高考數學理總復習北師大版第2章-文庫吧
2025-12-10 13:43 本頁面
【正文】 式組 )完成 ． (1) 求函數 y ＝ln ? x ＋ 1 ?－ x2－ 3 x ＋ 4的定義域； (2) 已知函數 f ( x ) 的定義域是 [0, 4] ，求函數 f ( x2)的定義域． 例 1 【思路點撥】 如果函數由解析式給出，則其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍． (2)中要注意前后兩個 x是不一樣的， x2與已知 f(x)中 x的含義相同． 【解】 (1) 要使函數有意義，需 ??? x ＋ 1 ＞ 0－ x2－ 3 x ＋ 4 ＞ 0???? x ＞－ 1－ 4 ＜ x ＜ 1， ∴ － 1 ＜ x ＜ 1. ∴ 函數 y 的定義域為 { x |－ 1 x 1} ． (2) ∵ f ( x ) 的定義域為 [ 0, 4] ， ∴ 0 ≤ x2≤ 4 ， ∴ － 2 ≤ x ≤ 2. ∴ f ( x2) 的定義域為 [ － 2 , 2] ． 【 規(guī)律小結 】 (1)求函數的定義域 ， 其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則 ， 列出不等式或不等式組 ， 然后求出它們的解集 ， 其準則一般是： ① 分式中 ， 分母不為零； ② 偶次方根中 ， 被開方數非負； ③ 對于 y＝ x0， 要求 x≠ 0； ④ 對數式中 ， 真數大于 0， 底數大于 0且不等于 1； ⑤ 由實際問題確定的函數，其定義域要受實際問題的約束． (2)已知 f(x)的定義域 ， 求 f[φ(x)]的定義域的解法是：若 f(x)的定義域為 D， 則 f[φ(x)]的定義域是使φ(x)∈ D有意義的 x的集合；已知 f[φ(x)]的定義域 ，求 f(x)的定義域的解法是：若 f[φ(x)]的定義域為 D， 則 φ(x)在 D上的取值范圍 (φ(x)的值域 )即為 f(x)的定義域 ． 互動探究 1 本例 (2)中 ， 若已知 f(x2)的定義域是[0,4]， 則 f(x)的定義域為 ________． 解析： ∵ f(x2)的定義域為 [0,4]， ∴ 0≤x≤4， ∴ 0≤x2≤16， ∴ f(x)的定義域為 [0,16]． 答案： [0,16] 求已知函數的值域 求函數值域的總原則：由定義域 、 對應法則 f在等價條件下 ， 巧妙地轉化為與 y有關的不等式 ． 求值域問題技巧性強 ， 要根據題目特點 ， 確定合理的方法 ， 因與函數的最值密切相關 ， ?？赊D化為求函數的最值問題 ． 求下列函數的值域，并指出函數有無最值． (1) y ＝3 xx2＋ 4； (2) y ＝ x － 1 － 2 x ； (3) y ＝ x ＋1x＋1( x ≠ 0) ． 例 2 【 思路點撥 】 (1)(3)可用判別式法或基本不等式法； (2)可用換元法或單調性法 ． 【解】 (1) 法一： ( 判別式法 ) ∵ x ∈ R ， y ＝3 xx2＋ 4， 整理得 yx2－ 3 x ＋ 4 y ＝ 0. 當 y ＝ 0 時， x ＝ 0 ， 當 y ≠ 0 時，由 Δ ≥ 0 ? －34≤ y ≤34，且y ≠ 0 ， 綜上，函數的值域為 [ －34，34] ． ∴ 函數有最小值－34，最大值34. 法二： ( 基本不等式法 ) ∵ x ＝ 0 時， y ＝ 0 ， ∴ 當 x ≠ 0 時， | y |＝3| x || x |2＋ 4＝3
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