【正文】 若 A1（ x1， y1）， A2（ x2， y2）， A3（ x3， y3）為雙曲線上的三點，且 x1＜ x2＜ 0＜x3，請直接寫出 y1， y2， y3 的大小關(guān)系式； （ 3）觀察圖象，請直接寫出不等式 k1x＋ b＞ 2kx的解集． 9 【解析】 （ 1）先將 A（ 1， 2）代入 y＝ 2kx求得 k2，再將 B（ m，－ 1）代入求得 m 值，接著運用待定系數(shù)法求得直線解析式．（ 2）（ 3）兩問可借助圖象直接觀察求解． 【 答案】 解：（ 1） ∵ 雙曲線 y＝ 2kx經(jīng)過點 A（ 1， 2）， ∴ k2＝ 2． ∴ 雙曲線的解析式為： y＝ 2x． ∵ 點 B(m，－ 1)在雙曲線 y＝ 2x上， ∴ m＝－ 2，則 B（－ 2，－ 1）． 由點 A（ 1， 2）， B（－ 2，－ 1）在直線 y＝ k1x＋ b 上，得 112,2 ????? ? ??? 解得 1 1,????? ∴ 直線的解析式為 ： y＝ x＋ 1． （ 2） y2＜ y1＜ y3． （ 3） x＞ 1 或－ 2＜ x＜ 0． 【點評】 一般情況下，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點已知時，要先確定反比例函數(shù)解析式，因為反比例函數(shù)解析式中只有一個待定系數(shù)，而一次函數(shù)有兩個待定系數(shù)．象第（ 2）題這樣的問題，往往從圖象上直接觀察容易得解，不要通過死記反比例函數(shù)的增減性解答．而象第（ 3）題這樣的問題，需注意理解位于上方的函數(shù)圖像的函數(shù)值較大 .整題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想． （ 2022 浙江省衢州， 16， 4 分）如圖，已知函數(shù) y＝ 2x 和函數(shù) y＝ kx的圖象交于 A、 B 兩點，過點 A 作 AE⊥ x 軸于點 E，若 △ AOE 的面積為 4， P 是坐標平面上的點，且以點 B、 O、E、 P 為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的 P 點坐標是 . 圖 9 10 【解析】根據(jù)反 比例函數(shù)中比例系數(shù) k 的幾何意義，得出等量關(guān)系 12|k|=4，求出 k 的值為 8，然后結(jié)合函數(shù) y＝ 2x 和函數(shù) y＝ 8x可 求出點 A(2， 4)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得 P點坐標 ． 【答案】 P1(0， － 4)， P2(－ 4， － 4)， P3(4， 4)(對一個得 2 分，對二個得 3 分，對三個得 4 分 .) 【點評】反比例函數(shù) y=kx中 k 的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引 x 軸、 y 軸垂線，所得矩形面積為 |k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解 k 的幾何意義． （ 2022 浙江麗水 8 分， 21 題） （本題 8 分）如圖，等邊 △ OAB 和等邊 △ AFE 的一邊都在 x 軸上，雙曲線 y=xk （ k0）經(jīng)過邊 OB 的中點 C 和 AE 的中點 D，已知等邊 △ OAB的邊長為 4. （ 1）求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式； （ 2）求等邊 △ AEF 的邊長 . 【解析】：（ 1）過點 C 作 CG⊥ OA 于點 G，根據(jù)等 邊三角形結(jié)合直角三角形中 30176。角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求出點 C 的坐標，進而利用待定系數(shù)求出反比例函數(shù)解析式；（ 2）過點 D 作 DH⊥ AF 于點 H，設(shè) AH=a，用 a 的代數(shù)式表示點 D 的坐標，代入反比例函數(shù)關(guān)系中，得到關(guān)于 a 的一元二次方程，解之即可求出 a 的值，進而可求出等邊 △ AEF的邊長 . 解：（ 1）過點 C 作 CG⊥ OA 于點 G， 11 ∵ 點 C 是等邊 △ OAB 的邊 OB 的中點， ∴ OC=2， ∠ AOB=60176。. ∴ OC=2， CG= 3 ， ∴ 點 C 的坐標是（ 1， 3 ），由 3 =1k ，得 k= 3 . ∴ 該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為 y= x3 . （ 2）過點 D 作 DH⊥ AF 于點 H，設(shè) AH=a，則 DH= 3 a. ∴ 點 D 的坐標為（ 4+a， 3 a） . ∵ 點 D 是雙曲線 y= x3 上 的點，由 xy= 3 ， 得 3 a（ 4+a） = 3 ，即 a2+4a－ 1=0. 解得 a1= 5 － 2， a2=－ 5 － 2（舍去）， ∴ AD=2AH=2 5 － 4， ∴ 等邊 △ AEF 的邊長是（ 4 5 － 8） . 【點評】：本題將等邊三角形放 置于直角坐標系中，與反比例函數(shù)有機結(jié)合，即考查了等邊三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)解析式的確定、直角三角形的性質(zhì)，又考查了一元二次方程，是一道較好的中考題 .難度中等 . （湖南株洲市 3,8） 如圖，直線 ( 0)x t t??與反比例函數(shù) 21,yyxx???的圖象分別交于 B、C 兩點， A 為 y 軸上的任意一點，則 ?ABC 的面積為 A． 3 B． 32t C． 32 D．不能確定 12 【解析】 因為直線 ( 0)x t t??與反比例函數(shù) 21,yyxx???的圖象分別交于 B（ t, 2t ）、C(t, 1t? ),所以 BC=3t ，所以 1 3 322ABCStt? ? ? ?。 【答案】 C 【點評】 在平面直角坐標系中，求一個三角形的面積，就是借助坐標軸或平行于坐標軸直線上的某一條線段作為三角形的底邊的長，第三個點橫坐標或縱坐標為三角形的高 . （ 2022 山東省濰坊市，題號 14，分值 3） 1點 P 在反比例函數(shù) )0( ?? kxky 的圖像上，點 Q（ 2,4）與點 P 關(guān)于 y 軸對稱，則反比例函數(shù)的解析式為 考點：反比例函數(shù)的關(guān)系式的計算 和關(guān)于 y 軸對稱的點的坐標特點。 解答：因為 點 Q（ 2,4）與點 P 關(guān)于 y 軸對稱， 所以點 P 坐標為 ? ?42，? . 因為點 P 在反比例函數(shù) )0( ?? kxky 的圖像上，所以 24 ??k 所以 8??k 所以 xy 8?? 點評：計算反比例函數(shù) )0( ?? kxky 的函數(shù)解析式，僅需要一個點的坐標。本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件 ―點 Q（ 2,4）與點 P 關(guān)于 y 軸對稱 ‖計算出點 P 的坐標，從而求解。 ( 2022 年浙江省寧波市 ,21,6)如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于 A(－ 4,－ 2)和B(a,4) (1)求反比例函數(shù)的解析式和點 B 的坐標； （ 2）根據(jù)圖象回答，當在什么范圍時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？ 【解析】 (1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式是 y=kx ,點 A(－ 4,－ 2)在此反比例函數(shù)圖象上， － 2= k4 ，∴ k=8, 反比例函數(shù)的解析式為 y=8x ，又點 B（ a,4）在此反比例函 13 數(shù)圖象上， ∴ 4=8a ,a=2, 點 B 的坐標 (2,4).(2)觀察圖象知 x＞ 2 或 － 4＜ x＜ 0 時， 一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值。 【答案】 （ 1） B(2,4) (2)x＞ 2 或 － 4＜ x＜ 0 【點評】 （ 2022 浙江省衢州， 12， 4 分）試寫出圖象位于第二、四象限的一個反比例函數(shù)的解析式 . 【解析】圖象位于第二、四象限的反比例函數(shù)的比例系數(shù) k＜ 0. 【答案】 答案不唯一 ， 如 y＝ － 1x 【點評】主要考查 了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)：反比例函數(shù) kyx?的圖象是雙曲線，當 k＞ 0時，它的兩個分支分別位于第一、三象限；當 k＜ 0 時，它的兩個分支分別位于第二、四象限． （ 2022 湖南益陽， 13， 4 分） 反比例函數(shù) ky=x的圖象與一次函數(shù) 21y= x+ 的圖象的一個交點是 (1， k )，則反比例函數(shù)的解析式是 ． 【解析】由 交點是 (1， k )代入 21y= x+ 可得， 2 1 1= 3k = +? ，所以 3y=x 【答案】 xy 3? 【點評】此題考查考生交點即是兩條線上的點，把點的坐標代入已知函數(shù)，等式成立，從而求出 k 值的解題思路 (2022 湖北隨州， 10， 4 分 ) 如圖，直線 l 與反比例函數(shù) 2y x? 的圖象在第一象限內(nèi)交于 A、B 兩點，交 x 軸的正半軸于 C 點，若 AB:BC=(m－ 1):1（ m1），則 △ OAB 的面積（用 m 表示）為（ ） A． 2 12mm? B． 2 1mm? C． 23( 1)mm? D． 23( 1)2mm? 14 解析：過點 A、 B 分別作 AM⊥ x 軸于點 M， AN⊥ x 軸于點 ⊿ CBN∽⊿ CAM， ∴ B N B C B CA M A C A B B C m?? ? ??.設(shè) BN=h，則 AM= A、 B 在 反比例函數(shù) 2y x? 的圖象上， ∴ ON h?? ， OM mh?? .∴ S⊿ OAB= S 四邊形 OABN－ S⊿ OAM= S 四邊形 OABN－ S⊿ OBN= S 梯形AMNB= 22 2 1= ( + ) = mA M + B N B N h m h h m h m????（ ） （ ）. 答案： B 點評：本題是反比例函數(shù)與幾何圖形面積的 綜合應(yīng)用 .需運用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，幾何圖形間的位置關(guān)系，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積來解決 .難度較大 . (2022 山東省聊城， 17， 3 分）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點 O,且正方形的一組對邊與 x軸平行 . 點 P(3a,a)是反比例函數(shù) )0( ?? Kxky 的圖象與正方形的一個交點 .若圖中陰影部分的面積為 9，則這個反比例函數(shù)的解析式為 .. 解析：如圖，根據(jù)正方形是以點 O 為中心對稱圖形， 將第三象限部分繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 180186。,恰好與第 一 象限重合 .所以正方形的面積為 94=36，所以正 方形邊長為 6. 正方形又是軸對稱圖形， P(3a,a)是 15 反比例函數(shù) )0( ?? Kxky的圖象的點，所以正方形 邊長為 3a2=6a，于是 a= k=31= 例函數(shù)解析式為 xy 3? . 答案： xy 3? 點評 :本題借助正方形、反比例函數(shù)均為中心對稱圖象特點，化零為整的思想，把復(fù)雜問題巧妙地解決，是一道較新穎創(chuàng)新題 . （ 2022 貴州貴陽， 22， 10 分 ）已知一次函數(shù) y=32 x+2 的圖象分別與坐標軸相交于 A,B 兩點（如圖所示），與反比例函數(shù) y=xk （ k0）的圖象相交于 C 點 . （ 1）寫出 A,B 兩點的坐標；（ 4 分） （ 2）作 CD⊥ x 軸，垂足為 D，如果 OB 是 △ ACD 的中位線，求反比例函數(shù) y=xk （ k0）的關(guān)系式 . 解析： （ 1）令 y=0,得 32 x+2，解得 x=－ 3，所以 A 點坐標為（ － 3， 0） ； 令 x=0,得 y=2，所以 B 點坐標為（ 0， 2）；（ 2）抓住 ―OB 是 △ ACD 的中位線 ‖的條件，運用三角形的中位線的性質(zhì)求出 OD,CD 的長，進而求出 C 點坐標，求出反比例函數(shù) y=xk （ k0）的關(guān)系式 . 解：（ 1） A（ － 3， 0） ； B（ 0， 2）； （ 2）由（ 1）得， OA=3,OB=2. ∵ OB 是 △ ACD 的中位線， ∴ OD=OA=3,CD=2OB=6. ∴ C 點坐標為（ 2,6） . ∴ k=xy=26=12,即反比例函數(shù)是 y= x12 . 點評：反比例函數(shù)是初中階段的三個重要函數(shù)之一，它與一次函數(shù)的聯(lián)合是中考的常見D O C B A y x 第 22題圖 16 題型，這類問題常?？疾榇ㄏ禂?shù)法、數(shù)形結(jié)合思想，解題時應(yīng)該先由點的坐標求出相關(guān)線段的長，再充分運用幾何的相關(guān)知識進行推理運算，得到其他線段的長，并由此求出關(guān)鍵點的坐標，進而得函數(shù)關(guān)系式 . （ 2022 浙江省湖州市， 19， 6 分）如圖，已知反比例函數(shù)xk?y（ k≠0）的圖象過點 A（ － 2,8）。 （ 1）求這個反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若（ 2， y1） ,(4,y2)是這個反比例函數(shù)圖象上的兩個點，請比較 y1,y2 的大小，并說明理由。 【解析】（ 1）由函數(shù)圖象的，函數(shù)經(jīng)過點（ － 2,8），應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)反比例函數(shù)解析式xk?y，將點 A（ － 2,8）代入解析式xk?y，可直接求； （ 2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)： k＜ 0 時， y 隨 x 的增大而增大， k＞ 0 時， y 隨 x 的增大而減小，來做出判斷。 【答案】（ 1）將點 A（ － 2,8）代入xk?y，求得 k=－ 16，即x16y?； （ 2） ∵ k=－ 16＜ 0, 且 2＜ 4，即 y 隨 x 的增大而增大， ∴ y1＜ y2. 【點評】 本題考查的是反比例函數(shù)解析式的確定方法及比例系數(shù) k 的幾何意義， 反比例系數(shù) k 的幾何意義： ① k＜ 0 時， y 隨 x 的增大而增大， ② k＞ 0 時， y 隨 x 的增大而減小。 是基礎(chǔ)題。 （ 2