【正文】 )無(wú)法用初等方法求解（證明詳見 [24])。對(duì)于微分方程，方程的解無(wú)初等表示其對(duì)于應(yīng)用科學(xué)而言幾乎可視為不存在，因而從那個(gè)時(shí)代開始，微分方程定性研究以及對(duì)解的逼近和估計(jì)逐漸成為該領(lǐng)域的主要發(fā)展趨勢(shì)。 對(duì)于確定性微分方程 () Picard 已經(jīng)證明了著名的 Picard 存在與唯一性定理，這一定理不僅為使用數(shù)值方法研究微分方程提供了重要理論保證和技巧支撐，甚至最終 Poincare 及 Birkhoff 以常微分方程解對(duì)初值的存在唯一性為根基，將解對(duì)時(shí)間以及初值的某種群性質(zhì)進(jìn)一步抽象化，形成了抽象動(dòng)力系統(tǒng)理論體系。 除了動(dòng)力系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論之外， Birkhoff 的另一大成就是對(duì)于解的回復(fù)性的。研究發(fā)現(xiàn)解的回復(fù) 性已成為動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域最主要的研究方向之一?；貜?fù)性是指，在經(jīng)過充分長(zhǎng)的時(shí)間后，解（或者動(dòng)力系統(tǒng)的軌線）會(huì)回到初值或初值在某一拓?fù)湟饬x下的“附近”。從物體運(yùn)動(dòng)的角度描述就是，所論移動(dòng)物體經(jīng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間會(huì)回到包含出發(fā)點(diǎn)的某個(gè)有限區(qū)域中。注意到歐氏空間里有界性蘊(yùn)含緊性，因而解或軌線的有界性是其具有回復(fù)性的一個(gè)必要條件。 于是研究如何得到微分方程的有界解開始變得有意義。但遺憾的是，至今仍沒有有效的方法在不確定微分方程解的一些其他特別性質(zhì)之前確定有界解的存在，因而在研究有關(guān)回復(fù)性或穩(wěn)定性（通過 Lyapunov 對(duì)穩(wěn)定性的 定義我們不難看出，穩(wěn)定性是一種強(qiáng)回復(fù)性）的經(jīng)典文獻(xiàn)中（見 Yoshizawa [25][26][28][29], Fink [8] 以及 Levitan [31]),人們都在需要有界解時(shí)直接假設(shè)其存在。本文中我們考慮了一些十分特殊的隨機(jī)微分方程的均方有界解的存在性。 2 布朗運(yùn)動(dòng) 人類對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的研究始于 1827 年，英國(guó)植物學(xué)家 R. Brown [1]發(fā)現(xiàn)散布在液體或氣體中的微粒（確切說是花粉顆粒）的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。但 Brown 的 研究?jī)H出于博物學(xué)的目的并基于直觀觀察： Brown通過顯微鏡發(fā)現(xiàn)花粉顆粒在熱作用下的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜，他無(wú)法描述其一般規(guī)律，同時(shí)他并未視之為一般現(xiàn)象，而是作為花粉的某種特性進(jìn)行描述， Brown 對(duì)這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的總結(jié)是：花粉運(yùn)動(dòng)無(wú)規(guī)律，永不停歇，隨花粉顆粒變小和溫度變高而增強(qiáng)。這是與早期百科全書學(xué)派視科學(xué)研究為對(duì)客觀事物分類，歸納和觀察記錄的態(tài)度相契合的。而這種最早以理性的，科學(xué)的視角理解布朗運(yùn)動(dòng)的人是Albert Einstein。 Einstein 在他的“奇跡年”（ 1905 年 [6])對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)做出了數(shù)學(xué)解釋，并以布朗運(yùn)動(dòng)的形式提出了隨機(jī)微分方程的概念（詳見 [7])。由于布朗運(yùn)動(dòng)顯 然與熱運(yùn)動(dòng)相關(guān)，而隨后人們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象在微觀粒子中更加普遍，因而人們描述做布朗運(yùn)動(dòng)的粒子為布朗粒子（ Brownian Particle)，于是布朗運(yùn)動(dòng)吸引了物理學(xué)家的目光，并由對(duì)此的研究發(fā)展出了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。在 Einstein 的年代，數(shù)學(xué)界還不存在現(xiàn)代概率論或隨機(jī)過程理論，因而他對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的看法是基于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的，因而 Einstein 的隨機(jī)微分方程從數(shù)學(xué)角度看來(lái)仍顯得不夠嚴(yán)格 [17]。 Einstein 對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的描述是，時(shí)間的存在是依靠事件的發(fā)生的，因而時(shí)間開始的標(biāo)志則是物理事件，即熱運(yùn)動(dòng)或稱熱擴(kuò)散；而宇宙在時(shí)間開始 (這被 Einstein 稱為“以前”）前是“熱寂”的，因而布朗運(yùn)動(dòng)的密度（分布 ) ),(p tx (其中 x 代表空間 ,t 為時(shí)間）可理解為熱擴(kuò)散方程： 02 ????? utu ? （ ) 在 0 時(shí)刻以零為初值的解。而（ )中系數(shù) ? 被稱為擴(kuò)散系數(shù)，而其解為 txettxp????40 24),( ??， 這揭示了布朗運(yùn)動(dòng)與正態(tài)分布間的關(guān)系。 1906 年 ， Smoluchowski [21]獨(dú)立于 Einstein 描述了布朗運(yùn)動(dòng)，并奠定了隨機(jī)過程理論的重要基礎(chǔ)。 1908 年， Perrin 利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了描述布朗運(yùn)動(dòng)的方程。 Langevin [13]于1908 年繼續(xù) Einstein 的研究思路，針對(duì)做布朗運(yùn)動(dòng)的微觀粒子，用一個(gè)描述確定性動(dòng)力系統(tǒng)的二階微分方程逼近布朗運(yùn)動(dòng)： )(22 tdtdxdt xdm ?? ??? ， （ ) 3 m 描述了布朗運(yùn)動(dòng)，此即物理學(xué)中著名的 Langevin 方程，物理學(xué)界一度稱隨機(jī)微分方程為 Langevin 方程。上式中 ， 代表粒子質(zhì)量； A 仍為 Einstein 定義的擴(kuò)散項(xiàng)，與熱運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散性相關(guān)；而最后的 ? 則是一個(gè)隨機(jī)過程代表來(lái)自其它粒子的擾動(dòng)。但這些方程并未建立有關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)的一般理論。后來(lái) Wiener [23]于 1923 年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)做出了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義，因而布朗運(yùn)動(dòng)又稱 Wiener 過程。事實(shí)上，由于粒子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，只要研究的出發(fā)點(diǎn)不同，布朗運(yùn)動(dòng)就像隨機(jī)微分方程一樣，有著眾多彼此不同的定義，但這些定義的本質(zhì)并無(wú)二致。 本文結(jié)構(gòu) 本文主體部分由四章組成 .第一章為緒論，系統(tǒng)地介紹了本文的研究背景；第二章介紹了本文中各種符號(hào)的定義和我們主要應(yīng)用的預(yù)備知識(shí)；第三章中，我們簡(jiǎn)單地討論了如何利用一些具有特殊性質(zhì)的 Lyapunov 函數(shù)來(lái)判斷隨機(jī)微分方程是否具有均方有界的解。第四章，給出了結(jié)論。限于水平，文中出現(xiàn)不當(dāng) 處敬請(qǐng)各位專家批評(píng)指正，萬(wàn)分感謝！ 4 2 預(yù)備知識(shí) 本章中我們會(huì)介紹一下本文涉及的一些預(yù)備知識(shí)。 Lyapunov 函數(shù) 李亞普諾夫函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù) ,Lyapunov function）是用來(lái)證明一 動(dòng)力系統(tǒng) 或自治微分方程 穩(wěn)定性的函數(shù)。 其名稱來(lái)自 俄國(guó) 數(shù)學(xué)家 亞歷山大李亞普諾夫 （ Aleksandr Mikhailovich Lyapunov）。李亞普諾夫函數(shù)在穩(wěn)定性理論及控制理論中相當(dāng)重要。 若一函數(shù)可能可以證明系統(tǒng)在某平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，此函數(shù)稱為李亞普諾夫候選函數(shù)（ Lyapunovcandidatefunction）。不過目前還找不到一般性的方式可建構(gòu)（或找到）一個(gè)系統(tǒng)的李亞普諾夫候選函數(shù)，而找不到李亞普諾夫函數(shù)也不代表此系統(tǒng)不穩(wěn)定。在 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 中，有時(shí)會(huì)利用 守恒律 來(lái)建構(gòu)李亞普諾夫候選函數(shù)。 針對(duì)自治系統(tǒng)的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數(shù)的特性。在尋找一個(gè)系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性時(shí)，此定理是很有效的工具。不過此定理只是一個(gè)證明平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的充份條件，不是必要條件。而尋找李亞普諾夫函數(shù)也需要碰運(yùn)氣，通常會(huì)用 試誤法 （ trial and error）來(lái)尋找李亞普諾夫函數(shù)。 Lyapunov 指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo) ,它表示了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)混沌 , 可以從最大Lyapunov 指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來(lái)：一個(gè)正的 Lyapunov 指數(shù) ,意味著在系統(tǒng)相空間中 ,無(wú)論初始兩條軌線的間距多么小 ,其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無(wú)法預(yù)測(cè) ,這就是混沌現(xiàn)象。 Lyapunov 指數(shù)的和表征了橢球體積的增長(zhǎng)率或減小率 ,對(duì) Hamilton 系統(tǒng) ,Lyapunov 指數(shù)的和為零 。 對(duì)耗散系統(tǒng) ,Lyapunov 指數(shù)的和為負(fù)。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) ,那么所有的 Lyapunov 指數(shù)通常是負(fù)的。 Lyapunov 最早對(duì)確定性微分方程做出的穩(wěn)定解定義（詳見 [15][16])時(shí)考慮到了解與初值的依存關(guān)系。 Lyapunov 對(duì)這種與初值有關(guān)的穩(wěn)定性給出了一個(gè)充分條件，或者說提供了一種判別方法。這種方法的技術(shù)內(nèi)核是，定義一種對(duì)高維自變量 x 正定的函數(shù) : 定義 (Lyapunov 函數(shù)） 首先假設(shè)存在函數(shù) dRRV ?:(.,.) ,滿足下列條件 : I) ),( xtV 在 dRR? 上連續(xù)； II) ),( xtV 滿足正定性（ Positively definite),即，對(duì)任意 ,0),(,0, ??? xtVxRt 并且 0)0,( ?tV . 5 我們通常稱滿足上述性質(zhì) i, ii 的函數(shù)為 Lyapunov 函數(shù)。 由于 ),(xtV 的連續(xù)性， 當(dāng) ),xt（ 包含于空間 dRR? 中任一 緊集 SIK ?? (此 處? ? dRSRbaI ??? , 為緊集 )，則顯然 V 在 K 上有界，從而當(dāng) )(txx? 為方程（ )的一個(gè)解，并且諸有界性條件仍然存在時(shí)，我們有： ? ?),(),(1l i m:),(0 xtVxhtVhxtV h ??? ???， () 上述 ),( xtV? 在部分文獻(xiàn)中 [27][30]被記為 ),()( xtV? 。若我們將上面定義 中條件 i 改為V 連續(xù)可微，則顯然 ),( xtV 在 K 上對(duì) t 的偏導(dǎo)數(shù)（有時(shí)稱為右上導(dǎo)數(shù)）存在，且關(guān)系式 ()轉(zhuǎn)變?yōu)椋? ? ?? ?? ?))(,())(,())(,())(,()())(,()(,(1l i m))(,())(,(1l i m),(),(1l i m),(000)(txtftxtxVtxttVtxtVhotxthftxhtVhtxtVhtxhtVhxtVxhtVhxtVhhh???????????????????????? () 上式中第三個(gè)等式利用了微分方程解的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的定義 ,其中 )(ho 是 在 0?h 時(shí)的高階無(wú)窮小量；第四個(gè)等式則利用了根據(jù)鏈鎖規(guī)則。對(duì)此要注意的是，若方程的解是 ?n 維取值的，即 ))(,),(),(()( 21 txtxtxtx n?? ， 而方程為 dtxtfdx ),(? ， 其中 )),(,),(),((),( 21 xtfxtfxtfxtf n?? . 則有（ )的高維形式： ))(,()(,())(,(),(1)( txtftxtxVtxtdtdVxtV ini i ?????? ??. （ ） 6 解的存在唯一性 我們首先對(duì)比一下確定性系統(tǒng)的兩種獲得解存在唯一性的方法：最常見的當(dāng)然是 Picard定理： 定理 若常微分方程 ()的系數(shù) ),( xtf 在閉域： bxtR ???? ??? ,: 上連 續(xù)，并滿足局部 Lipschitz 條件 yxLytfxtf ??? ),(),( ， 其中 0?L 為 Lipschitz 常數(shù) ,則在 R 上 ()存在唯一解滿足初值問題 ?? ?)(x 。事實(shí)上，解的存在唯一性與 Lyapunov 具有一定的關(guān)聯(lián)。我們假設(shè)上一節(jié)中提及的 Lyapunov 函數(shù)滿足某種 Lipschitz 性： yxLytVxtV ??? ),(),( ， 則對(duì)連續(xù)可微函數(shù) )(tx ， )(ty 有 ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 txtVhtxhtVhtxtV h ????? ??， ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 tytVhtyhtVhtytV h ????? ??， 于是 ? ?? ?? ?)()(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m))(,(0000htxhtyLhtxtVhtxhtVhhtxhtVhtyhtVhtytVhtxhtVhtytVhhhh??????????????????????????? 不難想象，利用 Lyapunov 函數(shù)同樣可以得到解的存在唯一性： 定理 (詳見 [30])首先，若已知某個(gè)函數(shù) )(t? ）是微分方程 ()的解，則顯然 ()經(jīng)過偏移可得： )),(,( txtfx ???? 于是解 )(t? 的唯一性體現(xiàn)在上一方程零解的唯一性。因而直接假設(shè) 0)0,( ?tf 。則若存在Lyapunov 函數(shù) ),( xtV 滿足 Lipschitz 條件，則（ )的解在 ? ???，0 上是對(duì)初值唯一存在的。 7 布朗運(yùn)動(dòng)與隨機(jī)微分方程 通過微分方程