現(xiàn)代控制教材第5章-文庫吧
2025-04-21 13:59 本頁面
【正文】 10 ??K因?yàn)槲恢弥鞣答? ，其他參數(shù)的選擇應(yīng)該滿足： 440PA ???? KKKKP1KK ?? P2KK ??驗(yàn)證 ：求圖（ d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點(diǎn)確實(shí)為希望配置的極點(diǎn)位置。 鎮(zhèn)定問題 鎮(zhèn)定問題 —— 非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定 （ 23） 定理 52 SISO線性定常系統(tǒng)方程為 CxbAxx???yu?顯然，能控系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定。 如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。 （證明請(qǐng)參見教材 163頁） 那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請(qǐng)見定理 52。 當(dāng)系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件時(shí)，狀態(tài)反饋陣的計(jì)算步驟為 1） 將系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣 1PC~A2）確定 ，化 為約當(dāng)形式 2P CA3） 利用狀態(tài)反饋配置 的特征值，計(jì)算 1~A 1~K4） 所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣 ? ?121 0~ PPKK ?例 55 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 u???????????????????????011500020001xx?試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。 解 矩陣 A 為對(duì)角陣，顯然系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為 5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。 能控子系統(tǒng)方程為 uu CCCCC ????????????????112001 xbxAx?引入狀態(tài)反饋 CVu xK~??其中 ? ?21 ~~~ kk?K為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點(diǎn)為 222,1 js ???84)(Δ 2* ??? sssK? ?21212211~~22)3~~(~~11200100d e t)]~~~(d e t [)(ΔkkskkskkssssCK??????????????????????????????????????????????????? KbAI同次冪系數(shù)相等，得 13~1 ??k 20~2 ?k 狀態(tài)重構(gòu)和狀態(tài)觀測(cè)器 問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時(shí)不便于檢測(cè)。如何解決這個(gè)問題？ 答案是：重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，用這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。 （ 24） 系統(tǒng)方程為 )0()( 0 xxCxyBuAxx????t??（ 25） 重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同 xCyBuxAx???????? ?（ 24）式減去（ 25）式 ?????????)?(?)?(?xxCyyxxAxx ?? （ 26） 當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，則 。但是實(shí)際系統(tǒng)總會(huì)有一些差別，因此實(shí)際上 。 xx ??xx ??（ 27） 當(dāng) 時(shí)， 也不為零，可以引入信號(hào) 來校正系統(tǒng)（ 25），它就成為了狀態(tài)觀測(cè)器。 xx ?? yy ? )?( yyGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx?????????????)()?(?)?(???其中， 為 矩陣 G nn?（ 24）式減去（ 27）式 )?)((]?)[(? xxGCAGyBuxGCABuAxxx ?????????? （ 28） 由（ 28）式可知，如果適當(dāng)選擇 G 矩陣，使 (AGC) 的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則 式（ 27）系統(tǒng)就是式（ 24）系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器， 就是重構(gòu)的狀態(tài)。 0)?(lim ???? xxtx?定理 53 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測(cè)，或者系統(tǒng)雖然不能觀測(cè)，但是其不能觀測(cè)的子系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部。 （證明請(qǐng)參見教材 167頁） 定理 54 線性定常系統(tǒng) 的觀測(cè)器 CxyBuAxx???? ?GyBuxGCAx ???? ?)(?? （ 30） 可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測(cè)并且能控。 例 56 系統(tǒng)方程為 u??????????????????????101200120001xx? ? ?x011?y要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器，其特征值為 － － － 5。 解 首先判斷系統(tǒng)的能觀測(cè)性 ???????????441121011CQ 3rank ?CQ系統(tǒng)能觀測(cè)，可設(shè)計(jì)觀測(cè)器。 設(shè)： ???????????210gggG 其中 ， 待定 ig )2,1,0( ?i希望特征值對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式 604712)5)(4)(3()(Δ 23* ???????? sssssssG? ?? ?)424()834()5(de tΔ2102102103 ????????????????gggsgggsggssG GCAI而狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式 同次冪系數(shù)分別相等，可以得出 ???????????????????????210103120210gggG幾點(diǎn)說明： 1） 希望的特征值一定要具有負(fù)實(shí)部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負(fù)。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。 2）狀態(tài)觀測(cè)器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負(fù)，否則，抗干擾能力降低。 3）選擇觀測(cè)器特征值時(shí)，應(yīng)該考慮到不至于因?yàn)閰?shù)變化而會(huì)有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。 降階觀測(cè)器 1. 降階觀測(cè)器的維數(shù) 定理 55 若系統(tǒng)能觀測(cè)，且 rankC = m，則系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的最小維數(shù)是 (nm)。 （證明略） ? ?21 CCC ?? m?Cran k因?yàn)橛?m 維可以通過觀測(cè) y 得到，因此有 (nm)維需要觀測(cè)。 CxyBuAxx???? ?對(duì)系統(tǒng)方程 采用變換矩陣 ???????210CCIP進(jìn)行線性變換， Pxx ? 1?? P A PA PBB ? 1?? CPC（ 31） 得到如下形式的系統(tǒng)方程 ? ? 221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx????????????????????????????????????可見 可以通過 觀測(cè)到，需要對(duì) 維的 進(jìn)行估計(jì)。 2x y )( mn? 1x因此，降階觀測(cè)器的維數(shù)為 (nm) 2. 降階觀測(cè)器存在的條件及其構(gòu)成 將（ 31）式改寫成 uByAxAuBxAxAx 11211112121111 ??????? （ 32） （ 33） uByAxAyx2221212 ?????（ 34） 令 121222 xAuByAyy ???? ?于是有 (nm) 階的子系統(tǒng)： 121 xAy ?u)ByAxAx 1121111 ( ?????（ 35） 以下構(gòu)造這個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器 （ 36） yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx??12211221112111111121211111)()(?)()(?)(?????????????因?yàn)樽酉到y(tǒng)能觀測(cè)，所以，通過選擇 的參數(shù)，可以配置 的特征值。 1G )( 21111 AA G?為了在觀測(cè)器中不出現(xiàn)微分項(xiàng)，引入以下變換， （ 37）
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