1673向量組的線性相關(guān)性-文庫吧
2025-08-26 19:09 本頁面
【正文】 0i i i i i s sk k k k? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?則 有, 11 , .i? ?因 的 系 數(shù) 不 為 零 按 定 義 這 個 向 量 組 線 性 相 關(guān) 121 1 2 2, , , ,0sssk k kk k k? ? ?? ? ? ?反 之 , 設(shè) 有 不 全 為 零 的 數(shù) 使0,sk ?不 妨 設(shè) 則 有首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10 112 1 2 1ssss s skkkk k k? ? ? ???? ? ? ? ?11 , .于 是 按 定 義 這 個 向 量 組 線 性 相 關(guān)幾個特殊情形 : ① 含有 零向量的向量組必線性相關(guān) . ② 含有 兩個成比例的向量的向量組必線性相關(guān) . 12, , , ( 2 ) ,?s s? ? ? ? 如 果 線 性 相 關(guān) 是 否 其 中 每一 個 向 量 都 是 其 余 向 量 的 線 性 組 合思考題 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11 定義 12 一向量組 ?1 , ?2 , … , ?s (s ? 1) 不線 性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù) k1 , k2 , … , ks , 使 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = 0. 就稱為 線性無關(guān) ； 或者說 , 一向量組 ?1 , ?2 , …, ?s 稱為 線性無關(guān) ，如果由 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = 0 可以推出 k1 = k2 = … = ks = 0 . 注 : 線性相關(guān)與線性無關(guān)都是反映向量間的線性關(guān)系的概念 , 它們是互斥的 . 即任意一組向量 , 如果它們不線性相關(guān) , 就必線性無關(guān) , 反之亦然 . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12 如果一向量組的一個 部分組線性相關(guān) ，那么這 個 向量組就線性相關(guān) ； 反之，如果一 向量組線性無 關(guān) ，那么它的任何一個非空的 部分組也線性無關(guān) . 由定義可得： 證 設(shè)向量組 ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r (s ? r) 的一個部分組 , 不妨設(shè)為 ?1 , ?2 , … , ?s 線性相關(guān)， 則有不全為 0 的數(shù) k1 , k2 , …, ks ，使 k1?1 + k2?2 + ... + ks?s = 0 . 由上式顯然有 k1?1 + k2?2 + ... + ks?s + 0?s+1 + … + 0 ?r = 0 . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13 因為 k1 , k2 , …, ks 不全為 0 ，所以 k1 , k2 , …, ks , 0, … , 0 也不全為 0，因而 ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r 線性相關(guān) . 設(shè) ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r 線性無關(guān)，若 它的一個 部分組 線性相關(guān)，則由上 述已證的結(jié)論知 , ?1 , ?2 , … , ?s , … , ?r 應(yīng) 線性相關(guān) , 矛盾 . 個非空的部分組都是線性 無關(guān)的 . 所以它的任何一 注 : 全體組線性相關(guān)不能推出部分組線性相關(guān) 。由部分組線性無關(guān)也不能推出全體組線性無關(guān) . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 注： 1) 由一個向量構(gòu)成的向量組 A: ? 線性相關(guān)的充要條件是 : ? = 0. 2) 由兩個向量構(gòu)成的向量組 A : ?1 , ?2 線性相 關(guān)的充要條件是 : ?1 , ?2 的分量對應(yīng)成比例 . 例如 ,向量組 : 12( 1 , 1 , 2 ) ( 3 , 3 , 6 ),??? ? ? ?因為有 ( 3, 3, 6 ) ( 3, 3, 6 ) 0,? ? ? ? ? ? 123 3 ( 1 , 1 , 2 ) ( 3, 3, 6 )??? ? ? ? ? ? ? ?所以線性相關(guān) . 而這兩個向量的對應(yīng)分量的比都是 1.3首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15 三、向量組線性相關(guān)性的判定方法 例 2 判別 n 維單位向量組 12( 1 , 0, , 0 ) ,( 0, 1 , , 0 ) ,( 0, 0, , 1 ) ,n??????????? ??的線性相關(guān)性 . 解 設(shè)有 n 個數(shù) k1 , k2 , … , kn , 使 k1?1 + k2? 2 + ... + kn?n = 0 , 也就是 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16 k1(1, 0, …, 0) + k2(0, 1, …, 0) + … + kn(0, 0, …, 1) = ( k1 , k2 , … , kn ) = (0, 0, … , 0) . 于是就有 k1 = k2 = … = kn = 0 . 所以 ? 1 , ? 2 , … , ? n 線性無關(guān) . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17 例 3 判斷向量組 1 2 3( 2 , 1 , 3 , 1 ) , ( 4 , 2 , 5 , 4 ) , ( 2 , 1 , 4 , 1 )? ? ?? ? ? ? ? ? ?的線性相關(guān)性 . 解 設(shè)有 3 個數(shù) x1 , x2 , x3 , 使 x1?1 + x2?2 + x3?3 = 0 . 這個向量等式對應(yīng)的線性方程組為 1 2 31 2 31 2 31 2 3
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