【正文】 非牛頓流體 具有不同的流變方程 ， 即使是同一種流體 ， 在 不同溫度 、 壓強(qiáng)條件 下 ， 其 流變關(guān)系 也不相同 。 由于 非牛頓流體結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性 ， 很難獲得具有普遍適用性的通用流變模式 ， 因此通常采用 實(shí)驗(yàn)手段 來(lái)獲得某一種類非牛頓流體的流變關(guān)系 。 不同的研究者提出了不同的流變方程 ， 這些方程都有其 特定的適用條件 。 下面介紹幾種常用的流變方程 ， 它們只適用于 與時(shí)間無(wú)關(guān) 的 純粘性非牛頓流體 。 非牛頓流體的分類及其流變方程 (1) 賓漢 (Bingham)方程 根據(jù)塑性流體的流變曲線 ， 可以寫(xiě)出如下關(guān)系式 : yup dd0 ??? ??式中： 為極限動(dòng)切應(yīng)力 ， 稱為結(jié)構(gòu)粘度 (或稱塑性粘度 )。上式稱為賓漢方程 ， 符合賓漢方程的流體稱為賓漢流體 ，塑性流體也稱為賓漢流體 。 0? p?(3) 賓漢流體的 表觀粘度 為： pyuyu ???? ???dddd0 由此可以看出 ， 賓漢流體的表觀粘度是隨流速梯度而變化的 。 (4) 非牛頓流體的分類及其流變方程 (2) 冪律方程 這是工程上應(yīng)用最為廣泛的一種流變模式 ， 它適用于假塑性流體和膨脹性流體 。 其形式為 : nyuK?????????dd?式中： K為稠度系數(shù) ， 取決于流體的性質(zhì) ， 其國(guó)際單位為Pasn； n為流性指數(shù) ， 無(wú)量綱 ， 其值的大小表征了該流體偏離牛頓流體的程度 。 對(duì)假塑性流體： n＜ 1； 對(duì)于膨脹性流體： n＞ 1； 對(duì)于牛頓流體： n＝ 1。 (5) 滿足冪律方程的流體也稱為冪律流體。 非牛頓流體的分類及其流變方程 冪律流體的表觀粘度為： 1dddd???????????nyuKyu?? (6) 具有屈服應(yīng)力的冪律方程適用于屈服假塑性流體和屈服膨脹性流體 ， 其流變方程為 nyuK??????????dd0??(7) 這是具有普遍適用性的流變模式 ， 它也適用于塑性流體 ，此時(shí) K＝ ， n＝ 1。 若 ＝ 0， K＝ μ， n＝ 1， 則上式變?yōu)槊枋雠ｎD流體的本構(gòu)方程 。 p? 0? 非牛頓流體的分類及其流變方程 (3) 卡森 (Casson)方程 這一方程由卡森于 1959年提出 ， 當(dāng)僅有低 、 中剪速下的資料可以利用時(shí) ， 卡森方程能較精確地反映出高剪速下的表觀粘度 。 卡森方程的形式為： 210210dddd 21212121???????????????????????? ???yuyu ????? (8) 式中： 為表觀粘度； 為極限高剪切速率下的粘度 ， 稱卡森粘度； 為動(dòng)剪切應(yīng)力 ， 稱為卡森屈服應(yīng)力 。 ? ??0? 非牛頓流體的分類及其流變方程 符合卡森方程的非牛頓流體稱為卡森流體 ， 卡森流體的流變曲線可以在平方根坐標(biāo)系上表示 ， 如下圖所示：它 是以 為橫坐標(biāo) 、 為縱坐標(biāo)繪出的一條直線 。 該直線的斜率為 (稱卡森 C值 )， 截距為 。 21dd ?????????yu 21?210??C 21?? 非牛頓流體的分類及其流變方程 圖 7 卡森流體的流變曲線 21??21?21dd ?????????yu 非牛頓流體的分類及其流變方程 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 類似于牛頓流體的流動(dòng)特征 ， 非牛頓流體的流動(dòng)也可以按照 質(zhì)量守恒 、 受力平衡 和 能量守恒規(guī)律 ， 引入不同的本構(gòu)關(guān)系 ， 推導(dǎo)出相應(yīng)的 連續(xù)性方程 、 運(yùn)動(dòng)方程 和 能量方程 。 非牛頓流體也具有 層流和湍流 兩種流動(dòng)狀態(tài) 。 塑性流體管流受力分析 以塑性流體在圓管中的流動(dòng)為例 ， 當(dāng)作用在流體上的外力小于或等于極限靜切應(yīng)力時(shí) ， 流體處于靜平衡狀態(tài)；當(dāng)作用在流體上的外力超過(guò)極限靜切應(yīng)力時(shí) ， 流體開(kāi)始流動(dòng) ， 即處于動(dòng)平衡狀態(tài) 。 靜平衡狀態(tài) 一般指流體在 壓力 、 重力和阻力 作用下的平衡 。 如圖 8所示傾斜管路中的塑性流體 ， 當(dāng)管路傾角大到一定程度時(shí) ， 作用在流體上的 壓力 、 重力和極限靜切應(yīng)力 造成的阻力達(dá)到 極限平衡狀態(tài) ， 傾角再增大流體就會(huì)流動(dòng) 。 圖 8 靜平衡狀態(tài)受力分析 φ p1 p2 G θ L d φ 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 根據(jù)圖 8可建立如下力平衡關(guān)系 ? ? dLGdpp ???? ??? s i n4 221式中： p p2—— 液柱兩端的壓強(qiáng)； d —— 液柱直徑； L —— 液柱長(zhǎng)度； φ —— 管路傾角； θ —— 極限靜切應(yīng)力； G —— 液柱受到的重力， (ρ為流體密度 )。 LdgG 24??? 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 將上式整理，可得 ? ? ??? s i n4421 gdLdpp ??＝或 ? ?gLppgd ???? 214s i n ???若管路為水平放置，即 φ=0176。 ， sinφ=0， 則 ? ? ? ?LRppLdpp242121 ?????式中： R—— 管子半徑。 (10) (9) 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 L h 圖 9 用 U形管測(cè)定 極限靜切應(yīng)力 根據(jù)上述分析 ， 可利用圖 9所示的 U形管 ， 自其右端加入塑性流體 ， 來(lái)測(cè)定塑性流體的極限靜切應(yīng)力 。 在 U形管中的流體在極限狀態(tài)下具有如下力平衡關(guān)系 : dLhdg ???? ?24 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 式中： h —— U形管右端加入塑性流體的極限高度 。 L —— U形管內(nèi)液柱總長(zhǎng) (可忽略管子曲度 ， 按中心 線計(jì) )。 于是 Lg d h4?? ?或 gdLh??4?(11) 由此可以看出 ， 在連通器中的兩液面高差與塑性流體性質(zhì) 、 連通器形狀及尺寸均有關(guān) ， 這一現(xiàn)象與牛頓流體的特點(diǎn)完全不同 。 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 結(jié)構(gòu)流 當(dāng)作用在流體上的外力超過(guò)極限靜切應(yīng)力造成的阻力時(shí) ， 塑性流體便開(kāi)始流動(dòng) 。 為了簡(jiǎn)便起見(jiàn) ， 取水平管路中的流體分析 ， 其極限靜切應(yīng)力滿足式 (10)。 今將流體開(kāi)始流動(dòng)時(shí)外界所施加的壓差計(jì)為 ， 以極限動(dòng)切應(yīng)力 τ0代替極限靜切應(yīng)力 θ， 這樣便于采用賓漢方程處理問(wèn)題 。 于是有 LRp200???或 RLp 002 ???(12) (12a) 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 在極限狀態(tài)下 ， 半徑為 R處 (管壁 )的流體推動(dòng)力超過(guò)了由于極限動(dòng)切應(yīng)力所產(chǎn)生的阻力 ， 故僅在管壁處的塑性流體產(chǎn)生形變 (開(kāi)始流動(dòng) )， 而半徑小于 R處的流體仍然處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài) 。 若不增大壓差 ， 則半徑 R以內(nèi)的流體仍緊聚在一起 ， 此種流態(tài)稱為塞流 ， 如圖 10所示 。 塞流中各流層速度相同 ， 沒(méi)有流速梯度 。 當(dāng)水平管路兩端的壓差大于時(shí) ， 管壁附近的各流層依次開(kāi)始流動(dòng) ， 使得管路中心的流體以相同的速度 ， 象圓柱體一樣向前運(yùn)動(dòng) ， 這部分流體稱為 流核 ， 流核內(nèi)部的流層間 沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng) ， 具有流核的流體流動(dòng)稱為 結(jié)構(gòu)流 。 流核以外的部分各流層間速度不同 ， 具有流速梯度 ， 稱為 流速梯度區(qū) 。 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 隨著管路兩端壓差的增大 ， 流速梯度區(qū)逐漸擴(kuò)大 ， 而流核逐漸變小直至消失 ， 形成與牛頓流體類似的層流 。 如果壓差繼續(xù)增加 ， 則管路中的塑性流體將轉(zhuǎn)化為湍流流動(dòng)狀態(tài) 。 由塞流直到形成湍流前的整個(gè)區(qū)域都稱為結(jié)構(gòu)流 ， 如圖 11所示 。由此可見(jiàn) ， 塞流和層流是結(jié)構(gòu)流的兩個(gè)極端情況 。 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 圖 11 塑性流體流態(tài)轉(zhuǎn)化過(guò)程 0 τ0 τ θ 結(jié)構(gòu)流 湍流 層流 靜止 塞流 rudd?τ0 2 2 1 1 p1 p2 L 圖 10 塞流狀態(tài) 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 具有屈服應(yīng)力的非牛頓流體 ， 都可以分為結(jié)構(gòu)流和湍流兩種流動(dòng)狀態(tài) 。 對(duì)于不具屈服應(yīng)力的非牛頓流體 ， 其流態(tài)則仍劃分為層流和湍流兩種狀態(tài) 。 劃分結(jié)構(gòu)流和湍流或?qū)恿骱屯牧鞯臉?biāo)準(zhǔn) ，一般仍用雷諾數(shù) ， 但雷諾數(shù)的表達(dá)式與牛頓流體時(shí)有所不同 ， 這將在后面討論 。 類似于牛頓流體的層流 ， 對(duì)于非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流或?qū)恿?， 可以完全從理論分析得出流速分布 、 阻力分布 、 流量 、 平均流速以及沿程水頭損失等的表達(dá)式 。 而對(duì)于湍流則必須依靠實(shí)驗(yàn)進(jìn)行 。 非牛頓流體的結(jié)構(gòu)流 塑性流體的流動(dòng)規(guī)律 塑性流體在圓管中的定常流動(dòng)可以劃分為 結(jié)構(gòu)流 和 湍流 兩種流動(dòng)狀態(tài) 。 本節(jié)根據(jù)流體受力平衡的關(guān)系 ， 分析塑性流體結(jié)構(gòu)流的阻力 、 流速分布以及流量和壓降的關(guān)系 ， 進(jìn)而找出判別塑性流體流態(tài)的 雷諾數(shù) 和計(jì)算沿程水頭損失的表達(dá)式 。 在一定的壓差作用下 ，塑性流體沿水平圓管作定常結(jié)構(gòu)流 ， 如圖 12所示 。設(shè)管子半徑為 R， 流核半徑為 r0， 取流速梯度區(qū)任意半徑 r的一段液柱進(jìn)行受力分析 。 半徑 r處的流速為 u， 內(nèi)摩擦應(yīng)力為 τ， 液柱兩端的壓差為 Δp＝ p1p2， 其受力平衡關(guān)系為 塑性流體的流動(dòng)規(guī)律 結(jié)構(gòu)流狀態(tài)下圓管內(nèi)的流量和壓降 u u0 流核 流速梯度區(qū) r R r0 2 2 1 1 p1 p2 L 圖 12 圓管中的結(jié)構(gòu)流 rLrp ??? 22 ??即 Lpr2??? (13) 該式表明 ， 在流速梯度內(nèi) ， 單位面積上的摩擦阻力與半徑成線性關(guān)系 。 當(dāng) r＝ r0， 即在流核表面上 ， 可得到極限動(dòng)切應(yīng)力的表達(dá)式 Lpr200??? (14) 據(jù)此可確定流核半徑 pLr??002 ? (15) 塑性流體的流動(dòng)規(guī)律 由此可以看出 ， 流核半徑與所施加的壓差成反比 ， 即壓差愈大 ， 流核半徑愈小 ， 而壓差達(dá)到一定程度后 ， 流核必將消失 。 上述結(jié)果還表達(dá)出了極限動(dòng)切應(yīng)力 τ0與壓差的關(guān)系 。 將賓漢方程 rurupp dddd00 ????? ???????? ???中的 τ和 τ0分別代之以式 (13)和式 (14)， 則 ruLprLprp dd220 ?????或 rrrL pupd)(2d 0 ??? ? 塑性流體的流動(dòng)規(guī)律 積分上式 ， 從管壁到流速梯度區(qū)的任意點(diǎn)處 (R→ r)， 流速?gòu)?0變化到 u， 則 ? ? ? ???????? u rR RrpprrrrL prrrL puu0 000)(d)(2d)(2d ??即 ? ?2020 )()(4 rrrRLpup????? ?(16) 此乃賓漢流體作結(jié)構(gòu)流時(shí)流速梯度區(qū)的流速分布公式。 當(dāng) r＝ r0時(shí)，可得到流核流速，即 200 )(4 rRLpup??? ? 塑性流體的流動(dòng)規(guī)律 管路中的總液流量由兩部分組成 ， 即流核部分的流量Q0和流速梯度區(qū)中的流量 Q1， 總流量 Q＝ Q0+Q1 。 現(xiàn)分別計(jì)算如下： )2(4)(4 403020220202100 rRrrRL prRrL purQpp???????? ?????rruQ Rr d201 ???? ? ? rrrrrRLpp