第4章光的衍射（diffraction）-文庫吧
2025-08-25 16:07 本頁面
【正文】 ( 3 )tE P t E P e ???? V ?? ? n n P 1. 基爾 霍 夫積分定理 若 P 是無源點，該光場應(yīng)滿足如下的 標量波動方程 ： 22221 0 ( 4 )EEct?? ? ??? V ?? ? n n P 1. 基爾 霍 夫積分定理 將 (3)式代入，可得 22( ) ( ) 0 ( 5 )E P k E P? ? ?式中， k =ω/c，該式即為 亥姆霍茲方程 。 i( , ) ( ) ( 3 )tE P t E P e ???22221 0 ( 4)EEct?? ? ?? 1. 基爾 霍 夫積分定理 22 0G k G? ? ?現(xiàn)在假設(shè)有另一個 任意復函數(shù) ，它也滿足亥姆霍茲方程 G且在 Σ 面內(nèi)和 Σ 面上有連續(xù)的一、二階偏微商 (個別點除外 )。 1. 基爾 霍 夫積分定理 如果作積分 d ( 6)EGQ G Enn???????????????? 表示 在 Σ 上每一點沿向外法線方向的偏微商。 / n??? V ?? ? n n P 1. 基爾 霍 夫積分定理 則由 格林定理 ，有 22( ) d dVEGG E E G V G Enn? ?????? ? ? ? ?????????? ??式中， V 是 Σ 面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關(guān)系，左邊的被積函數(shù)在 V 內(nèi)處處為零 。 22( ) ( ) 0 ( 5 )E P k E P? ? ?22 0G k G? ? ? 1. 基爾 霍 夫積分定理 22( ) d 0VG E E G V? ? ? ????i ( 7 )kreG r?這個函數(shù)除了在 r = 0 點外 ， 處處解析 。 因而 根據(jù) 所滿足的條件，可以選取 為 球面波的波函數(shù) ： G G 1. 基爾 霍 夫積分定理 d ( 6)EGQ G Enn???????????????? ? V ?? ? n n P (6)式中的 Σ 應(yīng)選取圖所示的 復合曲面 Σ+Σ?，其中 Σ? 是包圍 P 點、半徑為小量 ε的球面。該積分為 d 0 ( 8 )EGGE nn??????????????????? 1. 基爾 霍 夫積分定理 由 (7)式，有 i1c o s( , ) c o s( , ) ( i ) ( 9 )krG G ekn r r r??? ? ? ?n r n ri ( 7 )kreG r?? V ?? ? n n P 1. 基爾 霍 夫積分定理 i1( i )krGekn r r? ???對于 Σε 面上的點， cos(n, r)＝－ 1， r＝ ?，所以， i1c o s( , ) c o s( , ) ( i ) ( 9 )krG G ekn r r r??? ? ? ?n r n r1. 基爾 霍 夫積分定理 因此 ii201d4 π i 4 π ()kkE G e E eG E E kn n nEP???????? ? ???? ??? ? ? ??? ? ? ??? ????? ? ? ??????????d 0 ( 8 )EGGE nn???????????????????i1( i )krGekn r r? ??? ?? 的球面積為 24π?ii2 14 π ikke E eEkn??? ? ? ???? ?????????????i i i=4 π 4 π 4 π ik k kEe E e k en? ? ???? ???0?? 時 ii4 π 0 。 4 π i0kkEe k en????? ??? 霍 夫積分定理 這就是 亥姆霍茲 — 基爾霍夫積分定理 。 ii1( ) d ( 10)4 πk r k rE e eE P En r n r?????? ? ? ????? ??? ? ? ?? ? ? ?????故有 0d4 π ()EGG E E Pnn?????????? ? ????????? 霍 夫積分定理 它將 P 點的光場與周圍任一閉合曲面 Σ 上的光場聯(lián)系了起來 ： ii1( ) ( ) ( ) d ( 10 )4 πk r k rE e eE P En r n r???????? ??????ir( ) = ( ) ( ) d ( 1 )keE P C E Q Kr????? 2. 基爾霍夫衍射公式 現(xiàn)在將基爾霍夫積分定理應(yīng)用于小孔衍射問題， 在某些近似條件下，可以化為與菲涅耳表達式基本相同的形式。 ii1( ) ( ) ( ) d ( 10 )4 πk r k rE e eE P En r n r???????? ??
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