[理學(xué)]線性代數(shù)電子教案-文庫吧
2025-09-17 21:32 本頁面
【正文】 ????mmnmmnnbaaabaaabaaaA????????21222221111211經(jīng)加減消元法變成 ???????????????????????0000000000001222221111211????????????????????????rrrnrrnrnrbbccbcccbcccc定理 1. 設(shè)有 m個(gè)方程、 n個(gè)未知數(shù)的線性方程組 Ax=b (3) 若方程組系數(shù)陣 A的秩與增廣陣的秩不相等，則方程無解 . (1) (2) 若方程組系數(shù)陣 A的秩等于增廣陣的秩且小于 n, 即 r(A)=r(A)n, 則方程組有無窮多解； (1) 若方程組系數(shù)陣 A的秩等于增廣陣的秩且等于 n, 即 r(A)=r(A)=n, 則方程組有唯一解； 定理 1是方程組有無解的判別定理，歸于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩的討論，上面兩例子告訴我們?nèi)绾螒?yīng)用定理 1，判別方程的解存在性，解的個(gè)數(shù) . 接下來討論如何求方程組的解，以及如何表示方程組的解 . 167。 4－ 2 齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) 基礎(chǔ)解系 解的表示 線性方程組的解有三種可能性： ?無解 ； ?有一個(gè)解 ； ?有無窮多解 ；對(duì)于無窮個(gè)解，如何表示它們，是這里要解決的問題，首先討論一類特殊方程組 –––齊次線性方程組，線性方程組 (1)的常數(shù)項(xiàng)為零，即 Ax=0 (2) 稱為對(duì)應(yīng)于 (1)的齊次線性方程組 . a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0 a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0 …………………………… am1x1+am2x2+…+ am n xn= 0 ,212222111211???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????????????????????nxxxx?21 由于其增廣矩陣 )0( ?AA ?的最后一列為零 , 增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相 等，所以一定有解，顯然 ???????????????000?x 是齊次方程組的解 . 當(dāng) r(A)=n. (2)只有唯一的零解；當(dāng) r(A)n方程組 (2) 有無窮多解 . 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 定理 1. 設(shè)齊次線性方程組 Ax=0 (2) 有無窮多解，記 S為 (2)的解的集合，則 S為 Rn的線性子空間 . 證明 ：證 S關(guān)于向 量的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉 . 事實(shí)上， ?x, y?S, 有 Ax=0 和 Ay=0, A(x+y)=Ax+Ay=0, x+y ?S. (3) 因此 所以 又對(duì)任意的常數(shù) k，有 A(kx)=k(Ax)=0, 所以 kx?S. (4) 故 S關(guān)于向量加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉 , 從而 S是 Rn的線性子空間 . 問題 ： 1. S 的維數(shù)是多少？ 2. S 的基如何確定？ 例 3. 解方程組 x3+x4=0 2x1+x2–x3+4x4=0 2x1+x2+x3+6x4=0 (5) 解 : 計(jì)算系數(shù)矩陣 ????????????611241121100A現(xiàn)在來研究無窮多解的表示 的秩，作初等行變換 . ???????????611241121100 變換 1, 2行 ?????????? ?611211004112 1行 ?(–1)+3行 ???????????????22001100221211211 ?行2行 ?(–2)+3行 ???????????????00001100221211 r(A)=24. (5)有無窮解 . 對(duì)應(yīng)于階梯形矩陣的方程組是 x3+x4=0 022121 4321 ???? xxxx自下而上逐個(gè)解方程 x3+x4=0 最含兩個(gè)未知數(shù)的不定方程，指定其中取值一個(gè)，另一個(gè)也隨之確定，令 x 4= k 1 為任意常數(shù)， 則 x 3 =–x 4 =–k 1 代入前一方程得 022121 1121 ???? kkxx整理 121 2521 kxx ???仍為不定方程， 令 x 2= k 2 為任意常數(shù)， 則 211 2125 kkx ???所求方程組的解為 211 2125 kkx ???x 2 = k 2 x 3 = – k 1 x4 =k1 k1, k2為任意常數(shù)，寫成向量形式 ???????????????4321xxxxx(6) ????????????????????112212125kkkkk???????????????????????000212511221kkkkk?????????????????????????????????????002102522111kkkkk?????????????????????????????????????001211102521kk(6) 是方程組 (5)的所有解 .無窮性體現(xiàn)在 k1, k2取一組數(shù)， (6)得一個(gè)解。而 k1, k2所取的數(shù)組是無窮的 . k1=1, k2=0 ???????????????????11025e1 k1= 0, k2= 1 ??????????????????00121e2(6)式的表示代表了齊次線性方程組的解的求法與表示的基本思想 . 針對(duì) (6)式有下述問題： (6)式中基 e1,
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