函數(shù)模型及其應(yīng)用 (2)-文庫吧
2025-04-22 07:57 本頁面
【正文】 二次函數(shù)有關(guān)，如面積的最大、利潤最大、產(chǎn)量最高、用料最省等，解決這些問題，可建立二次函數(shù)模型，常利用配方法借助于對(duì)稱軸和單調(diào)性求最值問題，有時(shí)也會(huì)使用導(dǎo)數(shù)法求最值．但一定要注意函數(shù)的定義域，否則容易出錯(cuò) . ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 變式探究 1． 某產(chǎn)品按質(zhì)量分為 10個(gè)檔次，生產(chǎn)第一檔 (即最低檔次 )的利潤是每件 8元，每提高一個(gè)檔次，利潤每件增加 2元；每提高一個(gè)檔次，在相同的時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)量減少 3件．在相同的時(shí)間內(nèi)，最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn) 60件．問在相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大？有多少元？ ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析： (法一 )設(shè)相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第 x(x∈ N*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤為 y. 依題意，得 y＝ [8＋ 2(x－ 1)][60－ 3(x－ 1)] ＝－ 6x2＋ 108x＋ 378 ＝－ 6(x－ 9)2＋ 864(1≤x≤10， x∈ N*)． 顯然，當(dāng) x＝ 9時(shí)， ymax＝ 864(元 )， 即在相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第 9檔次的產(chǎn)品利潤最大，最大利潤為864元． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ (法二 )同上得到 y＝－ 6x2＋ 108x＋ 378， 求導(dǎo)數(shù)，得 y′＝－ 12x＋ 108，令 y′＝－ 12x＋ 108＝ 0，解得 x＝9，因 x＝ 9∈ [1,10]， y只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以它是最值點(diǎn)，即在相同的時(shí)間內(nèi)，生產(chǎn)第 9檔次的產(chǎn)品利潤最大，最大利潤為 864元． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 考點(diǎn)二 分段函數(shù)應(yīng)用題 【 例 2】 (2021佛山市南海一中模擬 )某特許專營店銷售世界大運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)為 5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向深圳大組委交特許經(jīng)營管理費(fèi) 2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚 20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售 2 000枚．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格在每枚 20元的基礎(chǔ)上每減少 1元?jiǎng)t增加銷售 400枚，而每增加 1元?jiǎng)t減少銷售 100枚．現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為 x元 (x∈ N*)． (1)寫出該特許專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤y(單位：元 )與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域． (2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價(jià)格 x為多少元時(shí)，該特許專營店一年內(nèi)利潤 y(單位：元 )最大？求出這個(gè)最大值． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ ????? [ 2 00 0 ＋ 4 00 ? 20 － x ? ] ? x － 7 ? ， 1 ＜ x ≤ 20 ， x ∈ N* ，[ 2 00 0 － 1 00 ? x － 20 ? ] ? x － 7 ? ， 20 ＜ x ＜ 40 ， x ∈ N * ， 解析： (1)依題意， y＝ ∴ y ＝????? 400 ? 25 － x ?? x － 7 ? ， 7 ＜ x ≤ 20 ， x ∈ N*，100 ? 40 － x ?? x － 7 ? ， 20 ＜ x ＜ 40 ， x ∈ N*. 此函數(shù)的定義域?yàn)?{ x |7 ＜ x ＜ 40 ， x ∈ N*} ． (2 ) y ＝ ????? 400[ － ? x － 16 ?2＋ 81] ， 7 ＜ x ≤ 20 ， x ∈ N*，100??????－??????x －4722＋1 08 94， 20 ＜ x ＜ 40 ， x ∈ N*. 當(dāng) 7 x ≤ 20 時(shí)，則當(dāng) x ＝ 16 時(shí)， ym a x ＝32 400 ( 元 ) ； 當(dāng) 20 x 40 時(shí)，因?yàn)?x ∈ N*，所以當(dāng) x ＝ 23 或 24 時(shí)， ym a x＝ 27 2 00( 元 )。 綜上可得，當(dāng) x ＝ 16 時(shí)，該特許專營店獲得的利潤最大為 32 400元． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 變式探究 2．某市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同，甲每張球臺(tái)每小時(shí) 5元；乙按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中 30小時(shí)以內(nèi) (含 30小時(shí) )每張球臺(tái) 90元，超過 30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí) 2元．李明準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于 15小時(shí)，也不超過 40小時(shí)． (1)設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開展活動(dòng) x小時(shí)的收費(fèi)為 f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺(tái)開展活動(dòng) x小時(shí)的收費(fèi)為 g(x)元(15≤x≤40)，試求 f(x)和 g(x)． (2)李明選擇哪家俱樂部比較合算？為什么？ ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析： (1 ) f ( x ) ＝ 5 x, 15 ≤ x ≤ 40 ， g ( x ) ＝????? 90 ， 15 ≤ x ≤ 30 ，2 x ＋ 30 ， 30 ＜ x ≤ 40. (2 ) 由 f ( x ) ＝ g ( x ) ，得????? 15 ≤ x ≤ 30 ，5 x ＝ 90 或????? 30 ＜ x ≤ 40 ，5 x ＝ 2 x ＋ 30 ， 即 x ＝ 18 或 x ＝ 10( 舍去 ) ． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 當(dāng) 15≤ x＜ 18時(shí)， f(x)－ g(x)＝ 5x－ 90＜ 0， ∴ f(x)＜ g(x)，即選甲． 當(dāng) x＝ 18時(shí)， f(x)＝ g(x)，既可以選甲，也可以選乙． 當(dāng) 18＜ x≤ 30時(shí)， f(x)－ g(x)＝ 5x－ 90＞ 0， ∴ f(x)＞ g(x)，即選乙． 當(dāng) 30＜ x≤ 40時(shí)， f(x)－ g(x)＝ 5x－ (2x＋ 30)＝ 3x－ 30＞ 0， ∴ f(x)＞ g(x)，即選乙． 綜上所述，當(dāng) 15≤x＜ 18時(shí)，選甲；當(dāng) x＝ 18時(shí)，可以選甲，也可以選乙；當(dāng) 18＜ x≤ 40時(shí)，選乙． ◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 考點(diǎn)三 雙勾函數(shù)的應(yīng)用題 【 例 3】 (2021大連市模擬 )某單位用 2 160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少 10層、每層 2 000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建為 x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為 560＋ 48x(單位：元 )．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？ (注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝ ) 購 地 總 費(fèi) 用建 筑 總 面 積◆ 高考總復(fù)習(xí) ?數(shù)學(xué) ?(文科 )◆ 解析： 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為 f ( x ) 元，則 f ????x ＝??????560 ＋ 48 x ＋2 16 0 10 0002 00 0 x ＝ 560 ＋ 4
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