【正文】 ??? ? ? ??? ? ? ? ????xx v其中 12[] cK K K P?? 被控系統(tǒng) ?(A,B,C)狀態(tài)不完全能控 ,則一定存在線性變換x=Pc ,對(duì)其可進(jìn)行能控分解 ,得到如下狀態(tài)空間模型 : x狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理 (9/11) ? 由上式可知 ,狀態(tài)完全不能控子系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值不能通過狀態(tài)反饋改變 ,即該部分的極點(diǎn)不能配置。 22~A? 雖然狀態(tài)完全能控子系統(tǒng)的 的特征值可以任意配置 ,但其特征值個(gè)數(shù)少于整個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 的特征值個(gè)數(shù)。 11~AA? 因此 ,系統(tǒng) 的所有極點(diǎn)并不是都能任意配置。 ( , , )A B C?? 由于線性變換不改變系統(tǒng)特征值 ,因此系統(tǒng) ?(A,B,C)的極點(diǎn)并不是都能任意配置的。 ? 這與前面假設(shè)矛盾 ,即證明被控系統(tǒng) ?可任意極點(diǎn)配置 ,則是狀態(tài)完全能控的。 ? 故必要性得證。 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理 (10/11) ? 由能控規(guī)范 II形的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 表明 ,狀態(tài)反饋雖然可以改變系統(tǒng)的極點(diǎn) ,但不能改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。 ? 當(dāng)被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時(shí) ,其極點(diǎn)可以進(jìn)行任意配置。 ? 因此 ,當(dāng)狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)恰好配置與開環(huán)的零點(diǎn)重合時(shí) ,則閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中將存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象。 ? 根據(jù)零極點(diǎn)相消定理可知 ,閉環(huán)系統(tǒng)或狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀。 )(...)(...)(11111kaskasbsbsGnnnnnnk ??????????狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置定理 (11/11) ? 由于狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)保持其開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控特性 ,故該閉環(huán)系統(tǒng)只能是狀態(tài)不完全能觀的。 ? 這說明了狀態(tài)反饋可能改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。 ? 從以上說明亦可得知 ,若 SISO系統(tǒng)沒有零點(diǎn) ,則狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (1/10) SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 ? 上述定理及其證明不僅說明了被控系統(tǒng)能進(jìn)行任意極點(diǎn)配置的充分必要條件 ,而且給出了求反饋矩陣 K的一種方法。對(duì)此 ,有如下討論 : 1. 由上述定理的充分性證明中可知 ,對(duì)于 SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題 ,若其狀態(tài)空間模型為能控規(guī)范 II形 ,則相應(yīng)反饋矩陣為 K=[k1 … kn]=[an*an … a1*a1] 其中 ai和 ai*(i=1,2,…, n)分別為開環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和所期望的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的系數(shù)。 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (2/10) 112 2 2c c cA T AT B T B????對(duì)能控規(guī)范 II形 ?~進(jìn)行極點(diǎn)配置 ,求得相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣如下 因此 ,原系統(tǒng) ?的相應(yīng)狀態(tài)反饋陣 K為 * * *1 1 1 1n n n nK a a a a a a????? ? ? ???2cK KT?2. 若 SISO被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為能控規(guī)范 II形 ,則由 II形的方法 ,利用線性變換 x=Tc2 ,將系統(tǒng) ?(A,B)變換成能控規(guī)范 II形 ,即有 x( , )? ABSISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (3/10)—例 2 ? 下面通過兩個(gè)例子來說明計(jì)算狀態(tài)反饋陣 K的方法。 ?例 62 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 1 2 21 3 1??? ? ? ?? ??? ? ? ???? ? ? ?x x u求狀態(tài)反饋陣 K使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 1177。 j2。 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (4/10) ? 解 1： 判斷系統(tǒng)的能控性。 ? 開環(huán)系統(tǒng)的能控性矩陣為 ???????1142][ ABB則開環(huán)系統(tǒng)為狀態(tài)能控 ,可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。 2. 求能控規(guī)范 II形 : ? ????????????????????????????????????????10~2510~8121613/16/1]][10[12212111211BTBATTAATTTABBTccccSISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (5/10) 3. 求反饋律 : ? 因此開環(huán)特征多項(xiàng)式 f(s)=s22s5, 而由期望的閉環(huán)極點(diǎn) 1?j2所確定的期望閉環(huán)特征多項(xiàng)式 f*(s)=s2+2s+5, 則得狀態(tài)反饋陣 K為 ? ?3/263/7812161)]2(2)5(5[][~ 121*12*212?????????????cc TaaaaTKK則在反饋律 u=Kx+v下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (6/10) 1 1 5 8 214 1 7 13?? ? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ?x x u通過驗(yàn)算可知 ,該閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為 1177。 j2,達(dá)到設(shè)計(jì)要求。 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (7/10)—例 3 ? 例 63 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )2)(1(10)(??? ssssG試選擇一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)并求狀態(tài)反饋陣 K,使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在 2和 1177。 j上。 ? 解 1：要實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置 ,則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)需狀態(tài)完全能控。 ? 因此 ,可選擇能控規(guī)范 II形來建立被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 故有 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (8/10) 0 1 0 00 0 1 00 2 3 1[ 1 0 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??x x uyx2. 系統(tǒng)的開環(huán)特征多項(xiàng)式 f(s)和由期望的閉環(huán)極點(diǎn)所確定的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 f*(s)分別為 f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 則相應(yīng)的反饋矩陣 K為 K=[a3*a3 a2*a2 a1*a1] SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (9/10) ? 因此 ,在反饋律 u=Kx+v下 ,閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 0 1 0 00 0 1 04 6 4 1[ 1 0 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??x x uyx? 在例 63中 ,由給定的傳遞函數(shù)通過狀態(tài)反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置時(shí)需先求系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) ,即需選擇狀態(tài)變量和建立狀態(tài)空間模型。 ? 這里就存在一個(gè)所選擇的狀態(tài)變量是否可以直接測(cè)量、可以直接作反饋量的問題。 SISO系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法 (10/10) ? 由于狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)和特性的 ,因此對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng) ,它可能不能直接測(cè)量 ,更甚者是抽象的數(shù)學(xué)變量 ,實(shí)際中不存在物理量與之直接對(duì)應(yīng)。 ? 若狀