【正文】 10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 20 ?T(切矢 )、 N(主法矢 )和 B(副法矢 )構(gòu)成了曲線上的活動坐標架 ?N、 B構(gòu)成的平面稱為法平面 ， N、 T構(gòu)成的平面稱為密切平面 ， B、 T構(gòu)成的平面稱為從切平面 。 曲線的法矢量 密切面從切面法平面TBN主法線圖3. 曲線的法矢2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 21 ?曲率和撓率 即 稱為 曲率 ，其幾何意義是曲線的單位切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率 曲率 k的倒數(shù) 稱為 曲率半徑 。 撓率 ?的絕對值等于副法線方向 (或密切平面 )對于弧長的轉(zhuǎn)動率 . ssTsTTss ???????????????0039。 limlimss ???????0lim??1? ss ?????? lim2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 22 .對于一般參數(shù) t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計算公式如下： 3)()()(tPtPtP???????2))()(())(),(),((tPtPtPtPtP????????????2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 23 曲率和撓率 )( ssT ??)( sTT?O 曲率和撓率（a）（b）1N1B1T0N0B0T0B1B????2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 24 參數(shù)化 ?過三點 P0、 P1和 P2構(gòu)造參數(shù)表示的插值多項式可以有無數(shù)條 ， 這是因為對應(yīng)地參數(shù) t, 在 [0, 1]區(qū)間中有無數(shù)種取法 。 即 P0、 P1和P2可對應(yīng)不同的參數(shù)值 ， 比如 ， 其中每個參數(shù)值稱為節(jié)點 (knot)。 ,1,21,0 210 ??? ttt2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 25 ?對于一條插值曲線，型值點 與其參數(shù)域 內(nèi)的節(jié)點之間有一種對應(yīng)關(guān)系。對于一組有序的型值點，所確定一種參數(shù)分割，稱之這組型值點的參數(shù)化。 nPPP , 10 ?],[ 0 nttt ?2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 26 ?參數(shù)化常用方法有： ?均勻參數(shù)化 (等距參數(shù)化 ) ?節(jié)點在參數(shù)軸上呈等距分布， +正常數(shù)。 ?累加弦長參數(shù)化 這種參數(shù)法如實反映了型值點按弦長的分布情況，能夠克服型值點按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。 ii tt ??1????????????? niPtttiii ,2,1,0110 iii PPP ??? ? 12021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 27 ?向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比 ，加上一些簡化假設(shè) ， 得到向心參數(shù)化法 。 此法尤其適用于非均勻型值點分布 。 niPtttiii ,2,1,021110??????????2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 28 ?修正弦長參數(shù)化法 弦長修正系數(shù) Ki=1。從公式可知，與前后鄰弦長及相比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角 ?i1和? i(不超過時 )越大，則修正系數(shù)就 K i 就越大。 ????????????? niPKtttiiii ,2,1,0110????????????????????????iiiiiiiii PPPPPPK11212231 ??0,2,m i n 111 ?????????? ?????? niiii PPPPP???2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 29 ?參數(shù)區(qū)間的規(guī)格化 我們通常將參數(shù)區(qū)間 規(guī)格化為 [0, 1]， ， 只需對參數(shù)化區(qū)間作如下處理： ][ ,0 nttnittttnii ,1,0,00 ??????]1,0[][ ,0 ?ntt2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 30 參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。 ?代數(shù)形式 ?上述代數(shù)式寫成矢量式是 ??????????????????zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)(]1,0[)()(]1,0[)( 012233 ????? tatatatatP2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 31 ?幾何形式 ? 對三次參數(shù)曲線，若用其端點位矢 P(0)、 P(1)和切矢 P?(0)、 P?(1)描述。 ? 將 P(0)、 P(1)、 P?(0)和 P?(1)簡記為 P0、 P P?0和 P?1，代入 得 ]1,0[)( 012233 ????? tatatatatP???????????????????39。1010339。1039。10239。010022233PPPPaPPPPaPaPa]1,0[)()2()32()132()(39。12339。023123023????????????tPttPtttPttPtttP2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 32 ?令： 可將其簡化為： 上式是 三次 Hermite(Ferguson)曲線的 幾何形式 ，幾何系數(shù) 是 P0、 P P?0和 P?1。 稱為 調(diào)和函數(shù) （或混合函數(shù)） 1010 , GGFF132)( 230 ??? tttF 231 32)( tttF ???ttttG ??? 230 2)( 231 )( tttG ??]1,0[)( 39。1139。001100 ????? tPGPGPFPFtP2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 33 Fergu son曲線端點 位矢和切矢0P39。0P1P39。1P)( tP)(39。tP0Fto11to111Fto11to110G1G圖3 .1 . 6 三次調(diào)和函數(shù)Ferguson曲線端點位矢和切矢 三次調(diào)和函數(shù) 2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 34 連續(xù)性 ?曲線間連接的光滑度的度量有兩種： ?函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到 n階連續(xù)導(dǎo)矢，即 n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或 n階參數(shù)連續(xù)性。 ?幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同于 的某一組約束條件，稱為具有 n階幾何連續(xù)性，簡記為 。 nCnCnG2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 35 ?反例： ? ???????????????????21,3)(213 10,3)(01010010tVVtVVVttVVVt? ?0131)1( VV ??? ? ? ? ?0132)1( VV ??? ? ?2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 36 0階參數(shù)連續(xù)性 ， 記作 C0連續(xù)性 ， 是指曲線的幾何位置連接 ， 即 )()( 0)1()1(1 ??? iiii tptp2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 37 1階參數(shù)連續(xù)性 記作 C1連續(xù)性 ， 指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)： )()()()(0)1()1(10)1()1(1????????iiiiiiiitptptptp且2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 38 2階參數(shù)連續(xù)性 ， 記作 C2連續(xù)性 ， 指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù) 。 (a )0 階連續(xù)性 (b )1 階連續(xù)性 (c )2 階連續(xù)性2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 39 0階幾何連續(xù)性 ， 記作 G0連續(xù)性 ， 與 0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同 ， 滿足： 1階幾何連續(xù)性 ， 記作 G1連續(xù)性 ， 指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點處成比例 2階幾何連續(xù)性 ， 記作 G2連續(xù)性 ， 指相鄰曲線段在交點處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例 。 )()( 0)1()1(1 ??? iiii tptp2021/11/10 蘇州大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 40 ?若要求在結(jié)合處達