【正文】 表示系統(tǒng)中顧客容量限額 : 如系統(tǒng)容量為 m(m0), 有 n個(gè)服務(wù)臺(tái) ， 當(dāng) m=n時(shí) , 說明系統(tǒng)不允許等待 , 即為損失制 . m=∞時(shí)為等待制系統(tǒng) , 此時(shí) ∞一般省略不寫 . nm∞ 時(shí)為混合制系統(tǒng) . B— 表示顧客源限額 , 分有限與無限兩種 , ∞表示顧客源無限 , 此時(shí) ∞一般也省略不寫 . C— 表示服務(wù)規(guī)則 ， 常用下列符號(hào)： FCFS —— 表示先到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則； LCFS —— 表示后到先服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則； PR —— 表示優(yōu)先權(quán)服務(wù)的排隊(duì)規(guī)則 . 例如：排隊(duì)問題 M/M/n/∞/∞/FCFS 表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間為 Poisson流 (負(fù)指數(shù) 分布 ), 服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布 , 有 n個(gè)服務(wù)臺(tái) , 系統(tǒng)等待空間容量無限 (等待制 ), 顧客源無 限 , 采用先到先服務(wù)規(guī)則 . 在很多情況下 , 排隊(duì)問題僅用上述表達(dá) 形式中的前 3個(gè) 、 4個(gè)或 5個(gè)符號(hào) . 如不特別 說明 , 均理解為系統(tǒng)等待空間容量無限 , 顧 客源無限 , 先到先服務(wù) , 單個(gè)服務(wù)的等待制 系統(tǒng) . (二 ) 排隊(duì)系統(tǒng)的主要運(yùn)行指標(biāo) 研究排隊(duì)系統(tǒng)目的是通過了解系統(tǒng)運(yùn) 行的狀況 , 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整和控制 , 使系統(tǒng) 處于最優(yōu)運(yùn)行狀態(tài) . 因此 , 首先需要描述系 統(tǒng)的運(yùn)行狀況 , 主要運(yùn)行指標(biāo)有： 隊(duì)長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù) (排隊(duì)等待的 顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和 ).等待 隊(duì)長是指系統(tǒng)中正在排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù) . 隊(duì)長和等待隊(duì)長一般都是隨機(jī)變量 , 我 們希望能確定它們的分布 ， 或至少能確定它 們的期望值 (即平均隊(duì)長和平均等待隊(duì)長 ). 隊(duì)長的分布是顧客和服務(wù)員都關(guān)心的 ,特別 對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員來說 ,如果能知道隊(duì)長的分 布 ,就能確定隊(duì)長超過某個(gè)值的概率 ,從而確 定合理的等待空間 . 從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他開始接受服務(wù)止 的這段時(shí)間稱為等待時(shí)間 , 是隨機(jī)變量 , 也 是顧客最關(guān)心的指標(biāo) , 因?yàn)轭櫩屯ǔＯＭ? 待時(shí)間越短越好 . 從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他接 受服務(wù)完成止的這段時(shí)間稱為逗留時(shí)間 , 也 是隨機(jī)變量 , 顧客同樣非常關(guān)心 . 對(duì)于這兩 個(gè)指標(biāo)的研究當(dāng)然是希望能夠確定它們的 分布 , 或至少能夠知道顧客的平均等待時(shí)間 和平均逗留時(shí)間 . 除了上述幾個(gè)主要運(yùn)行指標(biāo)外 , 還會(huì)用 到其他一些重要的指標(biāo) . 如在損失制或系統(tǒng) 容量有限的情況下 , 由于顧客被拒絕 , 而使服 務(wù)系統(tǒng)受到損失的顧客損失率及系統(tǒng)強(qiáng)度等 . 由于相當(dāng)一部分排隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行了一定 時(shí)間后 , 都會(huì)趨于一個(gè)平穩(wěn)狀態(tài) , 在平穩(wěn)狀態(tài) 下 , 運(yùn)行指標(biāo)與系統(tǒng)所處的時(shí)刻無關(guān) , 而且系 統(tǒng)初始狀態(tài)的影響也會(huì)消失 . 我們將主要討 論系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)的性質(zhì) . (三 )一些常用記號(hào) Pn — 穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻狀態(tài)為 n的概率 . ? — 平均到達(dá)率； 1/? — 平均到達(dá)間隔 . ? — 平均服務(wù)率； 1/? — 平均服務(wù)時(shí)間 . Ls— 平均隊(duì)長 穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的所有顧客數(shù)的期望值； Lq— 平均等待隊(duì)長 穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時(shí)刻的等待服務(wù)的顧客數(shù)的期望值； Ws— 平均逗留時(shí)間 在任意時(shí)刻進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時(shí)間的期望值； Wq— 平均等待時(shí)間 在任意時(shí)刻進(jìn)入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時(shí)間的期望值 . 對(duì)于損失制和混合制的排隊(duì)系統(tǒng) ,顧客在到達(dá) 服務(wù)系統(tǒng)時(shí) ,若系統(tǒng)容量已滿則離去 ,到達(dá)的顧客 不一定全部進(jìn)入系統(tǒng) ， 為此引入 有效平均到達(dá)率 . ?e — 有效平均到達(dá)率 每單位時(shí)間內(nèi)進(jìn) 入系統(tǒng)的平均顧客數(shù) (期望值 ). 這時(shí) ?就是每 單位時(shí)間內(nèi)來到系統(tǒng) (包括未進(jìn)入系統(tǒng) )的平 均顧客數(shù) (期望值 ). 對(duì)于等待制的排隊(duì)系統(tǒng) , 有 ?e=?. (四 )Little公式 在系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí) ， 有效平均到達(dá)率 為 常數(shù) ?e， 則有下面的 John . Little (美國 , 1928)公式： s e sLW ,?? q e qLW .??(一 )輸入過程 輸入過程描述顧客以怎樣的規(guī)律到達(dá)系 統(tǒng) ， 一般用相繼兩顧客到達(dá)時(shí)間間隔 ?來描述 系統(tǒng)輸入特征 . 主要輸入過程有： 1. 定長輸入 . 顧客有規(guī)則地等距到達(dá) ， 每 隔時(shí)間 ?到達(dá)一個(gè)顧客 . 這時(shí)相繼顧客到達(dá)間 隔 ?的分布函數(shù) F(t)為： 1 , 。( ) { }0 , .tF t P tt?????? ? ?? ??二 .輸入過程和服務(wù)時(shí)間分布 2. Poisson輸入 ， 又稱最簡單流 . 滿足下 面三個(gè)條件的輸入稱之為最簡單流 . (1) 平穩(wěn)性 . 又稱輸入過程是平穩(wěn)的 ， 指 在長度為 t的時(shí)段內(nèi)恰好到達(dá) k個(gè)顧客的概率 僅與時(shí)段長度有關(guān) ， 而與時(shí)段起點(diǎn)無關(guān) , 即 對(duì)任意 ?∈ (0,∞)， 在 (?,?+t]或 (0, t)內(nèi)恰好到 達(dá) k個(gè)顧客的概率相等： 設(shè)初始條件為 , 且有 . { ( ) ( ) } { ( ) ( 0) } { ( ) } ( ) .kP N t N k P N t N k P N t k P t??? ? ? ? ? ? ? ? ?0 (0) 1P ? kk pt0 ( ) 1???? (2)無后效性 . 在任意幾個(gè)不相交的時(shí)間 區(qū)間內(nèi) ， 各自到達(dá)的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的 . 通俗地說就是以前到達(dá)的顧客情況 ， 對(duì)以后 顧客的到來沒有影響 . (3)單個(gè)性又稱普通性 . 在充分小的時(shí)段 內(nèi)最多到達(dá)一個(gè)顧客 . 可以證明 , 對(duì)于 Poisson流 , 隨機(jī)變量 N(t) 服從 Poisson分布 , 即在長度為 t的時(shí)間內(nèi)到達(dá) k個(gè)顧客的概率為 ()( ) { ( ) } ,!ktktP t P N t k ek?? ?? ? ?0 , 1 , 2 , k ?其中參數(shù) ?0為一常數(shù) ， 表示單位時(shí)間內(nèi)到 達(dá)顧客的平均數(shù) ， 又稱為顧客的平均到達(dá) 率 . 對(duì)于 Poisson流 ， 可以證明其相繼顧客 到達(dá)時(shí)間間隔 ?i， i=1, 2, … 是相互獨(dú)立同分 布的 ， 服從負(fù)指數(shù)分布 ， 其分布函數(shù)和分 布密度分別為： 1 , 0 。()0, 0itetFt t???? ??? ? ??( 1 , 2 , ) ,i ?, 0 。()0, 0itetft t??? ?? ?? ???( 1 , 2 , ) .i ? Erlang輸入 . 在參數(shù)為 ?的 Poisson輸入中 , 對(duì)任意的 j與 k, 設(shè)第 j與第 j+k個(gè)顧客之間的到達(dá)間 隔為 , 可以證明 ， 隨機(jī)變量 Tk服從參數(shù)為 ?的 k階 Erlang分布其分布密度為： 1()( ) , 0 ,( 1 ) !ktta t e tk