四元數(shù)矩陣方程drazin逆的行列式表示-文庫吧
2025-07-30 19:17 本頁面
【正文】 行 的 線 性 組 合 ： , 其中 ，則對于所有的 和 理論 . 如果 Hermitian 矩陣 的第 j 列被替換為其他列行的線性組合 ： , 其中 ，則對于所有的 和 以下各項理論主要直接探討了有關于 Hermitian 矩陣逆的行列式表示的性質。 理論 Hermitian 矩陣 ， 其中 , 則存在一個唯一的右逆矩陣 和一個唯一的左 逆矩陣 ,若 A 是非奇異矩陣 ， 則，右逆矩陣和左逆矩陣的表達式為： 其中 分別是矩陣 A 的伴隨子式， 根據(jù)定理 ， 我們知道 Hermitian 矩陣的子式也是 Hermitian 矩陣 ， 所以我們主要工作就是分析 Hermitian的代換子式 。 我們引入了 Hermitian 矩陣的非零主子式的秩 。 理論 是 Hermitian 矩陣 ， 那么矩陣 A 的秩等于它列的秩和行的秩 。 因為四元數(shù)矩陣是可交換的 ， 所以將 Hermitian 矩陣的特征值分為兩類 。如果四元域上 滿足，則 記為矩陣 A 的 右特征值。即 Hermitian 矩陣的所有右特征值也是其左 定義 , 則 對于 Hermitian 矩陣 A 的多項式 記作矩陣 A 的特征多項式。 Hermitian 矩陣的特征多項式的根就是它的左實特征值 ， 同時也是它的右實特征值 。 我們通過類比分析可以證明下面的理論 。（詳見 [28]） 理論 . 如果 是 Hermitian 矩陣，則 ,其中是矩陣 A 的順序主子式之和， ,且 . 逆的行列式表示 對于任意的矩陣 , k ,正數(shù) . 則 Drazin 逆矩陣 X 是唯一的 ， 且滿足 ： （ 1） 。 （ 2） 。 （ 3） . 其中 矩陣 可以 記作 。 當滿足特殊情況 時， 矩陣 X 被稱作群逆 ， 記為 . 如果 時 ， 則矩陣 A 是 非奇異矩陣 ， 且 。 推理 ，我們可以得出等式（ 1）也可以表示為（ 1a） . 對矩陣 Drazin 逆的近似分析 我們可以借助研究 Hermitian 矩陣的方法 來分析矩陣 Drazin 逆的一些理論，例如可以借助有關矩陣的秩和特征值的理論。我們在 [8]中第一次使用這種分析方法 ，然后在 [12,29]中也使用了這種方法。根據(jù)復雜問題的近似分析，我們得出了以下有關矩陣 Drazin 逆的結論 。 理論 且 k , 則 其中， ， 且 是正實數(shù)域 。 表示矩陣 的第 j 列， 表示 的第 i 行 。 引理 且 k , 則 證明 . 該證明方法可參照文獻 [8]中引理 的證明。 下一條引理同樣參照其證明 。 引理 且 k , 則 . 我們假設 , ，其中 用 表示矩陣 A 的第 行 第 列的代數(shù)余子式 。 則 表示第 行第 列的主余子 式 。如果 是Hermitian 矩陣，則 可以表示相應的行列式 A 的主子式的值。對于 , 則其嚴格遞增序列集合 , 其中整數(shù) . 對于, 下面兩個引理主要分析了特征值的有關問題。 引理 . 如果 ， k ,而且 A 是 Hermitian 矩陣 ，則 其中， 和 對于所有的成立。 證明 ： 用 記作 Hermitian 矩陣 的第 i 列 矩陣?？紤]到 Hermitian 矩陣. 它不同于 .根據(jù)理論 我們得到 其中， 是包含第 i 列的 s 的順序主子式之和 ， ,其中. 因此 ，我們可以得出 其中 是 的第 l 列向 量， . 考慮到理論 ，引理 ，和命題 我們可以得出以下等式： 同時我們也可以得出：對于所有的 ， 滿足 當 時 ， 我們可以得出上述等式 。 引理 ， k , 而且 A 是 Hermitian 矩陣 ，則 其中， 和 對于所有的成立 。 理論 ， k , 而且 A是 Hermitian矩陣 ，則矩陣 Drazin逆 ,行列式每一項的值為： 或者 證明 .我們根據(jù)理論 證明了 矩陣是 Hermitian 滿秩矩陣?？紤]到理論 ，它存在逆矩陣，我們把它表示成左逆的形式如下： 其中 是矩陣 的第 i 行第 j 列的左伴隨子式。然后我們可以得出： 根據(jù)左伴隨子式的定義，我們可以得到 ： 根據(jù)理論 ，我們得知 其中， 是矩陣 關于 s 的 順序主子式之和 ， , . 由于 可以得出 繼而得出 根據(jù)等式（ 8），我們得知 其中 對于所有的 成立， 對于所有的 成立。 根據(jù)引理 ， ,對于所有 的 ， 當 時 ，我們證明了等式 成立，然后得出了矩陣 的右線性無關向量不多于 r 個 。 考慮到 , 當 這是矩陣 關于 的主子式
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