直角坐標(biāo)系的分離變量法-文庫吧
2025-04-24 23:56 本頁面
【正文】 分離為 X (x)的常微分方程 的邊值條件 T (t)的常微分 方程 思考：若方程或邊條件之一為非齊次的，是否能 直接成功地分離變量？ 2）②和③的解相乘構(gòu)成的特解一定滿足偏微分 方程定解問題①中的齊次方程和齊次邊條件。 偏微分方程 的定解問題 （ 3） 求解常微分方程的邊值問題 —— 本征值問題 初值問題與邊值問題的區(qū)別 對自變量 t同一點(diǎn) (t=0)給出的不同初條 件 ??????????gTfTtTtT)0(,)0(0)()( ? 初值問題 ??????????? ??0)(,0)0(0)()(lxx ? 邊值問題 對自變量中兩個不同的端點(diǎn)提出的 條件 邊值問題的突出特點(diǎn)是：其解與 ?的取值密切相關(guān)， 本征值問題：含有待定參量的邊值問題 本征值：對應(yīng)邊值問題有非零解的參數(shù) ?n的取值 本征函數(shù)：邊值問題的非零解 X n (x) 所謂求解本征值問題就是將全部的本征值及相應(yīng)的 全體 線性無關(guān) 的本征函數(shù)求出來 ??????????nnn? 下面求解本征值問題②： ??????????? ??0)(,0)0(0)()(lxx ?② 因?yàn)? 是厄米算子，本征值 ?一定是實(shí)數(shù) 22ddx?特征方程： 220,rr??? ? ? ?ⅰ . ?0 特征方程： 0,022 ????????? ???? rrr0)0( ??? BAX0)( ??? ??? ll BeAelX ??通解： xx BeAexX ?? ??? ??)( 代入邊條件 上式可視為關(guān)于 A、 B的二元一次方程組，由方程 理論知，二元一次齊次方程組有非零解的充要條件 是其系數(shù)行列式為零 011 ??? ?????? llll eeee ????∴ A、 B只有零解 → X (x)=0 ∴ ?0不是②的本征值（因?yàn)??0時所有情況都不能 得到 X (x)的非零解） ⅱ .?＝ 0 0)( ??? xX解得： BAxxX ??)(代入邊條件： 0)0( ?? BX00)( ???? AAllX∴ X (x)=0，即 ?＝ 0不是本征值 ⅲ . ?0 0)()( ???? xXxX ?特征方程： ??? irrr ?????? ,0 22通解： xBxAxX ?? s i nc o s)( ??代入邊條件： 0)0( ?? AX0s in)( ?? lBlX ?兩分子乘積為零只有是： ?????0sin0lB?因?yàn)?B=0不可?。?X (x)不為零），所以只有 0s in ?l? ?? nl ??2,1,2????????? nlnn??xlnBX nn ?s in? ∴ ② 的解為： ?2,1s i n)(2???????????????????????nxlnxXlnnn???本征函數(shù)本征值 ④ 注： Ⅰ . n=0, ?＝ 0， X (x)＝ 0，所以 n=0不能要 Ⅱ .n0，與 n0是線性相關(guān)的 例： xln?sin與 xlnxln ?? s in)s in( ???∴ 只取 n0 Ⅲ . xln?sin與 xlnB n ?sin 線性相關(guān) ∴ 取
醫(yī)療健康相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1