 ， ∴∠CAD+∠ACD=90176。 ， ∠BCE+∠ACD=90176。 。 ∴∠CAD=∠BCE 又 ∵AC=BC ， ∠ADC=∠CEB=90176。 ， 24 ∴△ADC≌△CEB （ AAS）。 ②∵△AD C≌△CEB ， ∴CE=AD ， CD=BE。 ∴DE=CE+CD=AD+BE 。 （ 2）證明： ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90176。 ， ∴∠ACD=∠CBE 。 又 ∵AC=BC ， ∴△ACD≌△CBE （ AAS）。 ∴CE=AD ， CD=BE。 ∴DE=CE － CD=AD－ BE。 8. （ 2022 年 海南 ?？谡n標 9 分＋ 5 分） （本題有 2 小題，第（ 1）小題為必答題，滿分為 5分，第（ 2）小題 ① 也為必答題，滿分 4分，第（ 2）小題 ② 為選答題，滿 5分，多答加分） 已知拋物線 y= x2+（ 2n1） x+n21（ n為常數(shù)） . （ 1）當該拋物線經(jīng)過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）設(shè) A是（ 1）所確定的拋物線上位于 x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點，過 A作 x軸的平行線，交拋物線于另一點 D，再作 AB⊥x 軸于 B， DC⊥x 軸于 C. ① 當 BC =1時，求矩形 ABCD的周長； ② 試問矩形 ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時 A點的坐標；如果不存在，請說明理由 . 【答案】解：（ 1）由該拋物線經(jīng)過坐標原點得 2n 1 0?? ，解得 n1=1, n2=－ 1 。 當 n=1時，得 y=x2＋ x, 此拋物線的頂點不在第四象限； 當 n= － 1 時 ，得 y=x2 － 3x, 此 拋物 線的 頂點 在 第四 象限 。 25 ∴ 所求的函數(shù)關(guān)系為 2y x 3x?? 。 （ 2）由 y=x2－ 3x，令 y=0, 得 x2－ 3x=0，解得 x1=0， x2=3。 【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 26 9. （ 2022年海南省大綱卷 14分） 如圖所示，正方形 ABCD的邊長為 1， G為 CD 邊上的一個動點（點 G 與 C、 D 不重合），以 CG 為一邊向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF，連接 DE 交 BG的延長線于 H． （ 1）求證： ①△BCG≌△DCE ； ②BH⊥DE ． （ 2）試問當點 G運動到什么位置時， BH垂直平分 DE？請說明理由． 【答案】解：（ 1）證明： ① ∵ 四邊形 ABCD和四邊形 GCEF均為正方形 , ∴BC=DC ， CG=CE， ∠BCG=∠DCE=90186。 。 ∴ΔBCG≌ΔDCE （ SAS）。 ②∵ΔBCG≌ΔDCE, ∴∠GBC=∠EDC 。 又 ∵∠EDC+∠CED=90186。,∴∠GBC+∠CED =90186。 ∴∠BHE=90186。 。 ∴ BH⊥DE 。 （ 2）當點 G 運動到 CG= 2 1 時， BH 垂直平分 D。 理由如下： ∵ 要使 BH垂直平分 DE，若連結(jié) BD，則必有 BD=BE。 ∵BC=CD=1 ， ∴ BD=BE= 2 。 ∴ CE=BE – BC= 2 1 。 ∴CG=CE= 2 1 因此，當 CG= 2 1時， BH垂直平分 DE。 27 10. （ 2022 年海南省大綱卷 14 分） 如圖所示，在平面直角坐標系中，過坐標原點 O 的圓 M分別交 x軸、 y軸于點 A（ 6， 0）、 B（ 0，﹣ 8）． （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）若有一條拋物線的對稱軸平行于 y軸且經(jīng)過 M點，頂點 C在圓 M上，開口向下，且經(jīng)過點 B，求此拋物線的解析式； （ 3）設(shè)（ 2）中的拋物線與 x軸交于 D（ x1， y1）、 E（ x2， y2）兩點，且 x1＜ x2，在拋物線上是否存在點 P，使 △PDE 的面積是 △ABC 面積的 15？若存在，求出 P 點的坐標，若不存在，請說明理由． 【答案】解：（ 1）設(shè)直線 AB的解析式為 y=kx+b，