【正文】 n oXx fxfD? （ AG P1 ） 顯然，當賦予距離 ]),([ ofxfD 以不同的意義時，問題（ A GP 1 ）就表示在相應(yīng)意義下的 )( xf 逼近于 of ，這時也就對應(yīng)了一個在該意義下求解（ A G P ）的方法。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 僅就最常用的距離表示形式 ????mioiiofxffxfD1)(]),([ 來設(shè)計一種求解（ A G P ）的方法。為此，引入幾個相應(yīng)的概念： 1 ） )( xf i 關(guān)于 oif 的絕對偏差變量 o iii fxf ??? )( ， mi ,1 ?? ； 2 ） )( xf i 關(guān)于 oif 的正偏差變量 ??????????oioiioiiifxffxffxfd)(,0)(,)( （ mi ,1 ?? ）； 3 ） )( xf i 關(guān)于 oif 的負偏差變量 ???????????oioiioiiifxffxffxfd)(,))(()(,0 （ mi ,1 ?? ）； 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 由上可直接得到上述偏差變量之間有以下關(guān)系： 1R ： mifxfdd o iiiii ,1,)( ??????? ?? ； 2R ： mifxfdd o iiii ,1,)( ????? ?? ； 3R ： midd ii ,1,0 ????? ； 4R ： midd ii ,1,0,0 ???? ?? 。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 由關(guān)系 1R 可知 ??????????miiimioiioddfxffxfD11)()(]),([ ，再注意到關(guān)系 2R ， 3R 和4R ，則在距離意義為 ????mioiiofxffxfD1)(]),([ 的條件下，可將模型（ A G P 1 ）等價地化為如下形式 middmiddmifddxfXxddfiiiioiiiimiii,1,0,0,1,0,1,)()(m in1?????????????????????????? （ A G P 2 ） 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 定理 5 1 若（Tx*，Td*?，Td*?）是問題 middmifddxfXxddfiioiiiimiii,1,0,0,1,)()(min1???????????????????? （ A G P 3 ） 的最優(yōu)解，則（Tx*，Td*?，Td*?）是（ A G P 2 ）的最優(yōu)解。 對目標函數(shù)來說，由于決策者偏愛程度的不同，導(dǎo)致對不同目標函數(shù)逼近于其目標值的要求程度也不同。若要在模型中將決策者的這一偏愛關(guān)系體現(xiàn)出來，有兩種方法可以利用，即 權(quán)系數(shù)法 和 優(yōu)先層次法 。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 1. 權(quán)系數(shù)法 即通過在模型（ A G P 3 ）的目標函數(shù)?????miii dd1)(中根據(jù))( xf i重要程度的不同，引入相應(yīng)的權(quán)系數(shù)),1()0(, miww ii ?????的方式來體現(xiàn)決策者的偏愛程度。帶有權(quán)系數(shù)的目標規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)模型如下： middmifddxfXxdwdwfiioiiiimiiiii,1,0,0,1,)()(m i n1?????????????????????? （ A G P4 ） 其中，?iw表示正偏差變量?id在問題（ A G P4 ）中的重要程度，當?iw越大時，表示對應(yīng)的目標函數(shù))( xf i從大于 oif而接近于 oif越重要；同樣地，?iw表示負偏差變量?id在問題（ A G P4 ）中的重要程度，當?iw越大時，表示對應(yīng)的目標函數(shù))( xf i從小于 oif而接近于 oif越重要。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 2. 優(yōu)先層次法 即根據(jù)決策者對各目標函數(shù))( xf i偏愛程度的不同，將其分別歸屬到若干個不同的優(yōu)先層次中進行求解的方法。即凡要求第一位達到的目標賦予優(yōu)先因子1P，次位的目標賦予優(yōu)先因子2P， ? ，并規(guī)定),2,1(1 KkPP kk ???? ?，表示kP比1?kP有更大的優(yōu)先權(quán)。亦即首先保證1P級目標的實現(xiàn)，這時可不考慮次級目標；而2P級目標是在實現(xiàn)1P級目標的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 將權(quán)系數(shù)法與優(yōu)先層次法結(jié)合起來，即可得到下面的一般形式的目標規(guī)劃模型 ssisisosisisisiLsrisisisisisriLsddriLsfddxfXxdwdwPfs,1。,1,0,0,1。,1,)()(m in11????????????????????????????????? （ GP ） 其中僅含偏差變量的各層目標 ),1()(1Lsdwdwsrisisisisi?????????叫做 偏差目標 ；各層帶有目標函數(shù)及其對應(yīng)目標值的約束條件 ),1()(sosisisisirifddxf ???????叫做 目標約束條件 ；必須滿足的等式約束和不等式約束（即 Xx ? ）稱為 絕對約束條件 。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 另外，由于目標規(guī)劃的目標函數(shù)是按各目標約束的正 、 負偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當每一目標值確定后，決策者的要求是盡可能縮小偏離目標值。因此目標規(guī)劃的目標函數(shù)只能是),(m i n ??? ddff。其基本形式有三種： 1 ）要求恰好達到目標值，即正 、 負偏差都要盡可能地小，這時 )(m i n ?? ?? ddff 2 ）要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能地小，這時 )(m i n ?? dff 3 ）要求超過目標值，即超過量不限，但必須是負偏差變量要盡可能地小，這時 )(m i n ?? dff 對每一個具體的目標規(guī)劃，可根據(jù)決策者的要求和賦予各目標的優(yōu)先因子來構(gòu)造目標函數(shù)。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 在解決實際問題的過程中，決策者開始時可能只提出了一個目標要求，并利用單目標規(guī)劃模型對有關(guān)問題進行了分析討論。但隨著時間的推移，新的問題和要求也會不斷涌現(xiàn)出來。在這種情況下，可以充分利用已有的信息來建立目標規(guī)劃模型，即以單目標規(guī)劃模型為基礎(chǔ)來建立目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。其過程與上面類似，具體步驟如下： 1 ．提出目標要求 ； 2 ．引入偏差變量?id ，?id （ 0? ），建立目標約束條件 ； 3 ．建立目標規(guī)劃模型（ GP ）。 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 以單目標規(guī)劃模型建立目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 下面，通過一個例子來說明利用單目標規(guī)劃模型建立目標規(guī)劃模型的過程。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 例 5 3 某工廠生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，已知有關(guān)數(shù)據(jù)見表 5 1 。 試求獲利最大的生產(chǎn)方案。 表 5 1 產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)據(jù)表 甲 乙 擁有量 原 材 料 / kg 設(shè)備臺時 / h 2 1 1 2 11 10 利 潤 / （元 / 件） 8 10 解 這是一個單目標規(guī)劃問題，用線性規(guī)劃模型表述為 0,102112108m a x21212121???????xxxxxxxxf 用單純形法求得最優(yōu)決策方案為： 62,3,4 **2*1 ??? fxx元。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 但實際上工廠在作決策時，還要考慮市場等一系列其它條件。譬如要求 1 ）原材料供應(yīng)應(yīng)受嚴格限制； 2 ）產(chǎn)品乙的產(chǎn)量不低于產(chǎn)品甲的產(chǎn)量； 3 ）充分利用設(shè)備的有效臺時，但不希望加班； 4 ）利潤額不小于 56 元。 同時希望將 2 ）作為第一優(yōu)先目標，將 3 ）作為第二優(yōu)先目標，將 4 ）作為第三優(yōu)先目標。 對要求 2 ），可引入偏差變量 ?? 11 , dd ，建立目標約束 01121 ???? ?? ddxx ，并要求 m i n)( 11 ??dP ； 對要求 3 ），可引入偏差變量 ?? 22 , dd ，建立目標約束 102 2221 ???? ?? ddxx ，并要求 m i n)( 222 ?? ?? ddP ； 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 對 要 求 4 ）， 可 引 入 偏 差 變 量 ?? 33 , dd ， 建 立 目 標 約 束 56108 3321 ???? ?? ddxx ，并要求 m i n)( 33 ??dP 。 最后，建立相應(yīng)的目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型如下 3,2,1,0,561081020112)()()(mi n21332122211121213322211????????????????????????????????iddxxddxxddxxddxxxxdPddPdPfii 建立目標規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型時，需要確定目標值、優(yōu)先層次、權(quán)系數(shù)等，它都具有一定的主觀性和模糊性，可以通過組織專家進行評估給以量化。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 ? 小結(jié) ? 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的基本要素： 負偏差變量 d : 表示決策值不足目標值部分。 d ? 0 變量約束： xj ? 0 j=1,2,…, n d +? 0 , d ? 0 變量： 決策變量 x1, x2,…, xn:表示決策問題的計劃產(chǎn)品產(chǎn)量或計劃生產(chǎn) 時間。 正偏差變量 d +: 表示決策值超過目標值部分。 d +? 0 約束條件： 絕對約束 (硬約束 )： 必須嚴格滿足的等式約束或不等式約束。 目標約束 (軟約束 )： 含有 d , d +的約束。通常用等式來描述。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 ? 小結(jié) ? 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中的基本要素： 目標函數(shù)： (3) 要求不超過目標： 目標優(yōu)先級（優(yōu)先因子）： P1 》 P2 》 … 》 PL 同一級中可以有若干個目標： f21 , f22 , f23 … 其重要程度用權(quán)重系數(shù) w21 ,w22 ,w23 … 表示 (1) 要求恰好達到目標： min f = d +d+ (2) 要求超過目標： min f= d min f= d + 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 ? 小結(jié) 目標規(guī)劃：求一組決策變量的滿意值，使決策結(jié)果與給定目標 總偏差最小。 ③ f = 0：各級目標均已達到 f 0： 部分目標未達到。 ① 目標函數(shù)中只有偏差變量、優(yōu)先因子、權(quán)系數(shù)。 ② 目標函數(shù)總是求偏差變量最小。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的建立 ? 作業(yè) ? 什么叫非劣解（滿意解）？說明非劣解與最優(yōu)解的區(qū)別。 ? 說明目標規(guī)劃模型中的正、負偏差變量與松弛變量（剩余變量）、人工變量的區(qū)別。 山東理工大學(xué)管理學(xué)院 目標