【正文】 設(shè)球飛行速度為 v，球旋轉(zhuǎn)切相速度為 u，于是氣流相對(duì)于足球左側(cè)的速度為 vu，相對(duì)于右側(cè)為 v+u。根據(jù)（ 6）式，則球右所側(cè)受壓強(qiáng)會(huì)大于左側(cè)，足球會(huì)感受到一個(gè)自右向左的壓力，這個(gè)力產(chǎn)生于速度方向垂直的加速度的使得足球飛行軌跡成為一個(gè)弧線，稱之為 馬格納斯效應(yīng) ，這就是“香蕉球”的物理學(xué)原理。 在球?qū)嶋H的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，強(qiáng)烈的旋轉(zhuǎn)會(huì)使周圍氣流形成漩渦，增加這種馬格納斯效應(yīng)效應(yīng)的效果。 足球史上最有爭(zhēng)議的進(jìn)球發(fā)生在 1966 年的世界杯決賽上，英格蘭隊(duì) 前鋒大衛(wèi)赫斯特禁區(qū)內(nèi)一腳射門(mén)打中西德隊(duì)球門(mén)橫梁，反彈在球門(mén)線上。邊裁示意進(jìn)球有效。英格蘭隊(duì)正是憑借這個(gè)進(jìn)球第一次捧起了世界杯。 上節(jié)提到的德國(guó)多特蒙德大學(xué)物理學(xué)教授 Metin Tolan，為這個(gè)球是否越過(guò)了球門(mén)線做出了物理上的分析：根據(jù)規(guī)則，當(dāng)球全部落入球門(mén)線后算作進(jìn)球。而西德和英格蘭的這場(chǎng)決賽中，那個(gè)球是打在了橫梁上彈地并偏離開(kāi)了球門(mén)。如果球的速度在每小時(shí) 75 公里到每小時(shí) 100 公里之間時(shí)，那么這個(gè)橫梁會(huì)給足球以每分鐘 10 圈的自轉(zhuǎn)。此時(shí)馬格納斯效應(yīng)會(huì)使球會(huì)以一個(gè)小弧線落入球門(mén)線后有 秒的時(shí)間，然后因 為落地后和草皮的摩擦而彈出球門(mén)。身為一名德國(guó)人，能克服個(gè)人的情感，為這個(gè)球做最客觀的物理分析，這種科學(xué)精神的確難能可貴。 二、左右腳選手對(duì)罰球位置的傾向 細(xì)心的球迷會(huì)發(fā)現(xiàn)在主罰直接任意球時(shí)，面對(duì)禁區(qū)前左側(cè)的任意球，右腳選手傾向于選擇直接射門(mén)，左腳選手傾向于選擇傳中；反之面對(duì)禁區(qū)前右側(cè)的任意球，左腳選手傾向于選擇直接射門(mén)，右腳選手傾向于選擇傳中。 上個(gè)小節(jié)提到的“香蕉球”，會(huì)對(duì)這個(gè)現(xiàn)象會(huì)有一個(gè)很直觀的解釋?，F(xiàn)役球員主罰任意球時(shí)，大多數(shù)會(huì)選擇腳背內(nèi)側(cè)踢出弧線球。從球場(chǎng)上方的視角來(lái)看。對(duì)于一個(gè)右腳選手 來(lái)說(shuō)，他內(nèi)腳背踢出的球會(huì)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，左腳選手會(huì)踢出的球會(huì)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 下圖是右腳內(nèi)腳背選手直接任意球的一個(gè)路線解析，假設(shè)球在空氣中勻速運(yùn)行和旋轉(zhuǎn)，氣流的側(cè)向壓力（馬格納斯效應(yīng)）時(shí)刻于球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，那么球的弧線軌跡近似為一個(gè)半徑為 R 的圓弧。 如圖所示，箭頭為球的運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)球門(mén)長(zhǎng) 為 L（比賽中為 米） 左圖：對(duì)于禁區(qū)前沿左側(cè)的直接任意球，球門(mén)垂直于與圓相交點(diǎn)圓的切線時(shí)，會(huì)對(duì)罰球點(diǎn)張開(kāi)最大角度，此時(shí)罰球點(diǎn)一定位于禁區(qū)前沿左側(cè)。容易證明：與球門(mén)近角和遠(yuǎn)角相交的兩個(gè)圓，在罰球點(diǎn)處兩個(gè)圓切線的角度為經(jīng)過(guò)罰球點(diǎn)兩個(gè)圓的半徑之間夾角，即θ＝ arc sin(L/2R)。即在這個(gè)角度范圍內(nèi)踢出的球都會(huì)飛向球門(mén)。 右圖：當(dāng)罰球點(diǎn)位于禁區(qū)前沿右側(cè)時(shí)，球門(mén)與圓相交點(diǎn)圓的切線所成的角度會(huì)變得很小，容易看出此時(shí)兩圓半徑之間距離 l 會(huì)小于球門(mén)長(zhǎng)度 L。這時(shí)罰球點(diǎn)踢出分別瞄準(zhǔn)于球門(mén)近角和遠(yuǎn)角的球，兩條軌跡之間 的角度φ等于兩個(gè)圓半徑之間夾角，即φ＝ arc sin(l/2R)。 因?yàn)?lL SPAN，所以φ θ。球門(mén)對(duì)禁區(qū)前沿左側(cè)的罰球點(diǎn)張開(kāi)的角度比右側(cè)更接近于θ，因此對(duì)于一個(gè)右腳內(nèi)腳背主罰任意球的球員來(lái)說(shuō)，在禁區(qū)前沿左側(cè)球門(mén)所張開(kāi)的角度比右側(cè)大的多，選擇射門(mén)的角度要大的多，破門(mén)率也要高得多。 所以對(duì)右腳內(nèi)腳背主罰任意球的球員，會(huì)更多在禁區(qū)前沿左側(cè)選擇射門(mén)，在右側(cè)選擇傳中。對(duì)于左腳選手剛好相反。 一個(gè)典型的現(xiàn)象：對(duì)于一個(gè)經(jīng)常打左邊路的球員來(lái)說(shuō)，如果他是左腳選手，就會(huì)更多選擇帶到地線附近傳中；如果他是右腳選手， 會(huì)更多選擇帶到場(chǎng)地中央射門(mén)，對(duì)于打右路的選手剛好相反。正是利用了這個(gè)道理。 三、貝克漢姆罰球動(dòng)作物理解析 下面我們分析一下最典型的右腳任意球高手，萬(wàn)人迷“貝克漢姆”。相比于其他幾位現(xiàn)役球員任意球高手，如米哈伊洛維奇，小儒尼尼奧、卡洛斯、里克而梅、皮爾洛等等，小貝的任意球盡管破門(mén)率不是最高，但他的罰球動(dòng)作最為舒展，多采用腳弓內(nèi)側(cè)踢球。這一點(diǎn)上只有羅納爾迪尼奧的罰球動(dòng)作與之相似。 仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，小貝罰球時(shí)右手會(huì)自然下垂，左手會(huì)抬起到與身體平行位置，然后沿水平方向劃出一個(gè)圓弧。此時(shí)伴隨右腿的擺動(dòng)踢向皮球。 為什么貝克漢姆手臂的動(dòng)作會(huì)如此舒展？主要原因如下： 他采用的是腳弓踢球。有過(guò)踢球經(jīng)驗(yàn)的人都知道，腳弓與球的接觸面積最大，會(huì)更好地控制球的飛行路線，但踢出的球速度不快，一般短傳和罰點(diǎn)球多采用這種腳法。小貝選擇腳弓踢球，為了加快球速，需要更快地?cái)[腿動(dòng)作和更大的擺腿幅度，身 體也伴隨有一個(gè)小轉(zhuǎn)動(dòng)。 如果把他的身體近似看成一個(gè)剛體，他的右腿擺動(dòng)會(huì)對(duì)身體轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生一個(gè)力矩。這個(gè)力矩會(huì)使身體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)不平穩(wěn)，影響踢出的球的效果。為了抵消這個(gè)影響，他需要在身體上加一相反力矩，那么就需要他抬起左臂向后擺動(dòng)來(lái)保持身體轉(zhuǎn)動(dòng)平衡。我們把這個(gè)具體的力學(xué)分析留給大家，感興趣的讀者可以畫(huà)圖來(lái)證明一下。 對(duì)于其他任意球高手，多采用腳背踢球，腿更多沿身體轉(zhuǎn)軸所在平面的平行方向擺動(dòng)，對(duì)身體轉(zhuǎn)軸沒(méi)有那么大的力矩，因此手臂擺動(dòng)幅度不會(huì)很大。 四、突然下墜的射門(mén) 我們以上討論的弧線球都是水平方向，即球的轉(zhuǎn)軸于地面 垂直。對(duì)于球員踢出的球，一般除了水平旋轉(zhuǎn)，還會(huì)有向前滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)，這時(shí)球的轉(zhuǎn)軸于地面平行，馬格納斯效應(yīng)使球在重力基礎(chǔ)上增加一個(gè)下墜的力。 我們知道，如果皮球只受重力作用，在豎直方向軌跡將是條拋物線。增加了一個(gè)馬格納斯效應(yīng)后，因?yàn)榕c球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，會(huì)使得原先的拋物線產(chǎn)生形變，在下落段水平位移縮短（因?yàn)轳R格納斯效應(yīng)產(chǎn)生的力水平分量向后），上升段水平位移增加（因?yàn)轳R格納斯效應(yīng)產(chǎn)生的力水平分量向前），足球會(huì)起到在球門(mén)前突然下墜的效果，許多精彩的臨空抽射就是這樣越過(guò)守門(mén)員而破門(mén)。（大家記得 88 年歐洲杯決賽上巴斯滕那記 零度角抽射嗎？） 上圖是 2020 年歐洲杯賽上齊達(dá)內(nèi)打入英格蘭對(duì)的那記任意球，球有一個(gè)明顯的突然下墜效果 足球結(jié)構(gòu)與納米科學(xué) 左圖是歷屆世界杯的比賽用球圖集。仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了本屆世界杯的新球“團(tuán)隊(duì)之星”外，其他球都無(wú)論表面是什么圖案，阿迪達(dá)斯公司都用的是傳統(tǒng)的拼接方法，即 12 個(gè)五邊形和 20個(gè)六邊形這樣會(huì)。這次團(tuán)隊(duì)之是個(gè)例外，采用了一種全新的拼接方法，這對(duì)足球的制作不能不說(shuō)是一次創(chuàng)舉。 等等，這是什么？一個(gè)足球形狀分子？由 12 個(gè)五邊形和 20 個(gè)六邊形構(gòu)成，對(duì)的，這個(gè)就是大名鼎鼎的 C60分子，化學(xué)上稱之為“富勒烯”。這種結(jié)構(gòu)是 C原子形成球形最穩(wěn)定的組合方式。 一、富勒烯的發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)史： 英國(guó)薩塞克斯大學(xué)的波譜學(xué) 家克羅托（ ）在研究星際空間暗星云中富含碳的塵埃時(shí)，發(fā)現(xiàn)此塵埃中有氰基聚炔分子（ HCnN， n15），克羅托很想研究該分子形成的機(jī)制，但沒(méi)有相應(yīng)的儀器設(shè)備。 1984 年克羅托赴美參加在得克薩斯州奧斯汀舉行的學(xué)術(shù)會(huì)議，并到萊斯大學(xué)參觀，經(jīng)該校化學(xué)系系主任科爾（ ， Jr）教授介紹，認(rèn)識(shí)了研究原子簇化學(xué)的斯莫利（ ）教授，觀看了斯莫利和他的研究生用他們?cè)O(shè)計(jì)的激光超團(tuán)簇發(fā)生器，在氦氣中用激光使碳化硅變成蒸汽的實(shí)驗(yàn)，克羅托對(duì)這臺(tái)儀器非常感興趣，這正是他所渴求的儀器。三位科 學(xué)家有意合作并安排在 1985 年 8 月到 9 月間進(jìn)行合作研究。是時(shí)，他們用高功率激光轟擊石墨，使石墨中的碳原子汽化，用氦氣流把氣態(tài)碳原子送入真空室。迅速冷卻后形成碳原子簇，再用質(zhì)譜儀檢測(cè)。他們解析質(zhì)譜圖后發(fā)現(xiàn)，該實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了含不同碳原子數(shù)的原子簇，其中相當(dāng)于 60 個(gè)碳原子，質(zhì)量數(shù)落在720 處的信號(hào)最強(qiáng)，其次是相當(dāng)于 70 個(gè)碳原子，質(zhì)量數(shù)為 840 處的信號(hào)，說(shuō)明 C60 和 C70 是相當(dāng)穩(wěn)定的原子簇分子（圖 1）。 C60 和 C70 具有什么樣的結(jié)構(gòu)呢？這是他們要解決的問(wèn)題。金剛石和石墨是具有三維結(jié)構(gòu)的巨型分子， C60 和 C70 是有固 定碳原子數(shù)的有限分子，它們應(yīng)該具有不同的結(jié)構(gòu)?？肆_托聯(lián)想到加拿大蒙特利爾萬(wàn)國(guó)博覽會(huì)的美國(guó)館，那是利用正五邊形和正六邊形拼接成的頂部近似于球面的一部分的建筑，它是由美國(guó)建筑學(xué)家巴克明斯特富勒（ Buckminster Fuller）設(shè)計(jì)的。富勒曾對(duì)克羅托等人啟發(fā)說(shuō)：“ C60 分子可能是球形多面體結(jié)構(gòu)”。 在富勒的啟發(fā)下，克羅托、斯莫利和科爾用硬紙板剪成許多五邊形和六邊形，終于用 12個(gè)五邊形、 20 個(gè)六邊形組成了一個(gè)中空的 32 面體，五邊形互不鄰接，而是與五個(gè)六邊形相接，每個(gè)六邊形又與 3 個(gè)六邊形