【正文】 關(guān)于動(dòng)態(tài)均衡分析方法 . 許多商品特別是某些生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品 (如豬肉 ,棉花等 )，他們的的市場(chǎng)價(jià)格、數(shù)量會(huì)隨時(shí)間的變化而發(fā)生變化 ,呈現(xiàn)時(shí)漲時(shí)跌、時(shí)增時(shí)減、交替變化的規(guī)律 . 1930 年美國(guó)的 舒爾茨 、荷蘭的 丁伯根 和意大利的 里奇 各自獨(dú)立提出 ,由 于價(jià)格和產(chǎn)量的連續(xù)變動(dòng)用圖形表示猶如蛛網(wǎng)， 1934 年英國(guó)的尼古拉斯卡爾多將這種理論命名為蛛網(wǎng)理論 .蛛網(wǎng)模型理論是在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用較多、較廣的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型，它在一定范圍內(nèi)揭示了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，對(duì)實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)作用 .根據(jù)產(chǎn)品需求彈性與供給彈性的不同關(guān)系，將波動(dòng)情況分成三種類(lèi)型：收斂型蛛網(wǎng)（供給彈性小于需求彈性）、發(fā)散型蛛網(wǎng)（供給彈性大于需求彈性）和封閉型蛛網(wǎng) (供給彈性等于需求彈性 ).近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)經(jīng)典的蛛網(wǎng)模型進(jìn)行了廣泛的的研究并做了一些改進(jìn) ,建立了更符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的蛛網(wǎng)模型 . 在這些研究中 ,對(duì)蛛網(wǎng) 模型的假設(shè)基本上是基于單一商品市場(chǎng)上 ,將時(shí)間離散化后 ,從差分方程的角度入手 , 研究蛛網(wǎng)模型的穩(wěn)定性 ,并通過(guò)討論模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 ,得到了蛛網(wǎng)模型穩(wěn)定的條件 .實(shí)際上，價(jià)格是影響商品需求量、供給量因素 ,但并非唯一因素，例如人們對(duì)某種商品的需求量不僅與商品的價(jià)格有關(guān) ,也與人們當(dāng)期的可支配收入、當(dāng)期價(jià)格上漲率等有關(guān)；另一方面，由于市場(chǎng)信息的滯后作用，生產(chǎn)者在進(jìn)行市場(chǎng)價(jià)格與供給預(yù)測(cè)時(shí)，不僅會(huì)考慮前一期的價(jià)格，還會(huì)考慮到前幾期甚至更長(zhǎng)一段時(shí)期商品價(jià)格的綜合趨勢(shì)，因此考慮時(shí)滯效應(yīng)的非均衡蛛網(wǎng)模型更具有實(shí)際意義 .本文建立了 蛛網(wǎng)理論的數(shù)學(xué)模型 ,給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析與論證，使蛛網(wǎng)理論有了一個(gè)更加完備的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為這一理論的量化分析提供了新的思路 . 蛛網(wǎng)模型有三種表現(xiàn)形態(tài)： 蛛網(wǎng)模型考察的是生產(chǎn)周期較長(zhǎng)的商品 .蛛網(wǎng)模型的基本假設(shè)條件是：商品的本期產(chǎn)量 2tQ 決定于前一期的價(jià)格 1?tP ，即供給函數(shù)為 ? ?? ?? 1tst PQ .商品本期的需求量 dtQ 決定于本期的價(jià)格 tP ，即需求函數(shù)為 ? ?tdt PgQ ? .文中用 tP 、 tQ 、 dtQ 、 stQ 分別表示 t 時(shí)刻的價(jià)格、數(shù)量、需求量、供給量 .蛛網(wǎng)模型是一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，它根據(jù)供求曲線的彈性分析了商品的價(jià)格和產(chǎn)量波動(dòng)的三種類(lèi)型：“收斂型蛛網(wǎng)”、“發(fā)散型蛛網(wǎng)”和“封閉型蛛網(wǎng)” . 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 3 第一種類(lèi)型：如圖 ，相對(duì)于價(jià)格軸，需求曲線斜率的絕對(duì)值大于供給曲線斜率的絕對(duì)值 .當(dāng)市場(chǎng)受到干擾偏離原有 的均衡狀態(tài)以后，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量會(huì)圍繞均衡水平上下波動(dòng)，但波動(dòng)的幅度越來(lái)越小，最后會(huì)恢復(fù)到原來(lái)的均衡點(diǎn) .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱(chēng)為“收斂型蛛網(wǎng)” . 由于某種原因的干擾，如惡劣的氣候條件，實(shí)際產(chǎn)量由均衡水平 eQ 減少為 1Q .根據(jù)需求曲線，消費(fèi)者愿意以?xún)r(jià)格 1p 購(gòu)買(mǎi)全部產(chǎn)量 1Q ，于是，實(shí)際價(jià)格上升為 1p . 根據(jù)第一期較高的價(jià)格水平 1p ，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為 2Q ；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部產(chǎn)量 2Q ，接受消費(fèi)者支付的價(jià)格 2p ，于是實(shí)際價(jià)格下降為 2p .根據(jù)第二期較低的價(jià)格 2p ,生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為 3Q ；在第三期，消費(fèi)者愿意支付 3p 的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)全部的產(chǎn)量 3Q ,于是實(shí)際價(jià)格又上升為 3p .根據(jù)第三期的較高的價(jià)格 3p ，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量調(diào)整為 4Q . 圖 收斂型蛛網(wǎng) 依此類(lèi)推，如圖 所示，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量的 波動(dòng)幅度越來(lái)越小，最后恢復(fù)到均衡點(diǎn) E 所代表的水平 .由此可見(jiàn)，圖 中均衡點(diǎn) E狀態(tài)是穩(wěn)定的 .也就是說(shuō)，由于外在的原因，當(dāng)價(jià)格與產(chǎn)量發(fā)生波動(dòng)而偏離均衡狀態(tài) ? ?eeQP. 時(shí)，經(jīng)濟(jì)體系中存在著自發(fā)的因素，能使價(jià)格和產(chǎn)量自動(dòng)的恢復(fù)均衡狀態(tài) .在圖 中，產(chǎn)量與價(jià)格變化的路徑就形成了一個(gè)蜘蛛網(wǎng)似的圖形 . 從圖 ,只有當(dāng)供給曲線斜率的絕對(duì)值大于需求曲線斜率的絕對(duì)值時(shí) ,即供給曲線比需求曲線較為陡峭時(shí) ,才能得到蛛網(wǎng)穩(wěn)定的結(jié)果 ,相應(yīng)的蛛網(wǎng)被 稱(chēng)為“收斂型蛛網(wǎng)” .在這里 ,我們看到 ,除第一期受到外在原因干擾外 ,其它各期都不會(huì)再受新的外在原因干擾 ,從而前一期的價(jià)格能夠唯一決定下一期的產(chǎn)量 .按照動(dòng)態(tài)的邏輯順序 ,我們 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 4 還看到 ,生產(chǎn)者片面地根據(jù)上一期的價(jià)格決定供給量 , 消費(fèi)者被動(dòng)地消費(fèi)生產(chǎn)者提供的全部生產(chǎn)量 ,而價(jià)格則由盲目生產(chǎn)出來(lái)的數(shù)量所決定 . 第二種類(lèi)型：如圖 ，相對(duì)于價(jià)格軸，需求曲線斜率的絕對(duì)值小于供給曲線斜率的絕對(duì)值 .當(dāng)市場(chǎng)受到外力干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量會(huì)圍繞均衡水平上下波動(dòng)，但波動(dòng)的幅度越來(lái)越大，最后會(huì)偏離原來(lái)的均衡 點(diǎn) .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱(chēng)為“發(fā)散型蛛網(wǎng)” . 圖 發(fā)散型蛛網(wǎng) 假定在第一期由于某種原因的干擾，實(shí)際產(chǎn)量由均衡水平 eQ 減少為 1Q .根據(jù)需求曲線，消費(fèi)者愿意支付價(jià)格 1p 購(gòu)買(mǎi)全部產(chǎn)量 1Q ，于是實(shí)際 價(jià)格上升為 1p ，根據(jù)第一期較高的價(jià)格水平 1p ，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為 2Q ；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部產(chǎn)量 2Q ，接受消費(fèi)者支付的價(jià)格 2p ，于是實(shí)際價(jià)格下降為 2p .根據(jù)第二期較低的價(jià)格 2p ,生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為 3Q ；在第三期，消費(fèi)者愿意支付 3p 的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)全部的產(chǎn)量 3Q ,于是實(shí)際價(jià)格又上升為 3p ；根據(jù)第三期的較高的價(jià)格 3p ，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量調(diào)整為 4Q . 依此類(lèi)推，如圖 所示，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量的波動(dòng)幅度越來(lái)越大，最后偏離均衡點(diǎn) E 所代表的水平 .由此可見(jiàn)，圖 中均衡點(diǎn) E 所代表的均衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的 . 從圖 ，當(dāng)相對(duì)于價(jià)格軸，需求曲線斜率的絕對(duì)值小于供給曲線斜率的絕對(duì)值時(shí)，即相對(duì)于價(jià)格軸而言，需求曲線比供給曲線較為平緩時(shí)，才能得到蛛網(wǎng)不穩(wěn)定的結(jié)果 .所以供求曲線的上述關(guān)系是蛛網(wǎng)不穩(wěn)定的條件，當(dāng)市場(chǎng)由于受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量會(huì)圍繞均衡水平上下波動(dòng)，但波動(dòng)的幅度越來(lái)越大，偏離原來(lái)的均衡點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn) .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱(chēng)為“發(fā)散型蛛網(wǎng)” . 第三種類(lèi)型：如圖 ,相對(duì)于價(jià)格 軸，需求曲線斜率的絕對(duì)值等于供給曲線斜率的絕對(duì)值時(shí) .市場(chǎng)受到外力干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量會(huì) 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 5 按照同一幅度圍繞均衡水平上下波動(dòng)，既不偏離，也不趨向均衡點(diǎn) .相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱(chēng)為“封閉型蛛網(wǎng)” . 對(duì)于圖 中 ,不同時(shí)點(diǎn)的價(jià)格與供求量之間的解釋與前兩種情況類(lèi)似，故從略 .從圖 可看出，當(dāng)相對(duì)于價(jià)格軸，需求曲線斜率的絕對(duì)值等于供給曲線斜率的絕對(duì)值時(shí)，即相對(duì)于價(jià)格軸而言，供求曲線具有相同的陡峭與平緩程度時(shí)，蛛網(wǎng)以相同的幅度上下波動(dòng)，相應(yīng)的蛛網(wǎng)稱(chēng)為“封閉型蛛網(wǎng)” . 圖 封閉型蛛網(wǎng) 蛛 網(wǎng) 模型的 數(shù) 理 說(shuō) 明 假定供給和需求函數(shù)都是線性的，蛛網(wǎng)模型可由以下方程表示： t tDP???? () 1ttSP????? ? () ttDS? () 其中αβδγ均為常數(shù) ,且均大于零 , tD 為第 t 期的需求量 ,tS 為第 t期的供給量 , tP 為第 t 期的價(jià)格 , 1tP? 為第 t1 期的價(jià)格。 當(dāng)市場(chǎng)均衡時(shí) ,均衡價(jià)格 1e t tP P P??? ,此時(shí)可得均衡價(jià)格為 : eP ?????? ? 如果 tP ≠ 1tP? ,則由 () () () 可得一階線性非齊次差分方程 : 1ttPP? ? ???? ?? ? ? ?12bb () 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 6 設(shè)產(chǎn)品剛投放市場(chǎng)（ t=0 時(shí)） 的價(jià)格為 0P ,則可得上述一階線性非齊次差分方程的解為 ：0( )( ) tt e eP P P P??? ? ? ? 上述解表明實(shí)際價(jià)格 0P 是時(shí)間的函數(shù) ,由于 ()t???可正可負(fù) ,因此實(shí)際價(jià)格 tP 將圍繞均衡價(jià)格 eP 上下波動(dòng) , 0P 的波動(dòng)將出現(xiàn)下面三種情況： （ 1） 當(dāng) 1????時(shí)，0l im l im [ ( ) ( ) ]tt e e ettP P P P P??? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） 這說(shuō)明 ,價(jià)格 P 隨著時(shí)間的推移 ,其波動(dòng)幅度愈來(lái)愈小 ,最終趨向于均衡價(jià)格 eP 。事實(shí)上 ,此時(shí)因需求彈性??????? p pEDP,供給彈性?? ??? PPEDP。所以當(dāng) 1????，即??? 時(shí)，可推得 11()SP D PEE ????,即供給彈性的絕對(duì)值小于需求彈性的絕對(duì)值 (需求曲線斜率的絕對(duì)值小于供給曲線斜率的絕對(duì)值 ) ,這說(shuō)明價(jià)格變動(dòng)對(duì)供給量的影響小于對(duì)需求量的影響。因此 ,價(jià)格對(duì)產(chǎn)量的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)會(huì)越來(lái)越弱 ,最終使價(jià)格和產(chǎn)量都趨向于均衡水平點(diǎn) E。這種情況正是蛛網(wǎng)模型的收斂形態(tài) ,而供求曲線的上述定量關(guān)系正是“蛛網(wǎng)”趨于穩(wěn)定的條件。 （ 2）當(dāng) ??? ?1，0l im l im [ ( ) ( ) ]tt e ettP P P P??? ? ? ?? ? ? ?=? （ ） 這說(shuō)明，價(jià)格隨著時(shí)間的推移，其波動(dòng)幅度愈來(lái)愈大，實(shí)際價(jià)格 tP 振蕩不收斂 ,最終離均衡價(jià)格 eP 越來(lái)越遠(yuǎn)。事實(shí)上 ,此時(shí)可推得 : 11()SP DPEE ????。 即供給彈性的絕對(duì)值大于需求彈性的絕對(duì)值（需求曲線斜率的絕對(duì)值大于供給曲線斜率的絕對(duì)值 ),這說(shuō)明價(jià)格變動(dòng)對(duì)供給量的影響大于對(duì)需求量的影響。因此 ,價(jià)格對(duì)產(chǎn)量的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)越來(lái)越強(qiáng) ,最終使價(jià)格和產(chǎn)量都遠(yuǎn)離均衡水平點(diǎn) E。這種情況正是蛛網(wǎng)模型的發(fā)散形態(tài) ,而供求曲線的上述定量關(guān)系正是“蛛網(wǎng)”不穩(wěn)定的條件。 （ 3）當(dāng) ???=1 ， limtt P?? 在 t 為偶數(shù)時(shí)極限為 0P ,在 t 為奇數(shù)時(shí)極限為 02 ePP? , 這說(shuō)明 ,實(shí)際價(jià)格 P 隨時(shí)間的推移 ，振蕩不收斂。事實(shí)上 ,此時(shí)可推得 : 11()S P D PEE ???? （ ） 即供給彈性的絕對(duì)值 (需求彈性的絕對(duì)值曲線斜率的絕對(duì)值等于供給曲線斜率的絕對(duì)值 ),這說(shuō)明價(jià)格變動(dòng)對(duì)供求雙方的影響完全一致 ,其波動(dòng)最終使實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量始終與均衡水平點(diǎn)保持一定距離 ,循環(huán)往復(fù) ,既不向內(nèi)收斂 ,也不向外發(fā)散 ,這種情況正是蛛網(wǎng)模型的封閉形態(tài) ,而供求曲線的上述定量關(guān)系正是“蛛網(wǎng)”不穩(wěn)定的條件 長(zhǎng)沙學(xué)院 畢業(yè)論文 7 綜上所述 ,蛛網(wǎng)模型的經(jīng)濟(jì)解釋與數(shù)學(xué)機(jī)理歸納如下 : 表 蛛網(wǎng)模型的經(jīng)濟(jì)解釋與數(shù)學(xué)機(jī)理 市場(chǎng)均衡點(diǎn)移動(dòng)軌跡 價(jià)格和產(chǎn)量波動(dòng)幅度 供求曲線斜率（絕對(duì)值） 供求曲線彈性（絕對(duì)值） 均衡狀態(tài) 收斂型波動(dòng) 越來(lái)愈小 D ? S SP DPEE? 穩(wěn)定 發(fā)散型波動(dòng) 越來(lái)愈大 D ? S SP DPEE? 不穩(wěn)定 封閉型波動(dòng) 固定不變 D ? S SP DPEE? 不穩(wěn)定 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型及推廣 在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，當(dāng)產(chǎn)品供大于求的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)中價(jià)格下降，而生產(chǎn)者將會(huì)減少產(chǎn)量，繼而又會(huì)造成市面上供不應(yīng)求，自然價(jià)格會(huì)有所上漲，在 后一階段，生產(chǎn)者又會(huì)增加產(chǎn)量，在市面上又出現(xiàn)了供大于求，形成了循環(huán)的現(xiàn)象。 那么出現(xiàn)了下列問(wèn)題： 1：怎么描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律？ 2：商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定？ 3：當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)我們能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定？ 設(shè) kx 第 k時(shí)段商品數(shù)量； ky 第 k時(shí)段商品價(jià)格 ，再 設(shè) 消費(fèi)者的需求關(guān)系 ： )( kk xfy ? 可知為 減函數(shù)，而 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系為 )( 1?? kk xgy 亦可知為 增函數(shù)，可得到： )(1 kk yhx ??如