【正文】 足球中的物理學(xué) 迎接 2020 年世界杯特稿 【科研中國(guó) 整理】你會(huì)發(fā)現(xiàn)，透過精彩絕倫的比賽，看見的是實(shí)實(shí)在在的物理學(xué)，足球不僅僅是一種競(jìng)技游戲，一種文化，它有著更多可以發(fā)掘的內(nèi)涵，更多吸引我們的地方。 關(guān)鍵詞：物理學(xué)，足球，世界杯，弧線球，富勒烯 四年一度的足球界最大盛會(huì) 世界杯將于 6 月 7 日到 7 月 9 日在德國(guó)舉行，這是全世界球迷都翹首以盼的盛會(huì)。綠茵場(chǎng)上，一次次精彩紛呈的配合，一個(gè)個(gè)美妙絕倫的進(jìn)球，構(gòu)成了人類歷史上最偉大的體育運(yùn)動(dòng)。世界杯，便是這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)最重要的舞臺(tái)，那里充滿了勝利者的喜悅， 也充滿了失敗者的哀愁，那里為無數(shù)球迷留下了許多回憶，無論美好的還是傷心的，多年后都會(huì)化作不朽的傳奇永遠(yuǎn)留在球迷心中，留在足球運(yùn)動(dòng)的歷史上。 在足球場(chǎng)上，許多精彩的進(jìn)球都會(huì)被冠名為 ： “不可思議”，許多比賽的勝負(fù)都會(huì)被人定義為“逃脫不了宿命”，甚至有早有足壇名宿斷言 ： “足球是不可預(yù)測(cè)的 ！ ”那么足球真的神奇到難以理解的地步嗎 ？ 本文將從五個(gè)方面介紹足球一些物理學(xué)規(guī)律，以及足球與物理學(xué)其他方面的廣泛聯(lián)系。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，透過精彩絕倫的比賽，看見的是實(shí)實(shí)在在的物理學(xué)，足球不僅僅是一種競(jìng)技游戲，一種文化，它有著更多可以發(fā)掘的內(nèi) 涵，更多吸引我們的地方。 為什么球場(chǎng)上每隊(duì)有 11 名隊(duì)員 為什么不多不少，球場(chǎng)上每隊(duì)是 11 名隊(duì)員 ？ 這看似是一個(gè)很奇怪也很幼稚的問題，好像從現(xiàn)代足球誕生的那天起，正式比賽每隊(duì)都是上場(chǎng) 11 名球員，已經(jīng)是一個(gè)約定俗成結(jié)果。但面對(duì)這個(gè)問題，確實(shí)很難有人給出有說服力的答案。 引導(dǎo)科學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，正是一個(gè)一個(gè)不斷提出的“為什么”。面對(duì)為什么每隊(duì) 11 名球員這個(gè)問題，德國(guó)多特蒙德大學(xué)的物理學(xué)教授 Metin Tolan 給出了一個(gè)物理學(xué)上的解釋。通過一個(gè)可信的計(jì)算結(jié)果，使他相信，足球比賽中（除門將外）每隊(duì) 10 名球員可以確保比 賽的精彩程度。 無論是激烈的職業(yè)聯(lián)賽還是普通的友誼賽，比賽的精彩程度是很重要，也是球迷最關(guān)心的 ！ 一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算結(jié)果表明這樣一個(gè)事實(shí)：球場(chǎng)上隊(duì)員的數(shù)目對(duì)比賽的精彩程度起到十分關(guān)鍵的作用。 一個(gè)面積大約 7000 平方米的長(zhǎng)方形足球場(chǎng)，當(dāng)然有足夠空間能容納更多球員。但他們?nèi)绻伺c人之間距離太進(jìn)，拼搶頻率會(huì)非常高，球就會(huì)像彈子一樣在場(chǎng)上亂竄，場(chǎng)面上比賽將會(huì)變成一場(chǎng)業(yè)余比賽，沒有人能控的住球，比賽失去觀賞性。反之，如果人與人之間距離太遠(yuǎn)，就會(huì)出現(xiàn)相反的現(xiàn)象 ： 對(duì)方球隊(duì)會(huì)因?yàn)榫嚯x太遠(yuǎn)而，不能防守到位，整個(gè)比賽失去緊湊性。 經(jīng)過觀察和計(jì)算表明，決定性的因素是一個(gè)球員接傳過來的球，然后完成下一個(gè)處理球動(dòng)作的時(shí)間，以及對(duì)手為奪回控球權(quán)跑去防守這個(gè)人的時(shí)間，物理學(xué)家們計(jì)算出每個(gè)過程的時(shí)間大約需要 3 秒種。那么球員之間距離最理想的情況是 ： 場(chǎng)上每一名隊(duì)員于隊(duì)方隊(duì)員和本方隊(duì)員的距離大致相同，并且以球員的平均速度跑過這個(gè)距離的時(shí)間大約是 3 秒鐘。這時(shí)比賽會(huì)變得最為流暢和精彩。這種情況下，需要除守門員以外，場(chǎng)上共有 20 名隊(duì)員。因?yàn)橐?18 公里每小時(shí)的速度（足球場(chǎng)上拿球隊(duì)員的平均速度，職業(yè)球員在場(chǎng)上每秒鐘平均會(huì)跑 5 米， 3 秒鐘會(huì)跑大約 15 米，這就是場(chǎng)上 隊(duì)員理想的平均距離。對(duì)于一個(gè) 60米寬的足球場(chǎng)，剛好適合 4 名后衛(wèi)或 4 名中場(chǎng)的平行站位。 如圖，當(dāng)方塊隊(duì)剛開始進(jìn)攻，圓隊(duì)正回撤防守時(shí)，陣型會(huì)向圓隊(duì)方壓縮。對(duì)于兩個(gè)都是 4－ 4－ 2 菱形中場(chǎng)站位的球隊(duì)來說，此時(shí)每名隊(duì)員時(shí)間距離大致相同。 定位球的物理學(xué) 一、弧線球原理 一名有十年以上看球經(jīng)驗(yàn) 的球迷，肯定會(huì)記得 1997 年四國(guó)邀請(qǐng)賽上，羅伯特卡洛斯的那記左腳外腳背“ 香蕉球” ，堪稱最經(jīng)典的弧線球破門。 在 1997 年法國(guó)的四國(guó)邀請(qǐng)賽同東道主的比賽中，卡洛斯在 30 多米外主罰的任意球以一個(gè)很大的弧線擦立柱入網(wǎng)，當(dāng)時(shí)他發(fā)出去的球看上去似乎朝邊線飛去，但最終卻繞過了法國(guó)隊(duì)的人墻，并鬼使神差地鉆入了呆若木雞的巴特斯把守的球門。 為什么卡洛斯踢出的球能在空氣中劃出一個(gè)弧線 ？ 這需要用流體力學(xué)中中壓強(qiáng)和流速的關(guān)系來解釋。 小時(shí)候經(jīng)常玩的一個(gè)游戲 吹紙條。拿出一個(gè)小紙條，讓它在自然下垂。沿水平方向在它上面吹氣，紙條就會(huì)飄起，這是由于流動(dòng)氣體的壓強(qiáng)小。而解釋流動(dòng)氣體壓強(qiáng)為什么小，要借助 伯努利方程 來解釋。 為了推導(dǎo) 伯努利方程，我們首先要了解流體力學(xué)的兩個(gè)基本概念，即“ 理想流體 ”和“ 定常流動(dòng) ”。 理想流體： 液體不容易被壓縮，在不十分精確的研究中可以認(rèn)為液體是不可壓縮的。氣體容易被壓縮，但在研究流動(dòng)的 氣體時(shí)，如果氣體的密度沒有發(fā)生顯著的改變。也可以認(rèn)為氣體是不可壓縮的。流體流動(dòng)時(shí)，速度不同的各層流體之間有摩擦力（粘滯性）。不同的流體，粘滯性不同。油類的粘滯性較大，水、酒精的粘滯性較小，氣體的粘滯性更?。芯空硿孕〉牧黧w，在有些情況下可以認(rèn)為流體沒有粘滯性． 不可壓縮的、沒有粘滯性的流體，稱為理想流體． 定常流動(dòng) ：觀察一段河床比較平緩的河水的流動(dòng)，你可以看到河水平靜地流著，過一會(huì)兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速?zèng)]有什么變化。河水不斷地流走，可是這段河水的流動(dòng)狀態(tài)沒有改變。河水的這種流動(dòng)就是定常流動(dòng)。流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過空間各點(diǎn)的流速雖然可以不同，但如果空間每一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變，這樣的流動(dòng)就叫做定常流動(dòng)．自來水管中的水流，石油管道中石油的流動(dòng)，都可以看作定常流動(dòng)。 能形象的表述流體中特性的方程是伯努利方程，我們來看一下它的內(nèi)容 ： 伯努利方程 ： 現(xiàn)在研究理想流體做定常流動(dòng)時(shí)，流體中 壓強(qiáng)和流速的關(guān)系。 左圖表示一個(gè)細(xì)管，其中流體由左向右流動(dòng)。在管的 a1處和 a2處用橫截面截出一段流體，即 al處和 a 2處之間的流體，作為研究對(duì)象。 al處的橫截面積為 S1，流速為 vl，高度為 h1。 al處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為 p1，方向垂直于 Sl向右。 a2處的橫截面積為 S2，流速為 v2，高度為 h2． a2處右邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為 p2，方向垂直于 S2向左。 經(jīng)過很短的時(shí)間間隔 Δt ，這段流體的左端 Sl由 al移到 bl，右端 S2由 a2移到b2．兩端移動(dòng)的距離分別為 Δl 1和 Δl 2．左端流入的流體體積為 Δ V1＝ S1Δl 1，右端流出的流體體積為 ΔV 2＝ S2Δl 2，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，因此 ΔV l＝ ΔV 2，記為 ΔV 。 現(xiàn)在考慮左右兩端的力對(duì)這段流體所做的功。作用在左端的力 Fl＝ p1S1，所做的功 Wl＝ F1Δl l＝ p1S1Δl 1＝ p1ΔV ．作用在右端的力 F2＝ p2S2，所做的功 W2＝－F2Δl 2＝－ p2S2Δl 2＝－ p2ΔV 。外力所做的總功 W＝ W1＋ W2＝ (p1－ p2)ΔV 。 （ 1） 外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的機(jī)械能是 a1到 a2這段流體的機(jī)械能 E1，末狀態(tài)的機(jī)械能是 b1到 b2這段流體的機(jī)械能 E2。由 b1到 a2這一段，經(jīng)過時(shí)間 Δt ，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想的流體的定常流動(dòng)，流體的密度 ρ 和各點(diǎn)的流速 v 沒有改變，動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒有改變，所以這一段的機(jī)械能沒有改變。這樣，機(jī)械能的改變 E2－ E1就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能。 由于 m=ρΔV ，所以流入的那部分流體的動(dòng)能為： 重力勢(shì)能為 mgh1=ρgh 1ΔV 。 同時(shí) ,流出流體的動(dòng)能為： 重力勢(shì)能為 mgh2=ρgh 2ΔV 。 總機(jī)械能的改變?yōu)椋? （ 2） 理想流體沒有粘滯性，流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩端受的力所做的總功 W 等于機(jī)械能的改變 E2－ E1，即 W= E2－ E1 （ 3） 從（ 6）式可知，在流動(dòng)的液體中，壓強(qiáng)跟流速有關(guān)，流速 v 大的地方壓強(qiáng)p 小，流速 v 小的地方壓強(qiáng) p 大。這是流體中壓強(qiáng)和流速的關(guān)系。 通過（ 6）式，我們就可以解釋“香蕉球”的原理了： 如圖，足球在空中旋轉(zhuǎn)過程中（圖中為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），把足球作為參照物。相 對(duì)于迎面空氣來說，球左側(cè)運(yùn)動(dòng)方向與氣流方向相同，右側(cè)與氣流方向相反，