高考數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)北師大版第2章-文庫吧
2024-12-24 13:43 本頁面
【正文】 式組 )完成 ． (1) 求函數(shù) y ＝ln ? x ＋ 1 ?－ x2－ 3 x ＋ 4的定義域； (2) 已知函數(shù) f ( x ) 的定義域是 [0, 4] ，求函數(shù) f ( x2)的定義域． 例 1 【思路點(diǎn)撥】 如果函數(shù)由解析式給出，則其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍． (2)中要注意前后兩個(gè) x是不一樣的， x2與已知 f(x)中 x的含義相同． 【解】 (1) 要使函數(shù)有意義，需 ??? x ＋ 1 ＞ 0－ x2－ 3 x ＋ 4 ＞ 0???? x ＞－ 1－ 4 ＜ x ＜ 1， ∴ － 1 ＜ x ＜ 1. ∴ 函數(shù) y 的定義域?yàn)?{ x |－ 1 x 1} ． (2) ∵ f ( x ) 的定義域?yàn)?[ 0, 4] ， ∴ 0 ≤ x2≤ 4 ， ∴ － 2 ≤ x ≤ 2. ∴ f ( x2) 的定義域?yàn)?[ － 2 , 2] ． 【 規(guī)律小結(jié) 】 (1)求函數(shù)的定義域 ， 其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則 ， 列出不等式或不等式組 ， 然后求出它們的解集 ， 其準(zhǔn)則一般是： ① 分式中 ， 分母不為零； ② 偶次方根中 ， 被開方數(shù)非負(fù)； ③ 對(duì)于 y＝ x0， 要求 x≠ 0； ④ 對(duì)數(shù)式中 ， 真數(shù)大于 0， 底數(shù)大于 0且不等于 1； ⑤ 由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實(shí)際問題的約束． (2)已知 f(x)的定義域 ， 求 f[φ(x)]的定義域的解法是：若 f(x)的定義域?yàn)?D， 則 f[φ(x)]的定義域是使φ(x)∈ D有意義的 x的集合；已知 f[φ(x)]的定義域 ，求 f(x)的定義域的解法是：若 f[φ(x)]的定義域?yàn)?D， 則 φ(x)在 D上的取值范圍 (φ(x)的值域 )即為 f(x)的定義域 ． 互動(dòng)探究 1 本例 (2)中 ， 若已知 f(x2)的定義域是[0,4]， 則 f(x)的定義域?yàn)?________． 解析： ∵ f(x2)的定義域?yàn)?[0,4]， ∴ 0≤x≤4， ∴ 0≤x2≤16， ∴ f(x)的定義域?yàn)?[0,16]． 答案： [0,16] 求已知函數(shù)的值域 求函數(shù)值域的總原則：由定義域 、 對(duì)應(yīng)法則 f在等價(jià)條件下 ， 巧妙地轉(zhuǎn)化為與 y有關(guān)的不等式 ． 求值域問題技巧性強(qiáng) ， 要根據(jù)題目特點(diǎn) ， 確定合理的方法 ， 因與函數(shù)的最值密切相關(guān) ， ?？赊D(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題 ． 求下列函數(shù)的值域，并指出函數(shù)有無最值． (1) y ＝3 xx2＋ 4； (2) y ＝ x － 1 － 2 x ； (3) y ＝ x ＋1x＋1( x ≠ 0) ． 例 2 【 思路點(diǎn)撥 】 (1)(3)可用判別式法或基本不等式法； (2)可用換元法或單調(diào)性法 ． 【解】 (1) 法一： ( 判別式法 ) ∵ x ∈ R ， y ＝3 xx2＋ 4， 整理得 yx2－ 3 x ＋ 4 y ＝ 0. 當(dāng) y ＝ 0 時(shí)， x ＝ 0 ， 當(dāng) y ≠ 0 時(shí)，由 Δ ≥ 0 ? －34≤ y ≤34，且y ≠ 0 ， 綜上，函數(shù)的值域?yàn)?[ －34，34] ． ∴ 函數(shù)有最小值－34，最大值34. 法二： ( 基本不等式法 ) ∵ x ＝ 0 時(shí)， y ＝ 0 ， ∴ 當(dāng) x ≠ 0 時(shí)， | y |＝3| x || x |2＋ 4＝3
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