【微積分第九章】第四節(jié) 冪級數(shù)-文庫吧
2024-11-23 06:36 本頁面
【正文】 xx?,0 0收斂等比級數(shù)nn xxM???,0收斂????nnn xa 。0絕對收斂即級數(shù) ???nnn xa,)2( 0 時發(fā)散假設(shè)當(dāng) xx ?而有一點(diǎn) 1x 適合 01 xx ? 使級數(shù)收斂 ,則級數(shù)當(dāng) 0xx ? 時應(yīng)收斂 ,這與所設(shè)矛盾 .由 (1)結(jié)論 xo? ?? ?? ?? ?? ??R? R幾何說明 收斂區(qū)域 發(fā)散區(qū)域 發(fā)散區(qū)域 如果冪級數(shù) ??? 0nnnxa 不是僅在 0?x 一點(diǎn)收斂 , 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 , 則必有一個完全確定的正數(shù) R 存在 , 它具有下列性質(zhì) :當(dāng) Rx ? 時 , 冪級數(shù)絕對收斂 。當(dāng) Rx ? 時 , 冪級數(shù)發(fā)散 。當(dāng) RxRx ??? 與 時 , 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .推論 定義 : 正數(shù) R稱為冪級數(shù)的 收斂半徑 . 冪級數(shù)的收斂域可能是 ,0?R),[ RR? ],( RR? ].,[ RR?規(guī)定 ,???R收斂域 }0{ 。 收斂 域 ),( ???? . 問題 如何求冪級數(shù)的收斂半徑 ? ),( RR?(1 ) 冪級數(shù)只在 0?x 處收斂 ,(2) 冪級數(shù)對一切 x 都收斂 ,定理 2 如果冪級數(shù) ??? 0nnn xa 的所有系數(shù) 0?na ,設(shè) ?????nnn aa 1lim ( 或 ????nnn al i m )( 1 ) 則當(dāng) 0?? 時 ,??1R 。( 3 ) 當(dāng) ???? 時 , 0?R .( 2 ) 當(dāng) 0?? 時 , ???R 。證明 應(yīng)用達(dá)朗貝爾判別法對級數(shù) ??? 0nnn xannnnn xaxa 11lim???? xaannn1lim ???? ,x??則如果 ,0)1( ??,1|| 時當(dāng) ??x,||0收斂級數(shù) ???nnn xa.0收斂絕對從而級數(shù) ???nnn xa,1|| 時當(dāng)??x.0???nnn xa 發(fā)散從而級數(shù)。1??R收斂半徑,1l i m11 ??????xxaxannnnn?1l i m11 ??????xxaxannnnn?,0)2( ??如果 ,0??x,||0收斂級數(shù) ???nnn xa.0收斂絕對從而級數(shù) ???nnn xa 。???R收斂半徑,)3( ????如果 ,0??x.0???nnn xa 必發(fā)散級數(shù).0?R收斂半徑定理證畢 . nnnnn xaxa 11lim???? ,0?nnnnn xaxa 11lim???? ,???例 2 求下列冪級數(shù)的收斂域 : 解 )1(nnn aa 1lim ??????1lim ?? ?? nnn 1? 1?? R,1時當(dāng) ?x,1時當(dāng) ??x,)1(1????nnn級數(shù)為,11???n n級數(shù)為該級數(shù)收斂 該級數(shù)發(fā)散 。)1()1(1 nx nn
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